Notación científica
La masa de la Tierra es $5{,}970{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000$ kg. La masa de un electrón es $0.00000000000000000000000000000091$ kg. Nadie quiere contar todos esos ceros a mano, y un solo cero de más o de menos hace que tu respuesta se equivoque por un factor de 10. Los científicos, los ingenieros y los analistas de datos escriben estos números con potencias de $10$. ¿Puedes escribir las dos masas con solo unos pocos dígitos cada una? Al final de esta página podrás hacerlo.
¿Qué es la notación científica?
¿Por qué $1 \le a < 10$? Porque así la notación es única. Hay una sola manera de escribir cada número, y por eso es fácil compararlos. El exponente $n$ te dice el tamaño del número, y el coeficiente te da sus dígitos.
Recorre las escalas del universo, de los átomos a las galaxias, todas en una misma recta logarítmica:
Indica cuáles de los siguientes números no están correctamente escritos en notación científica y escríbelos de forma correcta: a) $45,2 \cdot 10^3$ b)…
Indica cuáles de los siguientes números no están correctamente escritos en notación científica y escríbelos de forma correcta:
- a) $45,2 \cdot 10^3$
- b) $0,8 \cdot 10^{-2}$
- c) $3,1 \cdot 10^5$
- d) $12 \cdot 10^{-4}$
Pasar de notación científica a decimal y al revés
El exponente cuenta cuántos lugares se mueve el punto decimal.
Escribe en notación científica los siguientes números decimales: a) $450 000 000$ b) $0,000000032$ c) $12 500$ d) $0,000105$
Escribe en notación científica los siguientes números decimales:
- a) $450 000 000$
- b) $0,000000032$
- c) $12 500$
- d) $0,000105$
Expresa en notación decimal ordinaria los siguientes números dados en notación científica: a) $3,4 \cdot 10^5$ b) $1,89 \cdot 10^{-4}$ c) $7 \cdot 10^8$ d)…
Expresa en notación decimal ordinaria los siguientes números dados en notación científica:
- a) $3,4 \cdot 10^5$
- b) $1,89 \cdot 10^{-4}$
- c) $7 \cdot 10^8$
- d) $5,02 \cdot 10^{-6}$
Comparar y ordenar números
Primero decide el exponente. Solo cuando los exponentes son iguales comparas los coeficientes.
Orden de magnitud
El orden de magnitud de un número es la potencia de $10$ más cercana a él. Entre $10^{n}$ y $10^{n+1}$, el punto medio en la recta numérica es $5.5 \times 10^{n}$. Así que, para un número $a \times 10^{n}$:
-
si $a < 5.5$, el orden de magnitud es $10^{n}$;
-
si $a > 5.5$, el orden de magnitud es $10^{n+1}$.
Muchas clases simplemente dicen "redondea hacia arriba cuando $a \ge 5$". Las dos reglas coinciden salvo para coeficientes entre $5$ y $5.5$, así que puedes usar ese atajo. En esta página usamos la potencia de $10$ más cercana en la recta numérica.
Ordena de menor a mayor los siguientes números escritos en notación científica: $A = 3,2 \cdot 10^4$ $B = 4,1 \cdot 10^{-3}$ $C = 1,5 \cdot 10^4$ $D = 8,9 \cdot 10^{-4}$…
Ordena de menor a mayor los siguientes números escritos en notación científica:
$A = 3,2 \cdot 10^4$
$B = 4,1 \cdot 10^{-3}$
$C = 1,5 \cdot 10^4$
$D = 8,9 \cdot 10^{-4}$
$E = 2 \cdot 10^5$
Determina el orden de magnitud (la potencia de $10$ más cercana) de las siguientes cantidades expresadas en notación científica: a) $4,8 \cdot 10^6$ b)…
Determina el orden de magnitud (la potencia de $10$ más cercana) de las siguientes cantidades expresadas en notación científica:
- a) $4,8 \cdot 10^6$
- b) $1,1 \cdot 10^{-5}$
- c) $9,2 \cdot 10^{12}$
- d) $2,5 \cdot 10^{-8}$
Multiplicar y dividir
Trabaja por separado con los coeficientes y con las potencias de $10$. Usa las reglas del producto y del cociente de potencias: $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$ y $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$. Al final, ajusta el coeficiente si queda fuera de $[1, 10)$.
