Ejercicios: Propiedades de las potencias

Exprese como una única potencia de base $5$ aplicando las propiedades de las potencias: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.

Calcule el valor de la siguiente potencia y exprese el resultado en forma de fracción irreducible: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

Reduzca a una sola potencia utilizando las propiedades adecuadas: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.

Escriba como una única potencia aplicando las propiedades de las operaciones con potencias del mismo exponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.

Simplifique la siguiente expresión algebraica dejando el resultado con exponentes positivos: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.

Encuentre el valor del exponente $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.

Exprese el número $\frac{1}{128}$ como una potencia de base $2$ utilizando un exponente negativo.

Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando su respuesta mediante las propiedades de las potencias: "El doble de $2^8$ es $4^8$".

Simplifique la siguiente expresión factorizando previamente las bases y aplicando las propiedades de las potencias. Exprese el resultado como un producto de potencias de bases primas: $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.

Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología se duplica cada hora. Si inicialmente hay $1000$ bacterias, exprese en forma de producto con una potencia el número de bacterias que habrá al cabo de $12$ horas y calcule su valor final.

Una sustancia radiactiva reduce su masa a la tercera parte cada día que pasa. Si hoy tenemos una muestra de $81$ onzas, exprese mediante una potencia de base $3$ la cantidad de sustancia que quedará dentro de $6$ días y calcule el resultado.

Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado sin exponentes negativos: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.

Una empresa de embalajes fabrica cajas con forma cúbica. Si deciden triplicar la longitud de la arista de una caja estándar, ¿por qué factor quedará multiplicado su volumen? Exprese su razonamiento utilizando las propiedades de la potencia de un producto.

Sin utilizar la calculadora, determine cuál de las siguientes cantidades es mayor: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifique su respuesta transformando una de las potencias para que ambas tengan la misma base.

Resuelva la siguiente ecuación exponencial expresando todos los términos como potencias de la misma base y operando con sus exponentes: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.

Un capital se invierte a un interés compuesto anual tal que cada año el dinero se multiplica por $1,05$. Si la inversión inicial es de $\$2000$, escriba la expresión en forma de potencia que calcula el capital tras $t$ años. ¿Cuánto dinero habrá tras $4$ años?

Simplifique la siguiente expresión en la que los exponentes dependen del parámetro $n$, extrayendo factor común si es necesario para poder operar: $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+1} + 3^n}$.

La alfombra de Sierpinski es un fractal que se construye a partir de un cuadrado. En cada iteración, cada cuadrado sólido se divide en $9$ cuadrados iguales y se elimina el central. Si el área inicial ($n=0$) es de $1\text{ m}^2$, en la primera iteración el área restante es $\frac{8}{9}\text{ m}^2$. Exprese el área restante tras $n$ iteraciones usando potencias. Calcule el área que quedará tras $5$ iteraciones.

La ley empírica de Moore sugiere que el número de transistores en un microprocesador se duplica aproximadamente cada $2$ años. Si en el año 1970 un procesador tenía $2000$ transistores, exprese el número de transistores en el año $1970 + t$ mediante una potencia de base $2$. Utilice esta propiedad para estimar cuántos transistores tendría un procesador en el año 2010.

Un estudiante ha realizado el siguiente desarrollo algebraico para simplificar una expresión:

$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$

Identifique si hay algún error en su razonamiento, explíquelo detalladamente y proporcione el resultado correcto aplicando de forma estricta las propiedades de las potencias.

Encuentre los valores de $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para transformar el sistema en un sistema de ecuaciones lineales:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$

En astrofísica, la intensidad de la luz que recibimos de una estrella es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que nos encontramos. Si nos alejamos a una distancia $4$ veces mayor de la estrella, exprese mediante una potencia de exponente negativo el factor por el cual se multiplica la intensidad de la luz original. Si la intensidad inicial era $I_0$, ¿cuál será la nueva intensidad en función de $I_0$?

Simplifique la siguiente expresión algebraica, donde $x$ e $y$ son números reales distintos de cero y $a, b$ son números enteros positivos:

$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$

Aplique las propiedades de potencias con la misma base y exprese el resultado final utilizando únicamente exponentes positivos.

Imagine que tiene una hoja de papel de $0,1\text{ mm}$ de grosor. Cada vez que dobla la hoja por la mitad sobre sí misma, su grosor se duplica. Exprese el grosor de la hoja tras $n$ dobleces mediante una potencia. Si la distancia media de la Tierra a la Luna es de aproximadamente $384\,000\text{ km}$, plantee una ecuación utilizando potencias de $2$ para estimar cuántos dobleces se necesitarían para que el grosor del papel alcance la Luna (puede estimar el valor sabiendo que $2^{10} \approx 10^3$).