Exercices: Tableaux croisés

Recopier et compléter dans son cahier le tableau croisé suivant, qui donne la répartition d'un groupe d'élèves selon leur sexe et selon qu'ils portent des lunettes ou non.

Lors d'une enquête réalisée auprès de $80$ personnes sur leur principal moyen de transport pour aller travailler, on a obtenu les résultats suivants (effectifs) :

Indiquer quel est l'effectif conjoint des personnes qui ont « Moins de 30 ans » et vont « À pied », puis calculer l'effectif marginal de celles qui utilisent la « Voiture ».

À partir du tableau croisé d'effectifs suivant, construire le tableau correspondant des fréquences globales (en exprimant les résultats sous forme de fractions irréductibles).

Un club de sport compte $120$ adhérents. On sait que $70$ jouent au tennis, $50$ jouent au padel, et que parmi ceux qui jouent au tennis, $20$ sont des femmes. Si le club compte au total $45$ femmes, construire le tableau croisé d'effectifs reliant le sexe (Homme / Femme) au sport pratiqué (Tennis / Padel).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Observer le tableau suivant, qui classe les participants à un congrès selon leur nationalité et la langue dans laquelle ils ont préféré recevoir la documentation :

Calculer la fréquence conditionnelle qu'un participant préfère la documentation en anglais, sachant qu'il est européen.

On a demandé à $200$ clients d'une pizzeria quel était leur type de pâte préféré. Les résultats figurent dans le tableau suivant :

Écrire la distribution marginale de la variable « Type de pâte » en indiquant ses effectifs.

Étant donné le tableau suivant qui relie la marque de téléphone portable et la tranche d'âge de ses propriétaires, identifier le mode de la distribution conjointe et le mode de la distribution marginale de la variable « Marque ».

Une école de langues propose des cours de français et d'allemand le matin et l'après-midi. Le tableau donne le nombre d'inscrits :

Calculer le pourcentage du nombre total d'élèves que représentent ceux qui étudient le français l'après-midi.

Lors d'une enquête réalisée dans un lycée sur la mobilité durable et l'activité physique, les données de $80$ élèves de seconde sont rassemblées dans le tableau croisé suivant :

Le professeur pose la question suivante : « Quelle est la proportion d'élèves qui ne pratiquent pas de sport sachant qu'ils ont un abonnement de transport ? ». Lucas raisonne ainsi : « Comme il y a $16$ élèves qui ont un abonnement et ne pratiquent pas de sport sur les $80$ élèves au total, la proportion est $\frac{16}{80} = 0,2$ (soit $20\%$ ) ».

1. a) Expliquer précisément l'erreur conceptuelle de Lucas : quel type de fréquence a-t-il calculé et laquelle lui demandait-on en réalité ?
2. b) Corriger le calcul de Lucas en indiquant clairement quel doit être le total de référence (dénominateur) et exprimer la fréquence conditionnelle correcte $h(\text{Ne pratique pas de sport} \mid \text{A un abonnement})$ sous forme de fraction simplifiée et de pourcentage.

Lors d'une campagne de sécurité routière de la police municipale de Toulouse sur le port obligatoire du casque en trottinette électrique (engins de déplacement personnel), les données suivantes ont été relevées lors d'un contrôle aléatoire de $200$ usagers :

1. a) Avant de calculer la moindre fraction ou le moindre pourcentage, observer attentivement les données des deux colonnes d'âge et faire une estimation visuelle préalable : dans quelle tranche d'âge pensez-vous que le port du casque est proportionnellement le plus élevé ? Justifier votre intuition en comparant mentalement chaque case au total marginal de sa colonne.
2. b) Vérifier votre estimation en calculant de manière exacte les fréquences conditionnelles $h(\text{Porte un casque} \mid \text{Moins de 25})$ et $h(\text{Porte un casque} \mid \text{25 ans ou plus})$ exprimées en pourcentage.
3. c) Évaluer si votre estimation initiale était juste et rédiger une brève conclusion sur la dépendance éventuelle entre le port du casque et la tranche d'âge dans cet échantillon.

