Exercices: Distributions conditionnelles

Soit le tableau à double entrée suivant qui relie les variables $X$ et $Y$ :

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$10$	$2$	$5$	$1$
$20$	$0$	$4$	$3$
$30$	$4$	$1$	$0$

Écrire le tableau des effectifs de la distribution de la variable $Y$ conditionnelle à $X = 10$ et calculer la taille de cette sous-population.

À partir de la distribution conjointe des variables $X$ et $Y$ donnée dans le tableau :

$X \setminus Y$	$0$	$5$
$2$	$10$	$2$
$4$	$8$	$6$
$6$	$1$	$12$

Calculer la moyenne arithmétique de la distribution de $X$ conditionnelle à $Y = 5$, c'est-à-dire $\bar{x}_{|y=5}$.

Dans une étude sur deux variables $X$ et $Y$, on a isolé la distribution de $Y$ conditionnelle à une valeur précise $x_i$, ce qui donne les effectifs suivants :

$Y | X = x_i$	Effectif ($f_{j|i}$)
$100$	$4$
$200$	$12$
$300$	$4$

Calculer les fréquences conditionnelles $h_{j|i}$ pour chaque valeur de $Y$ et vérifier que leur somme vaut $1$.

Observer le tableau de contingence suivant :

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$	$40$
$1$	$1$	$8$	$2$	$0$
$2$	$5$	$3$	$9$	$1$
$3$	$2$	$2$	$4$	$7$

Déterminer le mode de la distribution de $Y$ conditionnelle à $X = 2$ et le mode de la distribution de $X$ conditionnelle à $Y = 30$.

On a extrait la distribution conditionnelle d'une variable $Y$ pour un groupe précis $X = a$, ce qui donne les données suivantes :

L'effectif du groupe est $N_{|x=a} = 20$.

La somme des valeurs est $\sum f_{j|a} \cdot y_j = 160$.

La somme des carrés est $\sum f_{j|a} \cdot y_j^2 = 1400$.

Calculer la variance conditionnelle $\sigma^2_{Y|X=a}$.

On analyse le nombre de fautes d'orthographe ($Y$) dans une dictée selon la classe ($X$). On extrait les deux distributions conditionnelles pour $X=3$ et $X=4$ :

Distribution $Y | X=3$ :

Valeurs $y_j$ : $0, 1, 2, 3$

Effectifs : $2, 5, 2, 1$

Distribution $Y | X=4$ :

Valeurs $y_j$ : $0, 1, 2, 3$

Effectifs : $5, 3, 2, 0$

Calculer la moyenne de fautes dans chaque classe ($\bar{y}_{|x=3}$ et $\bar{y}_{|x=4}$) et indiquer dans quelle classe on commet, en moyenne, le moins de fautes.

Soit la distribution de la variable $X$ conditionnelle à $Y = 10$ :

$X | Y = 10$	$2$	$4$	$6$
$f_{i|10}$	$3$	$5$	$2$

Sachant que la moyenne conditionnelle est $\bar{x}_{|y=10} = 3,8$, calculer l'écart type conditionnel $\sigma_{X|Y=10}$.

Dans un tableau à double entrée, on dispose des fréquences conditionnelles suivantes pour la variable $Y$ relativement à deux valeurs de $X$ :

Pour $X = 1$ : $h_{1|1} = 0,2$ ; $h_{2|1} = 0,8$

Pour $X = 2$ : $h_{1|2} = 0,5$ ; $h_{2|2} = 0,5$

Justifier si les variables $X$ et $Y$ sont statistiquement indépendantes ou dépendantes en se basant exclusivement sur ces données.

