Propiedades de los exponentes
Se publican dos videos al mismo tiempo, cada uno con 1 vista. Las vistas del video A se triplican cada hora. Las vistas del video B se multiplican por 8 cada dos horas. Después de 10 horas, A tiene $3^{10}$ vistas y B tiene $8^5$. ¿Cuál es mayor? Intenta decidirlo sin calculadora.
Ya sabes que $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$. En Álgebra 2 lo difícil no es la regla en sí, sino reconocer qué propiedad usar dentro de una expresión más larga: bases que hay que reescribir, variables o una incógnita escondida en el exponente. Esta página entrena esa habilidad. Volveremos a los videos al final de la sección "Reescribir con una base común".
Producto, cociente y potencia de una potencia
Empecemos por lo que significa un exponente: cuenta factores repetidos. Aquí está $2^3 \cdot 2^2$:
Si pones tres factores de 2 junto a dos factores más de 2, tienes cinco factores de 2. Esa es toda la idea de la primera regla.
Exprese como una única potencia de base $5$ aplicando las propiedades de las potencias: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.
Exprese como una única potencia de base $5$ aplicando las propiedades de las potencias: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.
Reduzca a una sola potencia utilizando las propiedades adecuadas: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.
Reduzca a una sola potencia utilizando las propiedades adecuadas: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.
Exponentes cero y negativos
¿Qué debería significar $2^0$ o $2^{-3}$? Busca un patrón. Cada paso hacia la derecha divide entre 2:
El patrón dice que $2^0 = 1$, $2^{-1} = \frac{1}{2}$, $2^{-2} = \frac{1}{4}$. La regla del cociente coincide: $\dfrac{a^3}{a^3} = 1$ y también $a^{3-3} = a^0$, así que $a^0$ debe ser igual a $1$.
Calcule el valor de la siguiente potencia y exprese el resultado en forma de fracción irreducible: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.
Calcule el valor de la siguiente potencia y exprese el resultado en forma de fracción irreducible: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.
Exprese el número $\frac{1}{128}$ como una potencia de base $2$ utilizando un exponente negativo.
Exprese el número $\frac{1}{128}$ como una potencia de base $2$ utilizando un exponente negativo.
Mismo exponente, bases distintas
Ahora la otra situación: las bases son distintas pero el exponente es el mismo.
Por eso funciona así el cambio de escala de una figura. Si triplicas el lado de un cuadrado, el área es $(3s)^2 = 3^2 s^2 = 9s^2$, nueve veces mayor:
En un cubo el exponente es 3. Si cada arista se multiplica por $k$, el volumen se multiplica por $k^3$.
Escriba como una única potencia aplicando las propiedades de las operaciones con potencias del mismo exponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.
Escriba como una única potencia aplicando las propiedades de las operaciones con potencias del mismo exponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.
Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando su respuesta mediante las propiedades de las potencias: "El doble de $2^8$ es $4^8$".
Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando su respuesta mediante las propiedades de las potencias: "El doble de $2^8$ es $4^8$".
Una empresa de embalajes fabrica cajas con forma cúbica. Si deciden triplicar la longitud de la arista de una caja estándar, ¿por qué factor quedará multiplicado su…
Una empresa de embalajes fabrica cajas con forma cúbica. Si deciden triplicar la longitud de la arista de una caja estándar, ¿por qué factor quedará multiplicado su volumen? Exprese su razonamiento utilizando las propiedades de la potencia de un producto.
Simplificar expresiones con variables
Las variables funcionan igual que los números. Supón que toda variable en un denominador es distinta de cero. Una meta típica es una respuesta final con solo exponentes positivos.
Los exponentes también pueden contener variables. Trata el exponente completo como un solo número y usa paréntesis cuando lo restes.
Simplifique la siguiente expresión algebraica dejando el resultado con exponentes positivos: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.
Simplifique la siguiente expresión algebraica dejando el resultado con exponentes positivos: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.
Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado sin exponentes negativos:…
Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado sin exponentes negativos: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.