¿Por qué funciona el ajuste? $24 \times 10^5 = 2.4 \times 10 \times 10^5 = 2.4 \times 10^6$. Cada vez que el coeficiente se hace $10$ veces menor, el exponente sube $1$ y el valor no cambia.
Realiza las siguientes multiplicaciones agrupando los números y las potencias de base $10$. Expresa el resultado final en notación científica: a)…
Realiza las siguientes multiplicaciones agrupando los números y las potencias de base $10$. Expresa el resultado final en notación científica:
- a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
- b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^{-4})$
- c) $(5 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^{-2})$
Efectúa las siguientes divisiones y da el resultado en notación científica: a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$ b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-2})$ c)…
Efectúa las siguientes divisiones y da el resultado en notación científica:
- a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$
- b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-2})$
- c) $(1,5 \cdot 10^5) : (3 \cdot 10^8)$
Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones y da el resultado final ajustado en notación científica:…
Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones y da el resultado final ajustado en notación científica:
$\frac{(4,2 \cdot 10^5) \cdot (2 \cdot 10^{-3})}{3 \cdot 10^4}$
Sumar y restar
Sumar y restar funciona como combinar términos semejantes: solo puedes combinar números que tengan la misma potencia de $10$. Si los exponentes son iguales, suma o resta los coeficientes y conserva la potencia de $10$. Si son distintos, reescribe primero uno de los números.
Cuando la expresión es una fracción con sumas arriba o abajo, simplifica por separado el numerador y el denominador, y luego divide.
Calcula las siguientes sumas y restas que tienen el mismo exponente en la potencia de $10$: a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,1 \cdot 10^5$ b)…
Calcula las siguientes sumas y restas que tienen el mismo exponente en la potencia de $10$:
- a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,1 \cdot 10^5$
- b) $8,7 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-3}$
- c) $5,5 \cdot 10^8 + 4,5 \cdot 10^8$
Calcula las siguientes sumas y restas con distinto exponente, ajustando primero las potencias de $10$ para que coincidan. Expresa el resultado en notación científica: a)…
Calcula las siguientes sumas y restas con distinto exponente, ajustando primero las potencias de $10$ para que coincidan. Expresa el resultado en notación científica:
- a) $3,5 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5$
- b) $7,1 \cdot 10^{-4} - 5 \cdot 10^{-5}$
Efectúa la siguiente operación combinada con sumas y restas en el numerador y denominador. Expresa el resultado final estrictamente en notación científica:…
Efectúa la siguiente operación combinada con sumas y restas en el numerador y denominador. Expresa el resultado final estrictamente en notación científica:
$\frac{3,6 \cdot 10^{12} + 4,1 \cdot 10^{11}}{2 \cdot 10^{-3} - 5 \cdot 10^{-4}}$
Resolver ecuaciones con notación científica
Se resuelve exactamente igual que siempre: usa operaciones inversas en ambos lados. Lo único nuevo es que la aritmética usa las reglas anteriores.
Plantea y resuelve la siguiente ecuación de primer grado en la que los coeficientes están expresados en notación científica. Despeja la incógnita $x$ y expresa su valor…
Plantea y resuelve la siguiente ecuación de primer grado en la que los coeficientes están expresados en notación científica. Despeja la incógnita $x$ y expresa su valor en notación científica:
$(2,5 \cdot 10^4) \cdot x + 3 \cdot 10^5 = 1,8 \cdot 10^6$
Problemas verbales: cantidades, tasas y tiempo
Los problemas con números grandes casi siempre son de multiplicar (¿cuántos hay en total?) o de dividir (¿cuántos caben? ¿cuánto tarda?). Escribe siempre cada cantidad en notación científica con su unidad y comprueba que las unidades se cancelen y den la unidad que quieres.