Dans une enquête sur les habitudes numériques réalisée dans un lycée, on analyse la relation entre la classe ($X$) et le nombre d'heures hebdomadaires consacrées aux jeux vidéo ($Y$). Les données de $100$ élèves sont réunies dans le tableau suivant :

Classe ($X$) \ Heures ($Y$)	$5\text{ h}$	$10\text{ h}$	$15\text{ h}$
3e ($X=0$)	$10$	$25$	$15$
1re ($X=1$)	$5$	$20$	$25$

Lucie veut calculer la moyenne d'heures hebdomadaires conditionnelle au fait d'être en 1re (c'est-à-dire $\bar{y}_{|X=1}$) et effectue l'opération suivante dans son cahier :

$$\bar{y}_{|X=1} = \frac{5 \cdot 5 + 10 \cdot 20 + 15 \cdot 25}{100} = \frac{25 + 200 + 375}{100} = \frac{600}{100} = 6\text{ heures}$$

Lucie conclut que les élèves de 1re jouent en moyenne $6$ heures par semaine.

1. a) Sans faire de calculs compliqués, justifier pourquoi un résultat de $6$ heures est incohérent en observant uniquement les valeurs que prend $Y$ ($5, 10$ et $15$) et les effectifs de la ligne de 1re.
2. b) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Lucie au dénominateur de sa formule lors du calcul d'une distribution conditionnelle.
3. c) Corriger la démarche et déterminer la valeur réelle de la moyenne conditionnelle $\bar{y}_{|X=1}$.

À partir d'un échantillon de $200$ personnes extrait de l'enquête sur l'équipement et l'usage des technologies de l'information dans les ménages (INSEE), on analyse le nombre d'achats sur internet réalisés le mois dernier ($Y$ : $0, 2$ ou $5$ achats) selon la tranche d'âge ($X$ : groupe jeune de $18$ à $35$ ans [$X=1$] et groupe sénior de plus de $65$ ans [$X=2$]) :

• Groupe jeune ($X=1$, $100$ personnes) : $10$ font $0$ achats, $40$ font $2$ achats et $50$ font $5$ achats.

• Groupe sénior ($X=2$, $100$ personnes) : $70$ font $0$ achats, $25$ font $2$ achats et $5$ font $5$ achats.

1. a) Estimer : Avant tout calcul numérique, observer la répartition des effectifs de chaque sous-groupe. Estimer de façon approchée entre quelles valeurs doit se situer la moyenne d'achats de chaque groupe (par exemple, sera-t-elle inférieure ou supérieure à $2$ ?) et argumenter dans lequel des deux groupes les données sont visiblement plus concentrées autour de zéro.
2. b) Vérifier : Calculer la moyenne d'achats conditionnelle au fait d'être jeune ($\bar{y}_{|X=1}$) et la moyenne conditionnelle au fait d'être sénior ($\bar{y}_{|X=2}$). Vérifier si les valeurs obtenues confirment votre estimation préalable.
3. c) Au vu des deux distributions conditionnelles, justifier si le nombre d'achats réalisés sur internet est indépendant de l'âge dans cet échantillon.

Dans une étude de nutrition, on met en relation la teneur en glucides en grammes ($X$) et la teneur en protéines en grammes ($Y$) de plusieurs barres énergétiques. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

$X \setminus Y$	$5$	$10$	$15$
$20$	$8$	$12$	$0$
$30$	$2$	$15$	$5$
$40$	$0$	$4$	$14$

Calculer la moyenne et l'écart type de la teneur en protéines pour les barres qui contiennent exactement $30\text{ g}$ de glucides (distribution $Y|X=30$).

La Sécurité routière a recueilli des données sur l'âge des conducteurs ($X$, en années) et le nombre d'amendes reçues l'année dernière ($Y$) :

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[18 ; 30[$	$15$	$25$	$10$
$[30 ; 50[$	$40$	$15$	$5$
$[50 ; 70[$	$35$	$5$	$0$

En utilisant le centre de classe pour la variable $X$, calculer l'âge moyen des conducteurs ayant reçu exactement $1$ amende l'année dernière ($\bar{x}_{|y=1}$).

Dans une exploitation agricole, on analyse la quantité d'engrais appliquée par hectare ($X$, en dizaines de kg) et la production obtenue ($Y$, en tonnes).

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
$1$	$5$	$1$	$0$
$2$	$2$	$8$	$2$
$3$	$0$	$3$	$9$

Calculer la variance de la production conditionnelle au fait que $20\text{ kg}$ d'engrais ont été appliqués ($\sigma^2_{Y|X=2}$).

