Exercices: Fonctions définies par morceaux

Soit la fonction définie par morceaux suivante :

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calculer la valeur de la fonction aux points $x = -2$, $x = 0$ et $x = 3$.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ et déterminer son ensemble de définition et son ensemble image.

Exprimer la fonction valeur absolue $f(x) = |3x - 6|$ comme une fonction définie par morceaux.

Un parking du centre-ville facture un tarif de $2$ € pour la première heure de stationnement (ou fraction d'heure). Au-delà de la première heure, il facture $1,50$ € par heure supplémentaire, le temps en plus étant facturé proportionnellement aux minutes exactes de stationnement. Écrire la fonction définie par morceaux $C(x)$ qui représente le coût total en fonction du nombre d'heures $x$ pendant lesquelles la voiture reste dans le parking.

Déterminer le point de raccordement de la fonction suivante et déterminer si elle est continue en ce point :

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Associer la description suivante à la structure d'une fonction définie par morceaux : « On allume un four et sa température augmente de façon constante pendant 10 minutes jusqu'à atteindre 200 °C. Elle est maintenue à cette température pendant 40 minutes pour cuire une pizza puis le four est éteint, sa température redescendant jusqu'à la température ambiante (20 °C) de façon constante en 30 minutes. »

Écrire les intervalles de temps qui définiraient les trois morceaux de la fonction température $T(t)$.

Représenter graphiquement dans votre cahier la fonction définie par morceaux suivante :

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

À partir de la courbe de la fonction $g(x)$, déterminer son expression analytique sachant qu'elle est formée de deux demi-droites.

Pour exprimer la fonction $g(x) = |2x - 6| + 1$ comme une fonction définie par morceaux, Alexandre écrit dans son devoir :

Alexandre affirme que le changement de morceau se produit toujours en $x = 0$ parce que c'est là que les nombres passent de négatifs à positifs.

1. a) Expliquer en justifiant l'erreur conceptuelle d'Alexandre. Quelle expression doit réellement changer de signe pour séparer les morceaux de la valeur absolue et pour quelle valeur de $x$ le changement a-t-il lieu ?
2. b) Écrire l'expression correcte de $g(x)$ par morceaux et vérifier, en calculant les limites à gauche et à droite au point de changement de morceau, que la fonction ne présente aucun saut (elle est continue).

Une entreprise de colis express en France tarife les envois nationaux selon leur poids $x$ (en kilogrammes) au moyen de la fonction de coût $P(x)$ (en euros) :

1. a) Sans effectuer de calculs numériques exacts, observer attentivement les deux branches : le forfait fixe passe de $4$ € à $8$ €, mais le coût par kilogramme baisse de $1,5$ € à $0,7$ €. Estimer en justifiant si un client qui envoie un colis de $5,1\text{ kg}$ paiera beaucoup plus, beaucoup moins ou une somme pratiquement identique à celle d'un autre qui envoie un colis de $4,9\text{ kg}$.
2. b) Vérifier votre estimation en calculant les coûts exacts $P(4,9)$ et $P(5,1)$. Calculer ensuite les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 5^-} P(x)$ et $\lim_{x \to 5^+} P(x)$ pour déterminer si au seuil de $5\text{ kg}$ il y a un saut brusque ou si la courbe se raccorde de façon continue. Ce résultat est-il raisonnable pour le client ?

Un opérateur de téléphonie mobile propose un forfait data qui fonctionne de la manière suivante : on paie un forfait mensuel fixe de $15$ € qui inclut les $5$ premiers Go de téléchargement. Si cette limite est dépassée, chaque gigaoctet supplémentaire (ou fraction proportionnelle) est facturé $2$ €.

Écrire la fonction $C(x)$ qui représente le coût mensuel en fonction des gigaoctets $x$ consommés, et calculer combien paiera un client qui a consommé $3$ Go et un autre qui a consommé $8,5$ Go.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur tout son ensemble de définition :

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Exprimer la fonction $f(x) = |x - 2| + 3x$ comme une fonction définie par morceaux sans utiliser la valeur absolue et calculer les valeurs de $f(0)$ et $f(5)$.

Un train de banlieue démarre d'une gare et accélère de façon constante jusqu'à atteindre une vitesse de $20$ m/s en $10$ secondes. Il maintient cette vitesse de croisière pendant $30$ secondes puis freine uniformément jusqu'à s'arrêter complètement à la gare suivante en $5$ secondes. Écrire la fonction définie par morceaux $v(t)$ qui décrit la vitesse du train en fonction du temps écoulé depuis le départ.

À partir de la courbe de la fonction $h(x)$, composée d'un arc de parabole et d'une demi-droite, déterminer son expression analytique.

