Ecuaciones cuadráticas y la fórmula cuadrática
Marcus patea un balón de fútbol americano. Su altura en pies, $t$ segundos después de la patada, es $h = -16t^2 + 48t + 3$. ¿En qué momentos está el balón exactamente a $35$ ft de altura? Encontrarás que hay dos respuestas, y verás por qué antes de terminar esta página.
En Álgebra 1 resolviste ecuaciones cuadráticas factorizando y con la fórmula cuadrática. En Álgebra 2 la ecuación cuadrática se convierte en una herramienta. Vas a saber cuántas soluciones tiene sin resolverla, a sacar información solo de los coeficientes y a convertir ecuaciones de apariencia complicada en ecuaciones cuadráticas.
Forma estándar y fórmula cuadrática
Gráficamente, las soluciones son las intersecciones con el eje $x$ de la parábola $y = ax^2 + bx + c$. Mueve los deslizadores y observa dónde cruza la parábola el eje $x$.
¿Qué método conviene usar? Primero mira la ecuación:
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Si se factoriza fácilmente, factoriza y usa la propiedad del producto cero.
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Si no hay término en $x$, despeja $x^2$ y saca raíz cuadrada (siguiente sección).
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La fórmula cuadrática funciona en todas las ecuaciones cuadráticas, así que, en caso de duda, úsala.
Ecuaciones que primero hay que simplificar
A veces la ecuación todavía no está en forma estándar. Desarrolla, pasa todos los términos a un lado, combina términos semejantes y después identifica $a$, $b$ y $c$.
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Desarrolle las expresiones, simplifique y resuelva la ecuación de segundo grado resultante: $(x - 2)(x + 3) = 2x - 6$
Desarrolle las expresiones, simplifique y resuelva la ecuación de segundo grado resultante:
$(x - 2)(x + 3) = 2x - 6$
Ecuaciones sin término lineal o sin término constante
Algunos problemas llaman a estas ecuaciones cuadráticas incompletas. Se resuelven más rápido que con la fórmula.
¿Y si el número bajo la raíz es negativo? Entonces $x^2 = -16$ no tiene solución real. En los números complejos, $x = \pm 4i$.
Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común: $3x^2 - 12x = 0$
Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:
$3x^2 - 12x = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $2x^2 - 18 = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$2x^2 - 18 = 0$
El discriminante
La expresión bajo la raíz cuadrada, $b^2 - 4ac$, te dice qué tipo de soluciones esperar antes de resolver nada.
Sin llegar a resolver la ecuación, determine el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante: $5x^2 - 3x + 2 = 0$
Sin llegar a resolver la ecuación, determine el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:
$5x^2 - 3x + 2 = 0$
Determine el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determine el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Suma y producto de las raíces
Puedes aprender mucho sobre las soluciones sin hallarlas.
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcule la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcule la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a=1$) sabiendo que sus soluciones son $x_1 = 4$ y $x_2 = -3$.
Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a=1$) sabiendo que sus soluciones son $x_1 = 4$ y $x_2 = -3$.
Sean $x_1$ y $x_2$ las raíces de la ecuación $3x^2 - 5x + 1 = 0$. Sin calcular de forma explícita el valor de $x_1$ y $x_2$, utilice las propiedades de las raíces para…
Sean $x_1$ y $x_2$ las raíces de la ecuación $3x^2 - 5x + 1 = 0$. Sin calcular de forma explícita el valor de $x_1$ y $x_2$, utilice las propiedades de las raíces para hallar el valor exacto de la expresión $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.
Ceros y factores
Resolver $ax^2 + bx + c = 0$ es lo mismo que hallar los ceros del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$. El teorema del factor conecta los ceros con los factores: si $r$ es un cero de $P$, entonces $(x - r)$ es un factor de $P$.
Mueve los deslizadores: los ceros $a$ y $b$ están exactamente donde la parábola cruza el eje $x$.
Un cero es un número que hace verdadera la ecuación. Por eso, si un problema te da una solución, sustitúyela.
Halle las raíces del polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ y utilícelas para escribir el polinomio factorizado.
Halle las raíces del polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ y utilícelas para escribir el polinomio factorizado.
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcule el valor del parámetro…
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcule el valor del parámetro $m$ y halle la otra solución.
Ecuaciones con un parámetro
A veces una ecuación contiene una letra extra, un parámetro como $k$ o $m$. Entonces la pregunta es cómo cambia el número de soluciones según el parámetro. Pruébalo: el deslizador $a$ de abajo hace el papel de $k$ en $kx^2 + 2x + 1 = 0$.
El discriminante también es la herramienta para demostrar cosas sobre las soluciones. Compara $\Delta$ con algo cuyo signo conozcas.
Discuta el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Discuta el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Demuestre algebraicamente que la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$) siempre tiene dos soluciones reales y distintas si los coeficientes $a$ y…
Demuestre algebraicamente que la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$) siempre tiene dos soluciones reales y distintas si los coeficientes $a$ y $c$ tienen signos opuestos (es decir, si se cumple que $a \cdot c < 0$).
