Exercices: Multiples, diviseurs, parité et fractions irréductibles

1. a) Donner tous les diviseurs positifs de 36.
2. b) Donner les cinq plus petits multiples positifs de 14.
3. c) Le nombre 2 345 est-il divisible par 5 ? par 3 ? par 2 ?

Rendre irréductible chacune des fractions suivantes :

1. a) $\dfrac{84}{126}$
2. b) $\dfrac{75}{100}$
3. c) $\dfrac{144}{360}$

1. a) Écrire un entier pair sous la forme $2k$ et un entier impair sous la forme $2k+1$, avec $k$ entier.
2. b) Le nombre $2 \times 17 + 1$ est-il pair ou impair ?
3. c) Donner l'écriture générale de trois entiers consécutifs en fonction d'un entier $n$.

Un fleuriste à Lyon dispose de 84 roses et de 126 tulipes. Il souhaite réaliser des bouquets identiques, sans reste, contenant des roses et des tulipes.

1. a) Quel est le nombre maximal de bouquets possibles ?
2. b) Combien de roses et de tulipes contient alors chaque bouquet ?

Deux bus partent ensemble de la gare de Rennes à 7 h 00. Le bus A repasse à la gare toutes les 18 minutes, le bus B toutes les 24 minutes.

1. a) À quelle heure repartent-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?
2. b) Combien de fois repartent-ils ensemble entre 7 h 00 (exclu) et 12 h 00 (inclus) ?

Soit $a$ et $b$ deux entiers, multiples de 6 et de 9 respectivement.

1. a) Démontrer que $a + b$ est un multiple de 3.
2. b) Démontrer que le produit $ab$ est un multiple de 54.
3. c) La somme $a + b$ est-elle nécessairement un multiple de 6 ? Justifier par un contre-exemple ou une démonstration.

1. a) Démontrer que le carré d'un entier impair est impair.
2. b) Démontrer que le carré d'un entier impair s'écrit $8m + 1$ avec $m$ entier.
3. c) En déduire que la somme des carrés de deux entiers impairs n'est jamais un carré parfait.

Soit $n$ un entier naturel.

1. a) Démontrer que la fraction $\dfrac{n}{n+1}$ est irréductible (on pourra raisonner sur un diviseur commun $d$ de $n$ et $n+1$).
2. b) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
3. c) Démontrer que la somme de quatre entiers consécutifs n'est jamais un multiple de 4.

On suppose que $\sqrt{3}$ s'écrit $\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs et la fraction irréductible.

1. a) Montrer que $p^2 = 3q^2$, puis que $p^2$ est multiple de 3.
2. b) Montrer que $p$ est multiple de 3 (on pourra raisonner sur les restes dans la division par 3).
3. c) Aboutir à une contradiction et conclure.