Dans un lycée de $300$ élèves, $60\%$ participent à des activités extrascolaires. Parmi les élèves qui participent à ces activités, $40\%$ sont inscrits au théâtre. On sait de plus que $15\%$ de l'ensemble des élèves du lycée ne font pas d'activités extrascolaires et n'aiment pas non plus le théâtre. Construire le tableau croisé d'effectifs et déterminer combien d'élèves ne font pas d'activités extrascolaires mais sont inscrits au théâtre.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une étude médicale analyse l'efficacité de deux traitements (traitement A et traitement B) pour soigner une affection cutanée. Les résultats au bout d'un mois sont les suivants :

Calculer le pourcentage de réussite (guérisons) pour chacun des traitements séparément et expliquer, à l'aide de ces pourcentages, lequel des deux traitements semble le plus efficace.

Compléter le tableau croisé suivant sachant que les fréquences globales de certaines cases sont données sous forme de fractions par rapport au total $N = 150$.

Lors d'un test de contrôle qualité, un détecteur de métaux inspecte $1000$ bagages. On sait que $40$ bagages contiennent des objets interdits. Le détecteur déclenche l'alarme pour $35$ des bagages contenant des objets interdits et donne aussi une fausse alarme pour $24$ bagages ne contenant rien d'interdit. Construire le tableau croisé et calculer le pourcentage de bagages qui contiennent réellement des objets interdits parmi tous ceux pour lesquels l'alarme s'est déclenchée.

Reconstituer un tableau croisé $2 \times 2$ avec les variables $X$ et $Y$ à partir des informations suivantes :

• L'effectif total est $N = 200$.

• L'effectif marginal de $X_1$ est $120$.

• L'effectif marginal de $Y_2$ est $90$.

• $30\%$ des individus qui vérifient $X_1$ vérifient aussi $Y_1$.

Le diagramme de Venn suivant montre la répartition de $110$ élèves d'une école de langues selon qu'ils étudient l'anglais ($A$) ou le français ($B$).

Traduire l'information du diagramme en un tableau croisé dont les variables sont « Étudie l'anglais » (Oui/Non) et « Étudie le français » (Oui/Non). Calculer ensuite la proportion d'élèves qui étudient le français sachant qu'ils n'étudient pas l'anglais.

Dans une entreprise de $500$ salariés, on étudie la relation entre le service auquel ils appartiennent et leur niveau de satisfaction au travail.

Calculer la distribution marginale de la variable « Satisfaction » en pourcentages ainsi que la distribution conditionnelle du niveau de satisfaction au sein du service « Production ».

Une réserve naturelle classe les arbres d'une parcelle selon leur espèce (Pin / Chêne) et le type de sol sur lequel ils poussent (Sec / Humide). On a compté $240$ arbres au total, dont $150$ sont des pins. On sait que $60\%$ des chênes poussent sur sol humide, alors que seulement $40$ pins poussent sur sol humide. Construire le tableau croisé et déterminer quel pourcentage de l'ensemble des arbres pousse sur sol sec.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

À partir de données vraisemblables issues de l'enquête sur les pratiques culturelles des Français publiée par le ministère de la Culture, une étude a été menée sur un échantillon de $250$ jeunes âgés de $15$ à $19$ ans afin de relier deux variables : lisent-ils habituellement des livres pendant leur temps libre (au moins un par mois) et sont-ils abonnés à des plateformes audiovisuelles de streaming (Netflix, Prime Video, etc.).

• Sur l'ensemble des $250$ jeunes, $160$ déclarent être abonnés à des plateformes de streaming.

• Parmi ceux qui sont abonnés à des plateformes de streaming, exactement $64$ déclarent lire habituellement des livres.

• Dans l'ensemble de l'échantillon, $118$ jeunes déclarent lire habituellement des livres pendant leur temps libre.

1. a) Organiser toutes les informations données dans un tableau croisé complet d'effectifs ($2 \times 2$), en calculant au préalable les totaux marginaux et les cases manquantes.
2. b) On choisit au hasard une personne parmi celles qui NE sont PAS abonnées à des plateformes de streaming : quelle est la probabilité qu'elle soit un lecteur habituel ? Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et de pourcentage arrondi au dixième.
3. c) Comparer les proportions conditionnelles de lecteurs habituels dans les deux groupes : $h(\text{Lecteur} \mid \text{Streaming})$ et $h(\text{Lecteur} \mid \text{Pas de streaming})$. Au vu des données, peut-on affirmer qu'être abonné à des plateformes de streaming est associé à une proportion plus faible de lecteurs de livres ? Justifier la réponse.