La facture d'électricité d'un logement comporte un abonnement fixe de $10$ € par mois. De plus, les $100$ premiers kWh consommés sont facturés $0,12$ €/kWh. Si l'on dépasse $100$ kWh, l'excédent de consommation est facturé $0,15$ €/kWh. Écrire la fonction $F(x)$ qui donne le montant total de la facture en fonction des kWh $x$ consommés.

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

La représenter graphiquement et déterminer ses maximums et minimums locaux, s'il y en a.

Dans un pays fictif, l'impôt sur le revenu se calcule de la manière suivante : sur les $10\,000$ premiers euros de revenus, on ne paie pas d'impôt ($0$ %). Sur la part qui dépasse $10\,000$ € et jusqu'à $20\,000$ €, on paie $10$ %. Sur la part qui dépasse $20\,000$ €, on paie $20$ %.

Écrire la fonction définie par morceaux $I(x)$ qui calcule l'impôt à payer en fonction des revenus $x$.

Dans une commune française, la facture d'eau bimestrielle à usage domestique est divisée en trois tranches de consommation pour encourager les économies d'eau :

• Tranche 1 (consommation de base) : jusqu'à $15\text{ m}^3$, on facture un abonnement fixe de $6$ € plus $0,50$ € par mètre cube consommé.

• Tranche 2 (consommation moyenne) : entre $15\text{ m}^3$ et $30\text{ m}^3$, les $15\text{ m}^3$ premiers sont payés selon la tranche 1 et le volume restant qui dépasse $15\text{ m}^3$ est facturé $1,20$ € par mètre cube supplémentaire.

• Tranche 3 (consommation élevée) : pour des consommations supérieures à $30\text{ m}^3$, les $30\text{ m}^3$ premiers sont payés selon les tranches précédentes et chaque mètre cube supplémentaire au-delà de $30\text{ m}^3$ coûte $2,50$ €.

1. a) Modéliser la facture en écrivant la fonction $C(x)$ (coût en euros) en fonction du volume $x$ d'eau consommé (en $\text{m}^3$), en détaillant l'expression algébrique simplifiée pour chacune des trois tranches : $[0 ; 15]$, $]15 ; 30]$ et $]30 ; +\infty[$.
2. b) Vérifier analytiquement à l'aide des limites à gauche et à droite correspondantes si la fonction $C(x)$ est continue aux points de changement de tranche ($x = 15$ et $x = 30$).
3. c) Quel problème d'équité se poserait pour les usagers si l'entreprise facturait directement tout le volume à $1,20$ €/$\text{m}^3$ dès que la consommation dépasserait $15\text{ m}^3$ ?

On souhaite concevoir le profil vertical d'une rampe de skateboard formée de deux morceaux qui se raccordent à l'abscisse $x = 2$ :

La rampe doit respecter rigoureusement les conditions de conception suivantes :

1. Pour $x < 2$, le morceau $f_1(x)$ est une fonction affine (droite) dont la courbe passe par le point $(-1 ; 0)$.

2. Pour $x \ge 2$, le morceau $f_2(x)$ est une fonction du second degré (parabole) dont le sommet est situé au point $(4 ; 1)$.

3. La piste ne doit pas présenter de marche : la fonction doit être continue en $x = 2$, la hauteur en ce point de raccordement étant exactement $f(2) = 5$.

1. a) Déterminer l'expression algébrique de la parabole $f_2(x)$ à partir de la forme de son sommet, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, et du point de raccordement $(2 ; 5)$.
2. b) Déterminer l'expression algébrique de la droite $f_1(x)$ en déterminant son coefficient directeur à partir des points par lesquels elle doit passer.
3. c) Écrire la fonction $f(x)$ complète avec ses ensembles de définition et vérifier formellement, en calculant $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, qu'il n'y a pas de discontinuité en $x = 2$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x)$ soit continue en $x=1$ et passe par le point $(4 ; 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Une fois $a$ et $b$ trouvés, vérifier mathématiquement si la fonction est également continue en $x=3$.

Exprimer la fonction $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ comme une fonction définie par morceaux, en éliminant les valeurs absolues, et simplifier l'expression de chacun des morceaux obtenus.

Une salle de théâtre propose un prix d'entrée de $10$ € si au plus $50$ personnes assistent au spectacle. Pour encourager la venue de grands groupes, pour chaque personne au-delà de $50$, le prix de l'entrée pour tous les spectateurs diminue de $0,10$ €.

Écrire la fonction des recettes totales du théâtre $I(x)$ en fonction du nombre de spectateurs $x$ (comme fonction définie par morceaux) et déterminer combien de personnes doivent assister au spectacle pour que le théâtre obtienne la recette maximale possible.

Observer la courbe suivante de la fonction $p(x)$ et déterminer son expression analytique complète. À partir de celle-ci, indiquer son ensemble de définition, son ensemble image et classer les discontinuités qu'elle présente.