On réalise une enquête dans un établissement scolaire en demandant le genre ($X$ : $1=\text{Garçon}$, $2=\text{Fille}$) et le réseau social préféré ($Y$ : $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$30$	$20$	$10$
$2$	$45$	$30$	$15$

Calculer les distributions de fréquences conditionnelles $Y|X=1$ et $Y|X=2$. Au vu des résultats, le genre et le réseau social préféré sont-ils indépendants dans cet échantillon ?

Dans une étude sur les jeux vidéo, on met en relation le nombre d'heures jouées par semaine ($X$) avec le niveau atteint dans le jeu ($Y$). Pour le groupe de joueurs qui y consacrent $10$ heures ($X=10$), on dispose de la distribution incomplète suivante :

$Y | X = 10$	$5$	$15$	$25$
$f_{j|10}$	$4$	$k$	$2$

Sachant que le niveau moyen atteint par ce groupe est $\bar{y}_{|x=10} = 13$, poser une équation et déterminer la valeur de l'effectif inconnu $k$.

Dans une usine, deux machines différentes ($X=1$ et $X=2$) produisent le même type de pièce. On analyse le nombre de défauts par lot ($Y$).

Pour la machine 1 ($X=1$) : $\bar{y}_{|x=1} = 2,5$ défauts, $\sigma_{Y|X=1} = 0,5$ défauts.

Pour la machine 2 ($X=2$) : $\bar{y}_{|x=2} = 8,0$ défauts, $\sigma_{Y|X=2} = 1,2$ défauts.

Calculer le coefficient de variation conditionnel pour chaque machine ($CV = \frac{\sigma}{|\bar{y}|}$) et indiquer quelle machine a une production plus homogène quant au nombre de défauts.

Le diagramme à bulles suivant représente la distribution conjointe de deux variables discrètes $X$ et $Y$. La taille de la bulle et le texte adjacent indiquent l'effectif conjoint $f_{ij}$ de chaque couple de valeurs $(x_i, y_j)$.

Extraire le tableau des effectifs de la distribution de $X$ conditionnelle à $Y = 20$ et calculer sa moyenne arithmétique $\bar{x}_{|y=20}$.

Dans une station météorologique, on enregistre la vitesse maximale du vent ($X$, en km/h) et l'humidité relative ($Y$, en %). Les données sont regroupées en classes bidimensionnelles :

$X \setminus Y$	$[40 ; 60[$	$[60 ; 80[$	$[80 ; 100[$
$[0 ; 20[$	$2$	$10$	$18$
$[20 ; 40[$	$5$	$15$	$6$
$[40 ; 60[$	$12$	$4$	$0$

En utilisant les centres de classe, calculer l'humidité relative moyenne les jours où la vitesse du vent était comprise entre $40$ et $60\text{ km/h}$ ($\bar{y}_{|x \in [40 ; 60[}$).

Le syndicat des transports analyse le niveau de satisfaction des usagers à l'égard du service de bus interurbains ($Y$ : $1 =\text{ Faible}$, $2 =\text{ Moyenne}$, $3 =\text{ Élevée}$) en fonction du type de titre de transport utilisé ($X$ : $1 =\text{ Abonnement jeune}$, $2 =\text{ Ticket à l'unité}$). L'échantillon de $300$ voyageurs fournit les données suivantes :

Titre ($X$) \ Satisfaction ($Y$)	$1$ (Faible)	$2$ (Moyenne)	$3$ (Élevée)	Total
$X=1$ (Abonnement jeune)	$20$	$50$	$30$	$100$
$X=2$ (Ticket à l'unité)	$40$	$100$	$60$	$200$
Total	$60$	$150$	$90$	$300$

Pour déterminer si la satisfaction à l'égard du service dépend du titre de transport utilisé, deux techniciens proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Sophie : Elle calcule la moyenne de satisfaction conditionnelle à chaque ligne ($\bar{y}_{|X=1}$ et $\bar{y}_{|X=2}$) et les compare.

