Exercices: Introduction

Pour connaître les préférences musicales des élèves d'un lycée de $850$ élèves, le professeur de musique a interrogé les $30$ élèves de sa classe de seconde. Identifier la population, l'échantillon, la taille de l'échantillon et les individus de cette étude statistique.

Classer les variables statistiques suivantes en qualitatives, quantitatives discrètes ou quantitatives continues :

• La couleur des yeux des patients d'un ophtalmologue.

• Le nombre de livres lus en un an par les adhérents d'une bibliothèque.

• La température maximale quotidienne relevée dans une ville pendant le mois d'août.

• La marque de téléphone portable utilisée par les professeurs d'un collège.

Indiquer dans lesquels des cas suivants il est préférable d'étudier la population entière et dans lesquels il est nécessaire de choisir un échantillon. Justifier brièvement la réponse.

• Vérifier l'état des freins de toutes les voitures fabriquées par une marque avant de les vendre.

• Étudier la durée de vie moyenne des ampoules produites par une usine (sachant que, pour la mesurer, il faut les laisser allumées jusqu'à ce qu'elles grillent).

• Connaître l'âge des $25$ élèves d'une classe.

• Connaître le taux de cholestérol des habitants d'un pays.

Sur le parking d'un centre commercial, il y a $450$ véhicules. Un employé note le type de véhicule (voiture, moto, fourgonnette, tout-terrain) de $50$ d'entre eux choisis au hasard. Identifier la variable statistique étudiée et indiquer de quel type elle est.

Une entreprise de messagerie livre $5\,000$ colis par jour. Pour évaluer le temps moyen de livraison, le superviseur sélectionne au hasard $100$ colis et note le nombre de minutes qu'ils mettent à arriver à destination. Déterminer la taille de la population et la taille de l'échantillon.

Classer les variables quantitatives suivantes en discrètes ou continues :

• Le nombre de buts marqués par une équipe de football à chaque match de championnat.

• Le temps que mettent les coureurs pour terminer un marathon.

• La quantité d'eau, en litres, consommée par une famille en un mois.

• Le nombre de passagers voyageant dans un avion.

On imagine qu'on réalise une étude statistique sur les ordinateurs portables que possèdent les élèves de votre ville. Écrire un exemple de variable qualitative, un exemple de variable quantitative discrète et un exemple de variable quantitative continue que l'on pourrait étudier dans cette enquête.

On veut réaliser une étude sur le degré de satisfaction des clients d'une pizzeria. Pour cela, le gérant décide d'interroger uniquement les personnes qui commandent une pizza à l'ananas. Pensez-vous que l'échantillon choisi soit représentatif de l'ensemble des clients ? Justifier la réponse.

Dans une enquête sur les habitudes de vie saine dans un lycée, Lucas recueille quatre données pour chaque élève : son code postal, le numéro porté sur le maillot de l'équipe de futsal, le temps en minutes qu'il met pour venir en cours et l'appréciation du menu de la cafétéria (« insuffisant », « acceptable », « bon » ou « excellent »). En classant les variables, Lucas affirme dans son cahier : « Le code postal et le numéro de maillot sont des nombres, donc ce sont deux variables quantitatives discrètes ; de plus, le menu est qualitatif nominal parce qu'on ne peut pas le mesurer avec un appareil ». Repérer les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas, expliquer en détail pourquoi son raisonnement est erroné en s'appuyant sur la définition de chaque type de variable, puis classer correctement les quatre variables étudiées.

L'équipe de direction d'un établissement de $720$ élèves inscrits souhaite mener deux enquêtes statistiques distinctes : d'abord, connaître le degré de satisfaction des $45$ élèves qui utilisent chaque jour le transport scolaire en ce qui concerne la ponctualité du car ; ensuite, connaître le nombre moyen d'heures hebdomadaires consacrées aux écrans de loisirs par les élèves de tout l'établissement. Pour cette seconde étude, une professeure propose de placer un enquêteur à la porte du CDI à 8 h 00 du matin et d'interroger les $60$ premiers élèves qui entrent. Pour chacun des deux cas, déterminer en justifiant s'il est préférable de réaliser un recensement ou de choisir un échantillon. Analyser en outre de façon critique la proposition de la professeure pour la seconde étude en expliquant quel type de biais elle introduit et pourquoi cet échantillon ne serait pas représentatif.

