Exercices: Moyenne et variance

On considère la liste de données numériques suivante : $4, 6, 8, 10, 12$. Calculer la moyenne et la variance de la série.

Les notes obtenues par cinq élèves à un contrôle de mathématiques sont $5, 7, 6, 8$ et $9$. Calculer la note moyenne et l'écart type.

Au cours d'une semaine, les températures maximales relevées du lundi au jeudi ont été $20$ °C, $22$ °C, $x$ °C et $24$ °C. Sachant que la température moyenne de ces quatre jours était de $22$ °C, déterminer la valeur inconnue de $x$.

Le diagramme en barres suivant montre le nombre de frères et sœurs des élèves d'une classe. À partir du graphique, calculer le nombre moyen de frères et sœurs par élève.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude statistique portant sur $N = 10$ données, on sait que la somme de toutes les données est $\sum x_i = 50$ et que la somme de leurs carrés est $\sum x_i^2 = 300$. Calculer la variance de la série.

Un groupe d'athlètes a une masse moyenne de $70$ kg avec un écart type de $7$ kg. Un autre groupe de gymnastes a une masse moyenne de $50$ kg avec un écart type de $6$ kg. Calculer le coefficient de variation des deux groupes et indiquer lequel des deux a la masse la plus dispersée en termes relatifs.

On a demandé à un groupe de personnes combien de fois par mois elles vont au cinéma. Les résultats montrent que $3$ personnes y vont $1$ fois, $5$ personnes y vont $2$ fois et $2$ personnes y vont $3$ fois. Calculer la moyenne de cette série.

La moyenne des âges d'un groupe de $15$ amis est actuellement de $16$ ans. Quelle sera la moyenne de leurs âges dans $4$ ans ? Justifier la réponse en appliquant les propriétés de la moyenne.

Lors d'un contrôle de seconde noté sur $10$ points, la moyenne du groupe a été $\bar{x} = 5,4$ et l'écart type $\sigma = 1,6$. Le professeur décide de ramener les notes sur $100$ et d'ajouter à tous $5$ points supplémentaires pour le travail coopératif, en appliquant la formule $y_i = 10 \cdot x_i + 5$ à la note $x_i$ de chaque élève. En l'apprenant, Lucie calcule : « Alors la nouvelle moyenne sera $\bar{y} = 10 \cdot 5,4 + 5 = 59$ points, et le nouvel écart type sera $\sigma_y = 10 \cdot 1,6 + 5 = 21$ points ». Identifier l'erreur conceptuelle commise par Lucie dans le calcul de la dispersion, expliquer de façon argumentée pourquoi le terme $+5$ ne modifie pas l'écart des données par rapport à leur moyenne, et calculer les valeurs correctes de la nouvelle moyenne $\bar{y}$, du nouvel écart type $\sigma_y$ et de la nouvelle variance $\sigma_y^2$.

Météo-France a relevé les températures minimales suivantes (en $^{\circ}\text{C}$) pendant cinq jours consécutifs d'hiver à Dijon : $-3$, $-1$, $0$, $2$ et $7$.

1. a) Avant de faire les calculs par écrit, effectuer une estimation raisonnée : indiquer entre quelles deux valeurs entières la moyenne devrait se situer et justifier si l'écart type sera inférieur à $1^{\circ}\text{C}$, compris entre $2^{\circ}\text{C}$ et $5^{\circ}\text{C}$, ou supérieur à $8^{\circ}\text{C}$, en observant l'étendue et la dispersion apparente des données.
2. b) Calculer maintenant la valeur exacte de la moyenne $\bar{x}$ et de la variance $\sigma^2$, puis obtenir l'écart type $\sigma$ arrondi au dixième.
3. c) Vérifier si votre estimation initiale était correcte et expliquer quelle information pratique la valeur de $\sigma$ apporte sur la variabilité des températures de ces jours par rapport à la seule connaissance de la moyenne.

On a réalisé une enquête auprès de $40$ familles sur le nombre d'animaux de compagnie qu'elles ont à la maison, avec les résultats suivants : $10$ familles n'ont pas d'animal, $15$ familles ont $1$ animal, $10$ familles ont $2$ animaux et $5$ familles ont $3$ animaux. Organiser les données dans un tableau et calculer la moyenne, la variance et l'écart type.

Le temps (en minutes) que mettent $50$ élèves pour se rendre au lycée depuis chez eux est regroupé dans le tableau d'effectifs suivant :

• $[0 ; 10[$ : $10$ élèves

• $[10 ; 20[$ : $25$ élèves

• $[20 ; 30[$ : $15$ élèves

Calculer le temps moyen de trajet jusqu'au lycée et l'écart type de la série.