• Méthode de Mathis : Il calcule la distribution des fréquences conditionnelles de chaque ligne (c'est-à-dire le pourcentage d'usagers de niveau $1, 2$ et $3$ pour chaque type de titre) et les compare entre elles et avec la distribution marginale de $Y$.

1. a) Appliquer la méthode de Sophie en calculant les deux moyennes conditionnelles.
2. b) Appliquer la méthode de Mathis en obtenant les pourcentages de chaque ligne.
3. c) Choisir la méthode : Bien que, dans ce cas, les deux méthodes mènent à une conclusion compatible, justifier laquelle des deux méthodes est théoriquement la seule rigoureuse pour démontrer l'indépendance statistique entre variables et quelle limite présente l'autre méthode (se demander si deux distributions aux effectifs très différents pourraient avoir par hasard la même moyenne).

Le staff technique d'une équipe de basket de Pro B enregistre sur $50$ matchs deux variables : le nombre de tirs à trois points que tente son meneur titulaire lors d'un match ($X$, qui prend les valeurs $2$ ou $6$ tentatives) et le nombre de tirs à trois points qu'il marque ($Y$, qui prend les valeurs $1$ ou $3$ réussites). Le tableau de contingence des effectifs est le suivant :

$X \setminus Y$	$1$	$3$
$2$	$f_{11}$	$f_{12}$
$6$	$f_{21}$	$f_{22}$

On dispose des informations statistiques suivantes sur la performance du joueur :

1. Il a disputé exactement $20$ matchs où il a tenté $2$ tirs à trois points et $30$ matchs où il a tenté $6$ tirs à trois points.

2. La moyenne de tirs à trois points marqués conditionnelle au fait d'avoir tenté $2$ tirs à trois points était $\bar{y}_{|X=2} = 1,4$.

3. La moyenne de tirs à trois points marqués conditionnelle au fait d'avoir tenté $6$ tirs à trois points était $\bar{y}_{|X=6} = 2,2$.

1. a) Poser un système d'équations pour la première ligne et un autre pour la seconde ligne, et calculer la valeur des quatre effectifs inconnus ($f_{11}, f_{12}, f_{21}$ et $f_{22}$).
2. b) En utilisant exclusivement les moyennes conditionnelles données et les effectifs de chaque sous-groupe, calculer la moyenne totale de tirs à trois points marqués ($\bar{y}$) sur les $50$ matchs sans avoir à additionner case par case.

Soit le tableau de contingence suivant comportant deux effectifs inconnus, $a$ et $b$ :

$X \setminus Y$	$2$	$6$
$10$	$4$	$a$
$20$	$b$	$2$

On sait que la moyenne de $Y$ conditionnelle à $X=10$ est $\bar{y}_{|x=10} = 5$, et que la moyenne de $X$ conditionnelle à $Y=2$ est $\bar{x}_{|y=2} = 16$.

Poser un système d'équations et déterminer les valeurs des effectifs $a$ et $b$.

Dans un hôpital, on teste un nouveau traitement. La variable $X$ indique le traitement ($0=\text{Standard}$, $1=\text{Nouveau}$) et la variable $Y$ indique le résultat ($0=\text{Non guéri}$, $1=\text{Guéri}$). Les patients sont répartis en deux groupes à risque, ce qui forme deux distributions conditionnelles :

Groupe à risque faible :

Traitement standard : $10$ guéris sur $50$ patients.

Traitement nouveau : $2$ guéris sur $10$ patients.

Groupe à risque élevé :

Traitement standard : $6$ guéris sur $10$ patients.

Traitement nouveau : $25$ guéris sur $50$ patients.

Calculer le pourcentage de guérison (qui équivaut à la moyenne $\bar{y}$) pour chaque traitement au sein de chaque groupe à risque. Puis, regrouper tous les patients et calculer le pourcentage de guérison global pour chaque traitement. Quel traitement semble meilleur dans les groupes séparés et lequel semble meilleur globalement ? (Ce phénomène est connu sous le nom de paradoxe de Simpson.)