Au service de restauration d'un établissement scolaire, on analyse les préférences de menu d'une journée comptant $200$ convives (personnels enseignants et élèves) :

Trois élèves discutent de la façon de vérifier si le choix du type de menu est indépendant du groupe (être enseignant ou élève) :

• Irène soutient : « Comme l'écart entre le nombre de convives qui choisissent le menu traditionnel chez les élèves et chez les enseignants est très grand ($112 - 28 = 84$), le choix dépend clairement du groupe ».

• Manon propose de comparer la proportion de végétariens parmi les enseignants avec la proportion de végétariens parmi les élèves : $h(\text{Végétarien} \mid \text{Professeurs}) \stackrel{?}{=} h(\text{Végétarien} \mid \text{Élèves})$.

• Serge propose de comparer la proportion de végétariens parmi les enseignants avec la proportion marginale totale de végétariens dans tout l'établissement : $h(\text{Végétarien} \mid \text{Professeurs}) \stackrel{?}{=} h(\text{Végétarien})$.

1. a) Expliquer pourquoi la méthode proposée par Irène est erronée et démontrer pourquoi les écarts en valeur absolue ne sont pas valables lorsque les groupes ont des effectifs totaux différents.
2. b) Effectuer les calculs proposés par Manon et Serge. Les deux méthodes aboutissent-elles à la même conclusion quant à l'indépendance des variables ?
3. c) À partir de la théorie des tableaux croisés (« la distribution conditionnelle coïncide avec la distribution marginale »), justifier laquelle des deux méthodes valables (celle de Manon ou celle de Serge) traduit le plus directement et le plus rigoureusement la définition de l'indépendance statistique.

Considérer le tableau croisé suivant, où certains effectifs dépendent d'un paramètre $x$ :

Sachant que la fréquence marginale de la « Condition 1 » est égale à $0,6$, poser une équation, déterminer la valeur de $x$ et reconstituer le tableau complet avec des valeurs numériques.

On dit que deux variables statistiques sont indépendantes si les fréquences conditionnelles sont égales aux fréquences marginales correspondantes ; autrement dit, la proportion reste constante dans toutes les lignes et toutes les colonnes.

Soit le tableau incomplet suivant :

Calculer la valeur exacte de $y$ pour que les deux variables (« Catégorie » et « Type ») soient parfaitement indépendantes.

Dans deux hôpitaux différents, on a relevé le succès d'une opération chirurgicale complexe, en séparant les cas « légers » et « graves ».

Hôpital San Omar :

Hôpital La Paz :

Construire un unique tableau croisé global pour chaque hôpital (en additionnant cas légers et cas graves) reliant l'« Hôpital » au « Résultat » (Succès / Échec). Calculer le pourcentage global de succès de chaque hôpital et expliquer pourquoi la perception du meilleur hôpital change lorsqu'on agrège les données.

Une usine de composants électroniques possède deux machines d'assemblage. La machine I produit $60\%$ de l'ensemble des composants et la machine II les $40\%$ restants. Le contrôle qualité révèle que $2\%$ des composants de la machine I sont défectueux, tandis que le taux de défauts de la machine II est de $5\%$.

Pour un lot de $2000$ composants, construire le tableau croisé reliant la « Machine » (I / II) à l'« État » (Défectueux / Conforme). Si l'on choisit un composant défectueux dans ce lot, quelle proportion des composants défectueux provient de la machine II ?

Dans un tableau croisé $2 \times 2$ avec les variables $X$ et $Y$, on connaît les relations de proportionnalité suivantes entre les effectifs $a, b, c, d$ :

Sachant que le rapport entre $a$ et $c$ est $\frac{2}{3}$ et que le rapport entre $b$ et $d$ est $\frac{4}{1}$, poser un système d'équations pour déterminer les valeurs de $a, b, c$ et $d$.

L'arbre pondéré suivant représente les proportions d'une population de $500$ individus classés selon deux variables dichotomiques $A$ et $C$.

Transformer l'information de cet arbre en un tableau croisé d'effectifs dont les lignes sont $A$ et $B$ et les colonnes sont $C$ et $D$. Calculer la fréquence marginale de $C$.