Pour comparer la dispersion de deux variables différentes dans un même groupe de personnes, on a mesuré la masse et la taille. La masse moyenne est de $65$ kg avec un écart type de $5$ kg. La taille moyenne est de $170$ cm avec un écart type de $10$ cm. Quelle variable présente la plus grande dispersion relative ? Justifier la réponse.

Les salaires mensuels des employés d'une petite entreprise ont une moyenne de $1200$ € et un écart type de $150$ €. Pour l'année prochaine, la direction décide d'appliquer une augmentation de $10\%$ à tous les salaires et, en plus, d'ajouter une prime fixe de $50$ €. Calculer la nouvelle moyenne et le nouvel écart type des salaires.

Dans un lycée, la classe de 2de A compte $20$ élèves avec une note moyenne en mathématiques de $6$. La classe de 2de B compte $30$ élèves avec une note moyenne de $7$. Si l'on calcule la note de tous les élèves des deux classes réunies, quelle sera la note moyenne globale ?

L'histogramme suivant montre le temps, en minutes, que plusieurs jeunes consacrent chaque jour à la lecture. À partir du graphique, établir le tableau d'effectifs (en utilisant les centres des classes) et calculer le temps moyen de lecture.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un test rapide de $3$ questions, on a relevé le nombre de bonnes réponses d'un groupe de personnes. On sait que $4$ personnes ont eu $0$ bonnes réponses, $x$ personnes ont eu $1$ bonne réponse, $5$ personnes ont eu $2$ bonnes réponses et $1$ personne a eu $3$ bonnes réponses. Si la moyenne de bonnes réponses du groupe est $1,2$, déterminer combien de personnes ont eu exactement $1$ bonne réponse.

Un professeur a calculé que la note moyenne de ses $20$ élèves à un contrôle était de $6,5$. Cependant, en revoyant les corrections, il s'est aperçu qu'il avait noté par erreur $3$ à un élève qui avait en réalité obtenu $8$. Calculer la note moyenne correcte sans avoir à additionner de nouveau toutes les notes individuellement.

Dans une usine de composants de précision en Alsace, un opérateur mesure la longueur (en millimètres) de cinq pièces métalliques prélevées sur la chaîne de montage et obtient : $501$, $498$, $500$, $503$ et $498$.

Pour calculer la variance de l'échantillon, il dispose de deux stratégies :

• Méthode A : Appliquer directement la formule abrégée avec les données brutes : $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.

• Méthode B : Définir une variable translatée $y_i = x_i - 500$, calculer la variance de $y_i$ et appliquer les propriétés de la translation des données.

Comparer les deux méthodes en argumentant laquelle est la plus avantageuse si l'on veut calculer à la main sans calculatrice, en évitant de manipuler de grands nombres et en réduisant le risque d'erreurs d'arrondi. Appliquer ensuite la méthode défendue pour calculer, en justifiant, la moyenne $\bar{x}$, la variance $\sigma^2$ et l'écart type $\sigma$ de la longueur des pièces.

Dans une enquête de l'INSEE sur les habitudes sportives, on analyse le nombre d'heures hebdomadaires consacrées à l'entraînement par quatre personnes d'un même groupe. Deux d'entre elles indiquent s'être entraînées exactement $8$ et $12$ heures. On ignore le temps des deux autres personnes ($a$ et $b$), mais le rapport publie que la moyenne du groupe est $\bar{x} = 10\text{ heures}$ et que sa variance est $\sigma^2 = 10\text{ heures}^2$.

1. a) À partir de la propriété de la moyenne, écrire une équation reliant $a$ et $b$, et exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre.
2. b) En utilisant la formule de la variance à partir des carrés des écarts, $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{N}$, poser une équation et déterminer les valeurs exactes de $a$ et $b$ (en supposant $a \ge b$). Justifier pourquoi il n'aurait pas été possible de déterminer ces valeurs avec la seule donnée de la moyenne.

Dans une étude sur la consommation d'eau quotidienne (en litres) d'une certaine population, les données sont regroupées en trois classes : $[0 ; 10[$, $[10 ; 20[$ et $[20 ; 30[$. On sait que les effectifs des deux premières classes sont respectivement $5$ et $f$, et que celui de la troisième classe est $3$. Si la consommation moyenne approchée est de $13,75$ litres, poser une équation et déterminer l'effectif inconnu $f$.

Étant donné les données $x_1, x_2, \dots, x_N$, démontrer algébriquement que la somme de leurs écarts à la moyenne est toujours égale à zéro. Autrement dit, démontrer étape par étape que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.