Simplifique la siguiente expresión algebraica, donde $x$ e $y$ son números reales distintos de cero y $a, b$ son números enteros positivos:…
Simplifique la siguiente expresión algebraica, donde $x$ e $y$ son números reales distintos de cero y $a, b$ son números enteros positivos:
$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$
Aplique las propiedades de potencias con la misma base y exprese el resultado final utilizando únicamente exponentes positivos.
Reescribir con una base común
Cuando las bases son números distintos, reescríbelas para que coincidan. Descompón cada base en factores primos o reconócela como una potencia de un número menor.
El mismo truco te permite comparar números grandes sin calculadora. Cuando las bases coinciden, compara los exponentes.
Volvamos a los dos videos. Podemos hacer que coincidan los exponentes en lugar de las bases.
Simplifique la siguiente expresión factorizando previamente las bases y aplicando las propiedades de las potencias. Exprese el resultado como un producto de potencias de…
Simplifique la siguiente expresión factorizando previamente las bases y aplicando las propiedades de las potencias. Exprese el resultado como un producto de potencias de bases primas: $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.
Sin utilizar la calculadora, determine cuál de las siguientes cantidades es mayor: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifique su respuesta transformando una de las potencias para…
Sin utilizar la calculadora, determine cuál de las siguientes cantidades es mayor: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifique su respuesta transformando una de las potencias para que ambas tengan la misma base.
Un estudiante ha realizado el siguiente desarrollo algebraico para simplificar una expresión:…
Un estudiante ha realizado el siguiente desarrollo algebraico para simplificar una expresión:
$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$
Identifique si hay algún error en su razonamiento, explíquelo detalladamente y proporcione el resultado correcto aplicando de forma estricta las propiedades de las potencias.
Sumas y diferencias de potencias
No existe una propiedad para $a^m + a^n$. Cuando los exponentes contienen una variable, saca factor común la potencia común. Esto es simplemente la propiedad distributiva.
Si graficas la expresión, ves lo mismo. Es una recta horizontal, porque el valor no depende de $x$:
Simplifique la siguiente expresión en la que los exponentes dependen del parámetro $n$, extrayendo factor común si es necesario para poder operar:…
Simplifique la siguiente expresión en la que los exponentes dependen del parámetro $n$, extrayendo factor común si es necesario para poder operar: $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+1} + 3^n}$.
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente. El hecho clave: si $b > 0$ y $b \neq 1$, entonces $b^m = b^n$ significa $m = n$. El plan es:
-
Escribe ambos lados con la misma base.
-
Simplifica cada lado con las propiedades.
-
Iguala los exponentes y resuelve la ecuación resultante. Normalmente es una ecuación lineal.
Gráficamente, $2^x = \frac{1}{8}$ es el punto donde la curva $y = 2^x$ corta la recta $y = \frac{1}{8}$:
Se cruzan en $x = -3$, porque $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.
Dos incógnitas en los exponentes dan un sistema de ecuaciones lineales.
Encuentre el valor del exponente $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.
Encuentre el valor del exponente $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.
Resuelva la siguiente ecuación exponencial expresando todos los términos como potencias de la misma base y operando con sus exponentes: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.
Resuelva la siguiente ecuación exponencial expresando todos los términos como potencias de la misma base y operando con sus exponentes: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.
Encuentre los valores de $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para transformar el sistema en…
Encuentre los valores de $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para transformar el sistema en un sistema de ecuaciones lineales:
$2^x \cdot 4^y = 256$
$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$
Modelos de crecimiento
Cuando una cantidad se multiplica por el mismo factor de crecimiento $b$ en cada paso de tiempo, sigue
$$A = a \cdot b^{t}$$donde $a$ es la cantidad inicial y $t$ cuenta los pasos. Para un crecimiento porcentual de $r$, el factor es $b = 1 + r$ (un crecimiento de 4% significa $b = 1.04$). Si el factor se aplica una vez cada $p$ unidades de tiempo, usa el exponente $t/p$.