Dans un hôpital, on recueille les données suivantes sur les patients admis aux urgences : groupe sanguin, nombre de pulsations par minute, température corporelle en degrés Celsius et nombre de fois où ils sont venus aux urgences au cours de la dernière année. Classer chacune de ces quatre variables statistiques et justifier pourquoi la température corporelle et le nombre de pulsations appartiennent à des catégories différentes.

Dans une entreprise technologique travaillent $300$ programmeurs et $200$ graphistes. Le service des ressources humaines veut réaliser une enquête sur le climat de travail en sélectionnant un échantillon de $50$ employés par échantillonnage aléatoire stratifié proportionnel. Combien de programmeurs et combien de graphistes doivent faire partie de l'échantillon ?

Une émission de télévision nationale lance un sondage sur son compte Twitter en demandant : « Pensez-vous qu'il faudrait interdire l'usage des réseaux sociaux aux moins de 16 ans ? ». $15\,000$ personnes répondent. Identifier la population cible de l'émission et expliquer en détail pourquoi les résultats de cet échantillon peuvent être biaisés et non représentatifs.

Lorsqu'on remplit un formulaire, on demande aux citoyens de saisir leur numéro de sécurité sociale et le code postal de leur commune. Bien que ces deux données soient constituées de chiffres, du point de vue des statistiques elles ne sont pas considérées comme des variables quantitatives. Expliquer de quel type de variables il s'agit et pourquoi calculer la moyenne arithmétique des codes postaux n'a pas de sens.

Le proviseur d'un lycée dispose d'une liste alphabétique des $600$ élèves inscrits. Il veut sélectionner un échantillon de $30$ élèves par échantillonnage aléatoire systématique.

• Calculer le pas de sondage (l'écart entre un individu et le suivant).

• Si le premier élève tiré au hasard est celui qui occupe la position numéro $12$ dans la liste, indiquer quelles positions occuperont les trois élèves suivants sélectionnés pour l'échantillon.

La mairie de votre commune veut étudier les habitudes de lecture des habitants. Concevoir un plan d'étude statistique en indiquant :

• Quelle serait la population.

• Une méthode adaptée pour choisir un échantillon représentatif de $200$ personnes, en évitant d'interroger uniquement les personnes qui sortent de la bibliothèque municipale.

• Deux variables statistiques qualitatives et deux variables quantitatives que vous inclueriez dans le questionnaire.

L'argent qu'une personne a dans son porte-monnaie se mesure en euros et centimes (par exemple, $12,50\text{ \euro}$). Débattre pour savoir si cette variable statistique doit être considérée comme quantitative discrète ou quantitative continue. Apporter des arguments en faveur des deux classements et conclure lequel est le plus rigoureux du point de vue mathématique.

Dans une ville de $120\,000$ habitants, on réalise une enquête téléphonique auprès de $600$ personnes.

• Quel pourcentage de la population totale a été interrogé ?

• On sait que, dans la ville, $15\,\%$ des habitants sont des jeunes de $18$ à $25$ ans. Pour que l'échantillon de $600$ personnes soit représentatif en ce qui concerne l'âge, combien de jeunes de cette tranche d'âge devraient figurer dans l'échantillon ?

Un club d'athlétisme compte $1\,500$ sportifs licenciés répartis en trois catégories selon leur âge : Minimes ($600$ athlètes), Cadets ($525$ athlètes) et Juniors ($375$ athlètes). Le bureau souhaite sélectionner un échantillon représentatif de $120$ sportifs par échantillonnage stratifié avec répartition proportionnelle afin de les consulter sur les nouveaux horaires des pistes d'entraînement. Sans effectuer pour l'instant les calculs exacts, estimer approximativement quel pourcentage de l'échantillon devrait correspondre à la catégorie Minimes et justifier entre quelles deux dizaines entières devrait se situer le nombre de jeunes athlètes minimes sélectionnés. Calculer ensuite avec précision combien d'athlètes doivent être choisis dans chacune des trois strates. Enfin, vérifier si la valeur exacte de la catégorie Minimes est cohérente avec votre estimation préalable et vérifier numériquement que la somme des trois groupes est égale à la taille totale exigée pour l'échantillon.