Un groupe de $10$ garçons a une taille moyenne de $160$ cm et une variance de $20$ cm$^2$. Un groupe de $10$ filles a une taille moyenne de $150$ cm et une variance de $15$ cm$^2$. Calculer la variance de l'ensemble des $20$ élèves. (Indice : calculer d'abord la moyenne globale, puis la somme totale des carrés en utilisant les formules de la variance de chaque groupe.)

La moyenne de deux nombres positifs inconnus est $5$ et leur variance est $4$. Poser un système d'équations en utilisant les formules de la moyenne et de la variance, et déterminer ces deux nombres.

Les notes obtenues par trois élèves à un travail sont proportionnelles à leur effort et sont données par les expressions $a$, $2a$ et $3a$ (où $a > 0$). Sachant que l'écart type de ces trois notes est exactement $\sqrt{\frac{2}{3}}$, calculer la valeur du paramètre $a$ et la moyenne des notes.

La température maximale quotidienne dans une ville pendant un mois a une moyenne de $25$ °C et un écart type de $2$ °C. Si l'on convertit ces températures en degrés Fahrenheit avec la formule $F = 1,8 \cdot C + 32$, calculer le coefficient de variation en degrés Fahrenheit et le comparer numériquement au coefficient de variation initial en degrés Celsius. La dispersion relative change-t-elle lorsqu'on change d'échelle ?

Dans une petite entreprise de $5$ employés, $4$ d'entre eux gagnent exactement $1000$ € par mois, tandis que le gérant gagne $6000$ €. Calculer la moyenne et l'écart type des $5$ salaires. D'après les résultats numériques obtenus, expliquer en justifiant si la moyenne est une mesure représentative pour cet ensemble de données.

Le diagramme circulaire suivant représente les résultats d'une enquête réalisée auprès de $40$ personnes sur le nombre de fois où elles font du sport par semaine (variable $x_i$). Sachant que le cercle complet représente $360^\circ$ et en observant l'angle de chaque secteur, en déduire les effectifs de chaque valeur et calculer la variance de la série.

Deux classes d'un lycée participent aux évaluations de positionnement de seconde. La classe de 2de A compte $N_A = 20$ élèves, une note moyenne de $\bar{x}_A = 7$ et une variance de $\sigma_A^2 = 2$. La classe de 2de B compte $N_B = 30$ élèves, une note moyenne de $\bar{x}_B = 5$ et une variance de $\sigma_B^2 = 3$.

1. a) Calculer la moyenne pondérée conjointe $\bar{x}$ des $50$ élèves.
2. b) Un enseignant affirme que la variance totale des $50$ élèves est simplement la moyenne pondérée des deux variances : $\frac{20 \cdot 2 + 30 \cdot 3}{50} = 2,6$. Expliquer pourquoi ce raisonnement est conceptuellement faux, en précisant quelle source supplémentaire de dispersion apparaît lorsque les moyennes des deux groupes ne coïncident pas.
3. c) Reconstituer la somme des carrés des notes ($\sum x_i^2$) de chaque groupe grâce à la relation $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$, calculer la véritable variance conjointe $\sigma^2$ du lycée et son écart type (à deux décimales), et vérifier analytiquement si la valeur obtenue est supérieure ou inférieure aux $2,6$ proposés par l'enseignant.

Un rapport de l'INSEE sur le nombre annuel de voyages de loisirs effectués par $10$ familles d'une communauté de communes donne une moyenne de $\bar{x} = 4\text{ voyages}$ et un écart type de $\sigma = 2\text{ voyages}$. Après la publication, on ajoute au registre une onzième famille qui n'avait pas été comptabilisée.

1. a) Supposer d'abord que cette 11e famille a effectué exactement $4$ voyages (soit la moyenne du groupe). Sans effectuer de calculs numériques complets, argumenter si le nouvel écart type va augmenter, diminuer ou rester égal à $2$. Le démontrer ensuite numériquement en retrouvant la somme des carrés initiale $\sum x_i^2$ et en calculant la nouvelle variance.
2. b) Considérer maintenant un autre cas où cette 11e famille aurait effectué $10$ voyages. Reconstituer analytiquement la nouvelle moyenne $\bar{x}_{\text{nouveau}}$ et la nouvelle variance $\sigma_{\text{nouveau}}^2$ pour l'ensemble des $11$ familles.
3. c) Comparer l'augmentation relative de la moyenne à celle de la variance dans ce second cas et justifier mathématiquement pourquoi la présence d'une valeur aberrante éloignée du centre déstabilise beaucoup plus les mesures de dispersion quadratiques que la moyenne.