Une fusée d'essai décolle verticalement. Pendant les $10$ premières secondes, sa hauteur en mètres est modélisée par la fonction linéaire $h(t) = 5t$. À $10$ secondes, le moteur s'arrête et la fusée suit une trajectoire parabolique de chute libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de sorte que la transition est continue. Sachant que la fusée atteint sa hauteur maximale à $25$ secondes et touche le sol à $50$ secondes, déterminer l'expression de la parabole et la hauteur maximale atteinte par la fusée.

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que l'aire totale de la figure géométrique délimitée par la courbe de la fonction et l'axe des abscisses (axe $X$) soit exactement de $24$ unités d'aire.

Un réservoir d'eau de $6000$ litres de capacité est initialement vide. On met en marche une pompe qui y introduit de l'eau à un débit constant de $50$ litres par minute. Au bout de $60$ minutes, on met en marche une seconde pompe auxiliaire qui ajoute un débit supplémentaire de $30$ litres par minute. Écrire la fonction définie par morceaux $V(t)$ qui représente le volume d'eau dans le réservoir en fonction du temps, et calculer combien de temps au total il faudra pour remplir complètement le réservoir.

Déterminer analytiquement les points d'intersection entre la fonction définie par morceaux $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ et la droite $y = x + 2$.

Pour résoudre l'équation $|x - 1| + |x - 3| = 4$, deux élèves proposent des chemins différents :

• Méthode A (analytique par fonction définie par morceaux) : Définir $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ par morceaux. Pour cela, on étudie le signe de $x - 1$ et de $x - 3$ en découpant la droite réelle en trois intervalles ($x < 1$, $1 \le x \le 3$ et $x > 3$), on supprime les barres selon le cas et on résout une équation du premier degré sur chaque morceau, en vérifiant si chaque solution trouvée appartient à son intervalle.

• Méthode B (géométrique par les distances) : Interpréter $|x - a|$ comme la distance sur la droite réelle entre la valeur $x$ et le point fixe $a$. Ainsi, $|x - 1| + |x - 3|$ représente la somme des distances d'un point $x$ au point $1$ et au point $3$.

1. a) Appliquer la méthode A : écrire $f(x)$ décomposée en trois morceaux simplifiés et résoudre l'équation en vérifiant la validité des solutions sur chaque intervalle.
2. b) Appliquer la méthode B : déterminer, en raisonnant sur la droite numérique, quelle est la distance minimale possible entre $x$ et les points $1$ et $3$ (et dans quel intervalle de $x$ elle est atteinte). À partir de cette analyse géométrique, en déduire les solutions de $|x - 1| + |x - 3| = 4$ sans recourir à l'algèbre par morceaux.
3. c) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle des deux vous choisiriez si l'équation était $|2x - 1| + 3|x - 3| = 8$, et laquelle vous choisiriez si l'on vous demandait de justifier rapidement pourquoi l'équation $|x - 1| + |x - 3| = 1,5$ n'a aucune solution réelle.

Le parlement d'une région adopte une réforme de la part régionale de l'impôt sur le revenu pour les revenus du travail $x$ (exprimés en milliers d'euros par an). L'impôt total $T(x)$ (également en milliers d'euros) est modélisé par une fonction définie par morceaux :

Pour garantir la progressivité et éviter l'« effet de seuil » (qu'un contribuable finisse avec moins d'argent net en gagnant un peu plus de salaire brut), la loi impose deux exigences :

1. La fonction $T(x)$ doit être continue sur tout son ensemble de définition, en particulier en $x = 20$.

2. À partir de $20$ milliers d'euros, le taux marginal est de $28\,\%$ (c'est-à-dire que pour chaque millier d'euros supplémentaire au-delà de $20$, l'impôt augmente de $0,28$ millier d'euros, ce qui détermine la valeur du coefficient directeur $a$).

1. a) Déterminer en justifiant les valeurs de $a$ et de $b$ pour que les deux conditions légales soient remplies.
2. b) Définir par morceaux la fonction du salaire net restant, $S(x) = x - T(x)$, et calculer le salaire net d'une personne qui gagne $20\,000$ € par an ($x = 20$) et celui d'une autre qui gagne $20\,500$ € par an ($x = 20,5$). Vérifier si la personne ayant le salaire brut le plus élevé conserve effectivement le salaire net le plus élevé.
3. c) Un député a proposé une formule alternative sans paramètre correcteur : $T_{\text{alt}}(x) = 0,18x$ si $0 \le x \le 20$, et $T_{\text{alt}}(x) = 0,28x$ si $x > 20$ (appliquer le taux $28\,\%$ à la totalité du salaire dès que $20$ milliers d'euros sont dépassés). Calculer le saut $\lim_{x \to 20^+} T_{\text{alt}}(x) - \lim_{x \to 20^-} T_{\text{alt}}(x)$ et expliquer quelle situation économiquement absurde subirait un travailleur dont le salaire passerait de $20\,000$ € à $20\,100$ €.