Un glóbulo rojo humano tiene un diámetro aproximado de $7,5 \cdot 10^{-6}$ metros. Si en un experimento de laboratorio lográramos alinear $4 \cdot 10^6$ glóbulos rojos…
Un glóbulo rojo humano tiene un diámetro aproximado de $7,5 \cdot 10^{-6}$ metros. Si en un experimento de laboratorio lográramos alinear $4 \cdot 10^6$ glóbulos rojos uno tras otro, ¿qué longitud en metros alcanzaría la fila? Expresa el resultado en notación científica y en formato decimal ordinario.
La distancia media de la Tierra al Sol es de unas $1,5 \cdot 10^8$ millas y la velocidad de la luz en el vacío es de $3 \cdot 10^5$ millas/s. Utilizando la fórmula del…
La distancia media de la Tierra al Sol es de unas $1,5 \cdot 10^8$ millas y la velocidad de la luz en el vacío es de $3 \cdot 10^5$ millas/s. Utilizando la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme ($t = \frac{d}{v}$), ¿cuántos segundos tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? Expresa el resultado en notación científica y luego conviértelo a minutos.
Un disco duro externo tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ Terabytes (TB). Si una fotografía de alta resolución ocupa un promedio de $4 \cdot 10^6$ bytes,…
Un disco duro externo tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ Terabytes (TB). Si una fotografía de alta resolución ocupa un promedio de $4 \cdot 10^6$ bytes, ¿cuántas fotografías se pueden almacenar como máximo en este disco duro?
Dato: Considera que $1$ TB equivale a $10^{12}$ bytes.
Problemas verbales: cantidades por unidad, razones y conversión de unidades
Dividir una cantidad entre otra da una cantidad por unidad (como dólares por persona, llamada per cápita). Dividir dos cantidades del mismo tipo te dice cuántas veces mayor es una que la otra.
El Producto Interior Bruto (PIB) de un país europeo asciende a $\$1,2 \cdot 10^{12}$. Si la población total del país es de $4 \cdot 10^7…
El Producto Interior Bruto (PIB) de un país europeo asciende a $\$1,2 \cdot 10^{12}$. Si la población total del país es de $4 \cdot 10^7$ habitantes, ¿cuál es el PIB per cápita (dólares por habitante)? Expresa el resultado en notación científica y en dólares ordinarios.
En física de partículas se sabe que la masa de un electrón es aproximadamente $9,1 \cdot 10^{-31}$ kg y la masa de un protón es unos $1,67 \cdot 10^{-27}$ kg. Calcula…
En física de partículas se sabe que la masa de un electrón es aproximadamente $9,1 \cdot 10^{-31}$ kg y la masa de un protón es unos $1,67 \cdot 10^{-27}$ kg. Calcula cuántas veces es más masivo un protón que un electrón. Expresa la solución en notación científica con dos cifras decimales.
Un embalse de agua para consumo humano contiene $4,5 \cdot 10^3$ hectómetros cúbicos ($hm^3$). Sabiendo que $1$ $hm^3$ equivale a $10^9$ litros, expresa la capacidad…
Un embalse de agua para consumo humano contiene $4,5 \cdot 10^3$ hectómetros cúbicos ($hm^3$). Sabiendo que $1$ $hm^3$ equivale a $10^9$ litros, expresa la capacidad total del embalse en litros utilizando notación científica. Si la ciudad a la que abastece consume $5 \cdot 10^7$ litros de agua diariamente, ¿para cuántos días hay reservas suficientes?
Potencias de números en notación científica
Muchas fórmulas de ciencias elevan al cuadrado o al cubo una cantidad, como $v^2$ en la energía cinética, $R^3$ en el volumen de una esfera o $2^t$ en el crecimiento de una población. Para elevar a una potencia un número en notación científica, eleva el coeficiente a esa potencia y multiplica los exponentes (la regla de la potencia de una potencia $(10^n)^k = 10^{nk}$).
Cambiar las unidades de una longitud, un área o un volumen
A veces el radio está en una unidad, pero la respuesta debe estar en otra. Por ejemplo, un radio en millas y un volumen en kilómetros cúbicos. El plan más seguro es convertir primero la longitud y después usar la fórmula. Usa $1\ \text{mi} \approx 1.609\ \text{km}$ (o el factor que te dé el problema).