¿Por qué? Después de 1 paso tienes $a \cdot b$. Después de 2 pasos multiplicas otra vez por $b$ y obtienes $a\cdot b\cdot b = a \cdot b^2$, y así sucesivamente. La multiplicación repetida es justo lo que cuenta un exponente.
Mueve el control deslizante para ver cómo la cantidad inicial cambia la curva $A = a \cdot 1.05^t$:
Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología se duplica cada hora. Si inicialmente hay $1000$ bacterias, exprese en forma de producto con una potencia el número…
Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología se duplica cada hora. Si inicialmente hay $1000$ bacterias, exprese en forma de producto con una potencia el número de bacterias que habrá al cabo de $12$ horas y calcule su valor final.
Un capital se invierte a un interés compuesto anual tal que cada año el dinero se multiplica por $1,05$. Si la inversión inicial es de $\$2000…
Un capital se invierte a un interés compuesto anual tal que cada año el dinero se multiplica por $1,05$. Si la inversión inicial es de $\$2000$, escriba la expresión en forma de potencia que calcula el capital tras $t$ años. ¿Cuánto dinero habrá tras $4$ años?
La ley empírica de Moore sugiere que el número de transistores en un microprocesador se duplica aproximadamente cada $2$ años. Si en el año 1970 un procesador tenía…
La ley empírica de Moore sugiere que el número de transistores en un microprocesador se duplica aproximadamente cada $2$ años. Si en el año 1970 un procesador tenía $2000$ transistores, exprese el número de transistores en el año $1970 + t$ mediante una potencia de base $2$. Utilice esta propiedad para estimar cuántos transistores tendría un procesador en el año 2010.
Decaimiento, cuadrados inversos y números enormes
Si el factor es menor que 1, la cantidad disminuye. Dividir entre 2 en cada paso es lo mismo que multiplicar por $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, y los exponentes negativos son una forma natural de escribir el decaimiento.
Algunas leyes involucran una potencia de la distancia. Para la luz o el sonido, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: si la distancia se multiplica por $k$, la intensidad se multiplica por $k^{-2} = \dfrac{1}{k^2}$.
Para números enormes, usa la útil estimación $2^{10} = 1{,}024 \approx 10^3$. Así puedes convertir entre potencias de 2 y potencias de 10.
Cuando un problema mezcla unidades, conviértelas antes de escribir la ecuación. Por ejemplo, $1$ km $= 1{,}000{,}000$ mm $= 10^6$ mm.
Una sustancia radiactiva reduce su masa a la tercera parte cada día que pasa. Si hoy tenemos una muestra de $81$ onzas, exprese mediante una potencia de base $3$ la…
Una sustancia radiactiva reduce su masa a la tercera parte cada día que pasa. Si hoy tenemos una muestra de $81$ onzas, exprese mediante una potencia de base $3$ la cantidad de sustancia que quedará dentro de $6$ días y calcule el resultado.
En astrofísica, la intensidad de la luz que recibimos de una estrella es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que nos encontramos. Si nos alejamos…
En astrofísica, la intensidad de la luz que recibimos de una estrella es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que nos encontramos. Si nos alejamos a una distancia $4$ veces mayor de la estrella, exprese mediante una potencia de exponente negativo el factor por el cual se multiplica la intensidad de la luz original. Si la intensidad inicial era $I_0$, ¿cuál será la nueva intensidad en función de $I_0$?
Imagine que tiene una hoja de papel de $0,1\text{ mm}$ de grosor. Cada vez que dobla la hoja por la mitad sobre sí misma, su grosor se duplica. Exprese el grosor de la…
Imagine que tiene una hoja de papel de $0,1\text{ mm}$ de grosor. Cada vez que dobla la hoja por la mitad sobre sí misma, su grosor se duplica. Exprese el grosor de la hoja tras $n$ dobleces mediante una potencia. Si la distancia media de la Tierra a la Luna es de aproximadamente $384\,000\text{ km}$, plantee una ecuación utilizando potencias de $2$ para estimar cuántos dobleces se necesitarían para que el grosor del papel alcance la Luna (puede estimar el valor sabiendo que $2^{10} \approx 10^3$).