Une étude de marché portant sur $600$ consommateurs classe leurs préférences de boisson (Eau, Soda, Jus) et leur tranche d'âge (Jeune, Adulte). Le tableau est presque vide, mais on connaît les indices suivants :

1. Le total des jeunes est le double de celui des adultes.

2. Le nombre d'adultes qui préfèrent l'eau est égal au nombre d'adultes qui préfèrent le jus.

3. Les jeunes qui préfèrent le soda sont $150$.

4. Le nombre total de personnes qui préfèrent le jus est $140$.

5. L'effectif marginal de ceux qui préfèrent l'eau est $200$.

Déterminer tous les effectifs conjoints et marginaux et construire le tableau croisé complet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une population de $400$ habitants, on analyse deux variables : « Pratique un sport » (Oui/Non) et « Fume » (Oui/Non). On connaît les distributions marginales : $240$ personnes pratiquent un sport et $160$ n'en pratiquent pas ; par ailleurs, $100$ personnes fument et $300$ ne fument pas.

Construire le tableau de contingence des effectifs en supposant qu'il existe une indépendance statistique parfaite entre le fait de fumer et la pratique d'un sport dans cette population.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude de santé publique réalisée dans un centre de santé de Marseille sur un échantillon de $N = 120$ patients adultes, on étudie deux variables : « Utilise du fil dentaire tous les jours » (Oui / Non) et « A une carie active » (Oui / Non). On ne dispose pas du tableau complet, mais on connaît les conditions suivantes :

1. Exactement $40\%$ des patients de l'échantillon utilisent du fil dentaire tous les jours.

2. Dans tout l'échantillon, il y a au total $48$ personnes avec une carie active.

3. On constate que l'utilisation du fil dentaire réduit nettement l'incidence des caries : la fréquence conditionnelle d'avoir une carie parmi ceux qui utilisent du fil dentaire est exactement la moitié de la fréquence conditionnelle d'avoir une carie parmi ceux qui n'en utilisent pas :

1. a) Désigner par une inconnue $x$ l'effectif conjoint des patients qui utilisent du fil dentaire et ont une carie. Poser une équation reliant les deux fréquences conditionnelles à leurs effectifs marginaux respectifs et résoudre pour déterminer la valeur de $x$.
2. b) Reconstituer le tableau de contingence complet ($2 \times 2$) avec tous ses effectifs conjoints et marginaux, en vérifiant que toutes les valeurs sont entières et cohérentes.
3. c) Si la présence de caries et l'utilisation quotidienne du fil dentaire étaient des variables statistiquement indépendantes, combien de patients utilisant du fil dentaire devraient avoir une carie ? Comparer ce chiffre théorique avec la valeur réelle obtenue dans votre tableau et rédiger une conclusion sur l'effet préventif du fil dentaire.

La Sécurité civile et Météo-France évaluent l'efficacité des alertes météorologiques pour pluies torrentielles dans une zone côtière méditerranéenne sur une série historique de $180$ jours d'automne. Les données enregistrées sont les suivantes :

• Météo-France a déclenché une vigilance orange ou rouge pendant $30$ des $180$ jours.

• Des pluies torrentielles réelles ont été observées sur le terrain pendant $24$ des $180$ jours.

• Pendant $18$ des jours où la vigilance était activée, des pluies torrentielles se sont effectivement produites.

1. a) Modéliser la situation en construisant un tableau de contingence complet ($2 \times 2$) des effectifs, croisant les variables « Vigilance activée (Oui / Non) » et « Pluie torrentielle réelle (Oui / Non) » avec leurs effectifs marginaux.
2. b) Lors d'une réunion municipale d'évaluation, deux opinions opposées s'expriment :

• Le technicien des services d'urgence affirme : « Le système d'alerte est très efficace : $75\%$ des fois où il a plu de façon torrentielle, la population était prévenue par une alerte ».

• Une association d'habitants proteste : « Le système génère trop d'alarmes injustifiées : $40\%$ des alertes déclenchées sont de fausses alarmes (il ne pleut pas de façon torrentielle) ».

Calculer les fréquences conditionnelles $h(\text{Alerte activée} \mid \text{Pluie torrentielle})$ et $h(\text{Pluie torrentielle} \mid \text{Alerte activée})$, et interpréter mathématiquement pourquoi les deux affirmations sont exactes mais répondent à des questions conditionnelles inverses.

1. c) Démontrer formellement si le déclenchement de l'alerte et l'apparition de pluie torrentielle sont des variables dépendantes ou indépendantes en comparant la fréquence conditionnelle $h(\text{Pluie torrentielle} \mid \text{Alerte activée})$ avec la fréquence marginale $h(\text{Pluie torrentielle})$. Expliquer quelles seraient les conséquences pratiques pour la sécurité des habitants si les deux variables s'avéraient statistiquement indépendantes.