Para realizar estimaciones astronómicas, la Tierra se puede aproximar a una esfera perfecta con un radio de $R = 6,37 \cdot 10^3$ millas. Sabiendo que el volumen de una…
Para realizar estimaciones astronómicas, la Tierra se puede aproximar a una esfera perfecta con un radio de $R = 6,37 \cdot 10^3$ millas. Sabiendo que el volumen de una esfera se calcula mediante la fórmula $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, calcula el volumen de la Tierra en $km^3$. Expresa el resultado final en notación científica redondeando a dos cifras decimales. (Usa $\pi \approx 3,14$).
La energía cinética ($E_c$) de un cuerpo en movimiento se calcula con la expresión $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, donde $m$ es la masa en kg y $v$ es la velocidad en m/s.…
La energía cinética ($E_c$) de un cuerpo en movimiento se calcula con la expresión $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, donde $m$ es la masa en kg y $v$ es la velocidad en m/s. Calcula la energía cinética de un asteroide de masa $m = 4,5 \cdot 10^{14}$ kg que viaja por el espacio a una velocidad de $v = 2 \cdot 10^4$ m/s. Expresa el resultado en Julios (J) usando notación científica.
En un experimento de microbiología, una colonia de bacterias contiene inicialmente $5 \cdot 10^4$ individuos y se observa que su población se duplica cada día. Si el…
En un experimento de microbiología, una colonia de bacterias contiene inicialmente $5 \cdot 10^4$ individuos y se observa que su población se duplica cada día. Si el crecimiento sigue el modelo $P = P_0 \cdot 2^t$ (donde $t$ son los días), ¿cuántas bacterias habrá al cabo de $10$ días? Expresa el resultado final en notación científica. (Dato de ayuda: $2^{10} = 1024$).
Problemas de ciencias de varios pasos
Los problemas reales de ciencias combinan todo: fórmulas con productos y cocientes, potencias y conversiones de unidades. Usa un plan.
La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos viene dada por $F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$. Sabiendo que la…
La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos viene dada por $F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$.
Sabiendo que la constante de gravitación es $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ $N \cdot m^2/kg^2$, la masa de la Tierra es $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la masa de la Luna es $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg y la distancia media entre sus centros es $d = 3,84 \cdot 10^8$ m, calcula la fuerza de gravedad $F$ en Newtons ($N$). Expresa el resultado en notación científica redondeando a dos cifras decimales.
Un vaso contiene exactamente $18$ gramos de agua pura ($H_2O$). En química, se sabe que $18$ gramos equivalen a $1$ mol de agua y que $1$ mol de cualquier sustancia…
Un vaso contiene exactamente $18$ gramos de agua pura ($H_2O$). En química, se sabe que $18$ gramos equivalen a $1$ mol de agua y que $1$ mol de cualquier sustancia contiene el Número de Avogadro ($6,022 \cdot 10^{23}$) de moléculas. A partir de estos datos, calcula la masa en kilogramos de una sola molécula de agua. Expresa el resultado final en notación científica.
Un centro de investigación necesita transferir una copia de seguridad masiva de $4,5$ Petabytes (PB) a un servidor en otra ciudad. La conexión de fibra óptica dedicada…
Un centro de investigación necesita transferir una copia de seguridad masiva de $4,5$ Petabytes (PB) a un servidor en otra ciudad. La conexión de fibra óptica dedicada permite transferir datos a una velocidad constante de $3 \cdot 10^8$ bytes por segundo. Sabiendo que $1$ PB equivale a $10^{15}$ bytes, calcula cuántos días completos (y fracción de día si es necesario) tardará en finalizar la transferencia. Muestra los cálculos intermedios en notación científica.
De vuelta al principio: la masa de la Tierra es $5.97 \times 10^{24}$ kg y la masa de un electrón es $9.1 \times 10^{-31}$ kg. Dos números con decenas de ceros cada uno ahora caben en unos pocos caracteres, y puedes compararlos de un vistazo: los exponentes difieren en $24 - (-31) = 55$.