Ecuaciones que se reducen a cuadráticas
Muchas ecuaciones que no parecen cuadráticas lo son después de un poco de trabajo.
Ecuaciones racionales
Multiplica ambos lados por el mínimo común denominador. Escribe primero las restricciones: los valores que hacen cero un denominador no pueden ser soluciones.
Ojo: después de quitar los denominadores, a veces los términos en $x^2$ se cancelan. Entonces queda una ecuación lineal y una sola solución. No hay problema, simplemente resuélvela.
Sustitución (cuadrática en su forma)
Si una ecuación tiene la forma $A u^2 + B u + C = 0$, donde $u$ es alguna expresión en $x$, reemplaza esa expresión por una letra nueva, resuelve para $u$ y luego regresa a $x$.
La parte sustituida puede ser una expresión completa, como $u = x^2 + 1$ o $u = x^2 - 3x$.
Resuelva la siguiente ecuación con fracciones algebraicas operando hasta reducirla a una ecuación de segundo grado: $\frac{x+1}{x-2} + \frac{3x}{x+2} = 4$
Resuelva la siguiente ecuación con fracciones algebraicas operando hasta reducirla a una ecuación de segundo grado:
$\frac{x+1}{x-2} + \frac{3x}{x+2} = 4$
Resuelva la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:…
Resuelva la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:
$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$
Modelos de proyectiles y de ganancias
Cuando una función cuadrática modela una situación, preguntas como "¿cuándo?" o "¿cuántos?" se convierten en ecuaciones cuadráticas. Sigue este plan:
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Identifica qué representa la variable (y sus unidades).
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Escribe la ecuación a partir de la situación.
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Resuélvela.
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Comprueba que cada solución tenga sentido en el contexto.
Volvamos al inicio: aquí está la patada de Marcus junto con la recta $h = 35$. Los momentos en que el balón está a $35$ ft son donde la curva cruza la recta.
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en pies respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene…
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en pies respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determine en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ pies de altura.
Una empresa de tecnología fabrica discos duros externos. La ganancia mensual, en miles de dólares, al vender $x$ cientos de unidades se modela mediante la función…
Una empresa de tecnología fabrica discos duros externos. La ganancia mensual, en miles de dólares, al vender $x$ cientos de unidades se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -2x^2 + 24x - 54$. ¿Cuántas unidades deben venderse para que la ganancia sea nula (punto de equilibrio)?
Problemas de área
El área es largo por ancho, así que dos longitudes desconocidas multiplicadas dan una ecuación cuadrática. Dibuja una figura y rotula cada lado con una expresión.
Un arquitecto está diseñando un panel solar rectangular para el techo de un edificio industrial. Por restricciones de diseño, la base del panel debe medir exactamente…
Un arquitecto está diseñando un panel solar rectangular para el techo de un edificio industrial. Por restricciones de diseño, la base del panel debe medir exactamente $3$ pies más que su altura. Si el área total del panel debe ser de $28 \text{ m}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule sus dimensiones.
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin…
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantee una ecuación y halle el ancho del marco.
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus…
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y halle las dimensiones posibles del rectángulo.
Problemas de números y de reparto
Para números "consecutivos", usa $n$ y $n + 1$ (enteros consecutivos) o $n$ y $n + 2$ (enteros impares consecutivos o pares consecutivos). En los problemas de reparto, usa costo por persona $= \dfrac{\text{total}}{\text{número de personas}}$.
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantee una ecuación de segundo grado y resuelva para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de…
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantee una ecuación de segundo grado y resuelva para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $\$360…
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $\$360$, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $\$9$ más cada uno para cubrir el costo total. Plantee una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.
Problemas de distancia y de razones
Cuando dos movimientos forman ángulo recto (norte y este), la distancia entre los objetos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, así que el teorema de Pitágoras da una ecuación cuadrática. Las proporciones entre longitudes también llevan a ecuaciones cuadráticas después de multiplicar en cruz.
Dos drones de vigilancia parten simultáneamente de una misma base. El primer dron vuela en línea recta hacia el norte a una velocidad constante de $v \text{ km/h}$, y el…
Dos drones de vigilancia parten simultáneamente de una misma base. El primer dron vuela en línea recta hacia el norte a una velocidad constante de $v \text{ km/h}$, y el segundo vuela hacia el este a una velocidad de $v + 5 \text{ km/h}$. Después de $2$ horas de vuelo, la distancia en línea recta que los separa es de $50 \text{ km}$. Plantee una ecuación cuadrática y determine la velocidad de cada dron.
La proporción áurea se obtiene al dividir un segmento de longitud $L$ en dos partes $x$ e $y$ (con $x > y$) de tal forma que la relación entre el segmento total y la…
La proporción áurea se obtiene al dividir un segmento de longitud $L$ en dos partes $x$ e $y$ (con $x > y$) de tal forma que la relación entre el segmento total y la parte mayor sea igual a la relación entre la parte mayor y la menor. Si fijamos la longitud de la parte menor como $y = 1$, plantee la ecuación de segundo grado resultante para $x$ y halle el valor exacto del número áureo $\Phi$.