Dans une entreprise de développement informatique de $500$ salariés répartis sur trois sites (Paris, Lyon et Marseille), un échantillonnage stratifié avec répartition proportionnelle a été réalisé pour une enquête sur le climat social, avec un échantillon total de $80$ personnes. En consultant le dossier de l'étude, les données du recensement initial de chaque site ont été effacées, mais les effectifs de l'échantillon sont conservés : l'échantillon comprenait $44$ salariés de Paris et $24$ de Lyon. Déterminer combien de salariés de Marseille faisaient partie de l'échantillon et reconstituer le nombre total de salariés ($N_i$) de l'entreprise sur chacun des trois sites en justifiant mathématiquement chaque étape. Enfin, si, au lieu de l'échantillonnage stratifié, on avait choisi un échantillonnage systématique sur la liste complète des $500$ salariés pour obtenir les $80$ personnes interrogées, calculer le pas $k = N/n$, interpréter pourquoi ce quotient n'est pas un nombre entier et expliquer quelle difficulté pratique cela pose au chercheur.

Une commune est divisée en trois quartiers : le quartier Nord compte $4\,500$ habitants, le quartier Sud compte $2\,700$ habitants et le quartier Est compte $1\,800$ habitants. La mairie doit sélectionner un échantillon de $200$ personnes par échantillonnage stratifié avec répartition proportionnelle. Calculer étape par étape combien de personnes doivent être interrogées dans chacun des trois quartiers pour que l'échantillon soit représentatif.

Un journal publie le titre suivant : « $80\,\%$ des accidents de la route se produisent à moins de $20\text{ km}$ du domicile du conducteur. Par conséquent, conduire près de chez soi est bien plus dangereux que faire de longs trajets ». Analyser de façon critique cette affirmation du point de vue statistique. Identifier l'erreur dans l'interprétation des données et expliquer quelle information supplémentaire sur la population des conducteurs serait nécessaire pour tirer une conclusion valide.

Dans une salle de cinéma, il y a $1\,200$ fauteuils numérotés de $1$ à $1\,200$. Le gérant veut interroger $40$ spectateurs.

• Expliquer comment vous sélectionneriez l'échantillon par échantillonnage systématique. Si le premier siège choisi est le numéro $17$, quel sera le dernier siège de l'échantillon ?

• Si les fauteuils se répartissent en Orchestre ($800$ fauteuils) et Balcon ($400$ fauteuils), expliquer comment vous réaliseriez la sélection par un échantillonnage stratifié proportionnel.

Dans une étude de santé, on mesure la masse (en $\text{kg}$) et la taille (en $\text{m}$) de personnes. À partir de ces données, on calcule l'indice de masse corporelle (IMC) avec la formule $\text{IMC} = \frac{\text{Masse}}{\text{Taille}^2}$. Ensuite, on classe les patients en trois catégories : « Insuffisance pondérale » (IMC $< 18,5$), « Poids normal » (IMC entre $18,5$ et $24,9$) et « Surpoids » (IMC $\geq 25$). Identifier et classer le type de variable statistique à chacune des phases de l'étude : la masse, la taille, la valeur numérique de l'IMC et la catégorie finale attribuée au patient.

Dans un lycée de $800$ élèves, $60\,\%$ sont des filles. De plus, on sait que $25\,\%$ de l'ensemble des élèves de l'établissement sont en seconde. On souhaite sélectionner un échantillon représentatif de $40$ élèves par un échantillonnage stratifié tenant compte simultanément du sexe et de la classe. En supposant que la proportion de filles en seconde est la même que dans le reste du lycée, calculer combien de filles de seconde doivent figurer dans l'échantillon.