Dans une étude statistique sur la variable $X$ (catégorie professionnelle) et $Y$ (salaire en milliers d'euros), on a trois catégories ($X=1, 2, 3$). On connaît les données suivantes des distributions conditionnelles $Y|X=x_i$ :

Catégorie 1 : $N_1 = 10$, $\bar{y}_{|x=1} = 20$, $\sigma^2_{Y|X=1} = 4$

Catégorie 2 : $N_2 = 20$, $\bar{y}_{|x=2} = 30$, $\sigma^2_{Y|X=2} = 9$

Catégorie 3 : $N_3 = 10$, $\bar{y}_{|x=3} = 40$, $\sigma^2_{Y|X=3} = 4$

Calculer d'abord la moyenne globale marginale $\bar{y}$. Calculer ensuite la variance marginale $\sigma_Y^2$ en utilisant la formule de décomposition de la variance (ou en calculant la somme totale des carrés à partir des données fournies).

Une distribution bidimensionnelle théorique de fréquences conjointes (probabilités) est donnée par l'expression $h_{ij} = k \cdot (x_i + y_j)$, où $X$ prend les valeurs $\{1, 2\}$ et $Y$ prend les valeurs $\{1, 2, 3\}$.

Construire le tableau à double entrée en fonction de $k$. Sachant que la somme de toutes les fréquences doit valoir $1$, déterminer la valeur de $k$. Calculer ensuite la moyenne de la distribution conditionnelle $X|Y=2$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un analyste financier étudie la relation entre le niveau de risque d'un fonds d'investissement ($X$, noté de $1$ à $3$) et sa rentabilité annuelle ($Y$, en %).

$X \setminus Y$	$2$	$6$	$10$
$1$	$10$	$10$	$0$
$2$	$5$	$20$	$5$
$3$	$0$	$5$	$15$

L'analyste définit le « ratio de performance » d'un niveau de risque comme le quotient entre sa rentabilité moyenne conditionnelle et son écart type conditionnel : $R_i = \frac{\bar{y}_{|x=i}}{\sigma_{Y|X=i}}$.

Calculer ce ratio pour les niveaux de risque $X=2$ et $X=3$. Quel niveau de risque offre le meilleur ratio selon ce critère ?

On souhaite reconstituer un tableau de contingence $2 \times 2$ d'effectifs $f_{ij}$ pour les variables $X \in \{0, 1\}$ et $Y \in \{0, 1\}$. On dispose des informations suivantes sur les distributions marginales et conditionnelles :

• Marginale de $X$ : $N_{x=0} = 30$, $N_{x=1} = 20$.

• Marginale de $Y$ : $N_{y=0} = 25$, $N_{y=1} = 25$.

• Moyenne conditionnelle : $\bar{y}_{|x=0} = 0,3$ (rappel : lorsque $Y$ prend les valeurs $0$ et $1$, la moyenne est égale à la proportion de 1).

Calculer les quatre fréquences conjointes $f_{11}, f_{12}, f_{21}, f_{22}$ et construire le tableau à double entrée complet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude de biologie marine, on met en relation la profondeur à laquelle vit une espèce ($X$, en mètres) et sa longueur ($Y$, en cm). Les données sont regroupées en classes d'amplitudes différentes :

$X \setminus Y$	$[0\,;\,10[$	$[10\,;\,30[$	$[30\,;\,70[$
$[0\,;\,50[$	$24$	$10$	$2$
$[50\,;\,150[$	$6$	$18$	$16$

En utilisant les centres de classe, calculer la variance de la longueur pour les individus vivant en zone profonde ($X \in [50\,;\,150[$), c'est-à-dire $\sigma^2_{Y|X \in [50\,;\,150[}$.

Démontrer numériquement une propriété fondamentale de l'indépendance statistique. On considère le tableau suivant où $X$ et $Y$ sont indépendantes (leurs fréquences conjointes sont le produit des fréquences marginales) :

$X \setminus Y$	$2$	$4$	Total
$1$	$10$	$30$	$40$
$2$	$15$	$45$	$60$
Total	$25$	$75$	$100$

Calculer la moyenne marginale $\bar{y}$ et les moyennes conditionnelles $\bar{y}_{|x=1}$ et $\bar{y}_{|x=2}$. Vérifier que, les variables étant indépendantes, l'égalité $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$ est satisfaite.

