Sistemas de desigualdades lineales con dos variables
Maya está horneando para la venta de pasteles de la escuela. Una tanda de galletas usa 2 tazas de harina y 1 taza de azúcar. Una tanda de brownies usa 3 tazas de harina y 1 taza de azúcar. Ella tiene 12 tazas de harina y 5 tazas de azúcar. ¿Puede hornear 4 tandas de galletas y 2 tandas de brownies? ¿Y cuáles son todas las combinaciones que podría hornear?
Una desigualdad (también llamada inecuación) con una variable te daba un intervalo en la recta numérica. Con dos variables, $x$ y $y$, la respuesta vive en el plano cartesiano: es una región completa. Al terminar esta página podrás dibujar esa región, hallar sus esquinas y responder la pregunta de Maya.
Una desigualdad: un semiplano
La recta frontera divide el plano en dos. Todos los puntos de un lado hacen verdadera la desigualdad, y todos los del otro lado la hacen falsa. Para saber qué lado es cuál, solo necesitas probar un punto.
Arrastra el punto y lee sus coordenadas. Luego sustitúyelas en $2x - y < 4$ para ver si debería caer en la región sombreada de la figura de arriba.
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no…
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.
Sistemas: la intersección de semiplanos
Para graficar un sistema, grafica cada desigualdad en los mismos ejes y quédate solo con la región donde se superponen los sombreados.
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$,…
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Vértices de la región factible
Cuando la intersección es un polígono cerrado, se llama región factible. Sus esquinas, los vértices, son los puntos que más importan en aplicaciones como la programación lineal (hallar el mejor plan de producción).
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los…
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \le x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \le x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Escribir un sistema a partir de una gráfica
A veces te dan el dibujo y debes escribir las desigualdades. Hazlo un lado de la región a la vez.
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos…
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el…
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje…
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje $X$ vs horas de testeo en el eje $Y$). Los vértices son $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ y $S(3, 0)$. Determina el sistema de inecuaciones que define exactamente esta región.
Problemas verbales: escribir las restricciones
Muchas situaciones reales tienen recursos limitados: horas, ingredientes, dinero, asientos. Cada límite se convierte en una desigualdad llamada restricción.
| Palabras | Símbolo |
|---|---|
| al menos, no menos de, un mínimo de | $\ge$ |
| como máximo, no más de, no puede exceder, un máximo de | $\le$ |
| más que / menos que | $>$ / $<$ |
| entre $a$ y $b$ (inclusive) | $a \le \text{expr} \le b$, dos desigualdades |
| $y$ no puede exceder el doble de $x$ | $y \le 2x$ |
Una pastelería elabora dos tipos de pasteles, T1 y T2. El pastel T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que el pastel T2 requiere $1$ hora…
Una pastelería elabora dos tipos de pasteles, T1 y T2. El pastel T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que el pastel T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modela esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.
Un agricultor dispone de $50$ acres para plantar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $\$20$ por acre y la de cebada $\$30$ por acre. El presupuesto máximo para…
Un agricultor dispone de $50$ acres para plantar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $\$20$ por acre y la de cebada $\$30$ por acre. El presupuesto máximo para semillas es de $\$1200$. Además, por normas ambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escribe el sistema de inecuaciones asociado y halla los vértices de la región factible.
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$…
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$ minutos. Cada ejercicio de fuerza dura $5$ minutos y cada uno de cardio $10$ minutos. Además, el número de ejercicios de fuerza debe ser al menos igual al número de ejercicios de cardio. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente.
Leer respuestas en la región
Una vez que tienes la región factible, puedes responder preguntas sobre ella: ¿Se permite este plan? ¿Cuál es lo máximo que puedo hacer de un artículo? ¿Dónde están las esquinas?
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad…
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.
Para la organización de un concierto se venden boletos VIP ($x$) y boletos estándar ($y$). La capacidad máxima del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de…
Para la organización de un concierto se venden boletos VIP ($x$) y boletos estándar ($y$). La capacidad máxima del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad y rentabilidad, el número de boletos estándar no puede superar el triple de los boletos VIP. Además, los organizadores exigen que se vendan al menos $1000$ boletos VIP. Escribe el sistema de inecuaciones, halla los vértices de la región factible y determina algebraicamente si es posible vender exactamente $1500$ boletos VIP y $4000$ estándar.
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de…
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de ensamblaje. Los trabajadores pueden dedicar un máximo de $40$ horas semanales al corte y $60$ horas al ensamblaje. Además, por un contrato previo, se deben fabricar al menos $5$ mesas semanales y el número de sillas no puede ser inferior al número de mesas. Plantea el sistema de inecuaciones, represéntalo y halla todos los vértices de la región factible.
Regiones no acotadas, vacías y especiales
No todos los sistemas dan un polígono cerrado.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región no…
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región no acotada y determina las coordenadas del único vértice que posee esta región.
Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos.…
Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos. Cada porción de Y aporta $15$ g de proteínas, $20$ g de grasas y $30$ g de carbohidratos. La dieta debe aportar al menos $120$ g de proteínas, no más de $100$ g de grasas y exactamente $240$ g de carbohidratos. Plantea el sistema de inecuaciones y ecuaciones asociado. ¿Se trata de una región bidimensional o de un segmento? Justifica tu respuesta y halla los extremos del conjunto solución.