Pendant un conflit armé, des ingénieurs militaires ont analysé les avions bombardiers revenant à la base avec des impacts de tirs ennemis. Ils ont observé que la plupart des impacts se trouvaient sur les ailes et le fuselage ; ils ont donc proposé de renforcer le blindage de ces zones. Un statisticien s'est opposé à cette décision en invoquant un grave biais d'échantillonnage. Identifier quelle était la population totale d'avions, quel était l'échantillon analysé et expliquer statistiquement pourquoi la conclusion des ingénieurs était erronée (ce que l'on appelle le « biais du survivant »).

La mairie d'une grande ville étudie la construction d'une nouvelle piste cyclable qui supprimerait des places de stationnement. Proposer deux méthodes de constitution d'échantillon ou de recueil de données qui donneraient des résultats volontairement biaisés : l'une favorisant le « Oui » à la piste cyclable, l'autre favorisant le « Non », et expliquer pourquoi le biais apparaît dans chaque cas. Enfin, proposer une méthode rigoureuse pour obtenir un échantillon réellement représentatif de l'opinion de la ville.

Deux instituts de sondage veulent prédire le résultat d'élections nationales. L'institut A place un sondage sur la page d'accueil d'un célèbre journal sportif en ligne et obtient $50\,000$ réponses volontaires. L'institut B effectue des appels téléphoniques auprès de $1\,500$ personnes sélectionnées par un échantillonnage aléatoire stratifié selon l'âge, le sexe et le département à partir des listes électorales. Argumenter de façon détaillée, en vous appuyant sur les notions de population, d'échantillon, de taille et de représentativité, lequel des deux sondages fournira une prédiction plus fiable malgré l'énorme différence de taille d'échantillon.

Une communauté de communes de $18\,000$ habitants en âge de travailler commande une étude sur l'impact du télétravail sur le territoire. La population active se répartit en trois secteurs économiques : Services ($10\,800$ personnes), Industrie ($5\,400$ personnes) et Agriculture ($1\,800$ personnes). L'équipe technique dispose de moyens pour interroger $n = 600$ personnes et hésite entre deux propositions méthodologiques : la Proposition 1 consiste à appliquer un échantillonnage stratifié avec répartition proportionnelle par secteur d'activité à partir des listes de recensement ; la Proposition 2 consiste à diffuser un questionnaire ouvert sur les réseaux sociaux locaux et les sites d'actualités du territoire jusqu'à enregistrer les $600$ premières réponses reçues. Modéliser mathématiquement l'échantillon de la Proposition 1 en calculant combien de travailleurs doivent être sélectionnés dans chaque secteur et montrer que la proportion de chaque strate dans l'échantillon coïncide avec son poids réel dans la population. Évaluer ensuite la Proposition 2 en identifiant au moins deux biais de sélection graves en fonction des secteurs d'activité étudiés et justifier pourquoi, en statistique, un grand échantillon ne corrige pas les défauts d'un plan d'échantillonnage biaisé.

Dans une plateforme de distribution logistique, on inspecte des palettes de $N = 1\,400$ colis qui avancent sur un tapis roulant automatisé continu. Les cartons sont chargés sur le tapis selon un ordre cyclique et répétitif de $7$ types de produits : le 1er est fragile, le 2e textile, le 3e alimentation, le 4e électronique, le 5e chaussures, le 6e droguerie et le 7e papeterie (et le 8e est de nouveau fragile, la même séquence se répétant toujours). L'inspecteur qualité doit prélever un échantillon de $n = 50$ colis dans une palette et envisage deux méthodes : la Méthode A (échantillonnage systématique avec pas $k = N/n$ et point de départ aléatoire $a$ compris entre $1$ et $k$) et la Méthode B (échantillonnage stratifié avec répartition proportionnelle en considérant chaque type de produit comme une strate). Calculer le pas $k$ de la Méthode A et déterminer les numéros de position des quatre premiers colis qui seraient contrôlés si le point de départ aléatoire obtenu était $a = 15$. Démontrer quel type de marchandise auraient absolument tous les colis sélectionnés avec ce point de départ dans la Méthode A et expliquer quel phénomène périodique détruit la représentativité. Enfin, comparer les deux méthodes et justifier de façon concluante laquelle choisir pour assurer un contrôle qualité rigoureux.