Le service de santé d'une région analyse l'efficacité de deux traitements ($A$ et $B$) contre une affection respiratoire saisonnière. La variable $Y$ indique le résultat clinique ($1 =\text{ Guéri}$, $0 =\text{ Non guéri}$). L'étude est stratifiée en deux groupes de population selon l'âge (jeunes et personnes âgées), avec les résultats suivants :

• Groupe de patients jeunes ($120$ personnes) :

• Avec le traitement $A$ : sur $100$ personnes traitées, $80$ sont guéries.

• Avec le traitement $B$ : sur $20$ personnes traitées, $18$ sont guéries.

• Groupe de patients âgés ($300$ personnes) :

• Avec le traitement $A$ : sur $100$ personnes traitées, $20$ sont guéries.

• Avec le traitement $B$ : sur $200$ personnes traitées, $50$ sont guéries.

1. a) Pour le groupe des jeunes, calculer la moyenne de guérison conditionnelle au traitement $A$ ($\bar{y}_{|\text{Jeune}, A}$) et au traitement $B$ ($\bar{y}_{|\text{Jeune}, B}$). Faire de même pour le groupe des personnes âgées. Quel traitement obtient le meilleur taux de réussite dans chacun des deux groupes pris séparément ?
2. b) Regrouper les données en additionnant les personnes des deux groupes d'âge pour construire le tableau global à double entrée entre Traitement ($A$ ou $B$) et Résultat ($0$ ou $1$). Calculer la moyenne globale de guérison pour chaque traitement ($\bar{y}_{|A}$ et $\bar{y}_{|B}$).
3. c) Comparer les résultats obtenus à la question a) avec ceux de la question b). Quel phénomène paradoxal observez-vous ? En vous appuyant sur la notion de distribution conditionnelle et sur les effectifs des sous-groupes auxquels chaque traitement a été administré, expliquer pourquoi cette contradiction apparente (paradoxe de Simpson) se produit et justifier quelle recommandation clinique argumentée il faudrait donner.

À partir d'un échantillon représentatif de $200$ personnes employées dans le secteur des services en France, une étude sociologique analyse la relation entre la modalité de travail ($X$ : $1 =\text{ Présentiel}$, $2 =\text{ Télétravail}$) et le nombre d'heures hebdomadaires consacrées à la maison à la garde de proches et aux tâches domestiques ($Y$ : $5, 15$ ou $25\text{ heures}$). On sait que $120$ personnes travaillent en présentiel et $80$ en télétravail.

Dans le groupe en présentiel ($X=1$), la distribution des heures consacrées est la suivante : $36$ personnes y consacrent $5\text{ h}$, $60$ y consacrent $15\text{ h}$ et $24$ y consacrent $25\text{ h}$.

1. a) Modèle sous hypothèse d'indépendance : si la modalité de travail et les heures consacrées à la maison étaient des variables statistiquement indépendantes, combien de personnes du groupe en télétravail ($N_{|X=2} = 80$) devraient consacrer exactement $5, 15$ et $25$ heures aux tâches domestiques ? Justifier comment vous obtenez ces effectifs attendus à partir des fréquences du groupe en présentiel.
2. b) Données réelles et calcul : les données réelles recueillies dans l'enquête pour le groupe en télétravail ($X=2$) sont les suivantes : $8$ personnes y consacrent $5\text{ h}$, $32$ personnes y consacrent $15\text{ h}$ et $40$ personnes y consacrent $25\text{ h}$. Calculer la moyenne et la variance de la distribution des heures conditionnelle à chaque modalité : $(\bar{y}_{|X=1}, \sigma^2_{Y|X=1})$ et $(\bar{y}_{|X=2}, \sigma^2_{Y|X=2})$.
3. c) Interprétation sociologique et statistique : au vu des résultats de la question a) et des paramètres calculés à la question b), conclure en justifiant si les variables sont dépendantes ou indépendantes. Interpréter ce que révèle le changement de distribution conditionnelle sur l'impact du télétravail dans la prise en charge des tâches domestiques.