Factorización de polinomios
El equipo de diseño de Emma está construyendo una caja para envíos. El volumen es $V(x) = x^3 + 3x^2 - 10x$ pulgadas cúbicas, y ella necesita el largo, el ancho y la altura. La respuesta está escondida dentro del polinomio, y factorizar es la manera de encontrarla. Un polinomio factorizado como $P(x) = 2x(x+5)(x-4)^2$ te dice de un vistazo que $P(x) = 0$ exactamente cuando $x = 0$, $x = -5$ o $x = 4$. En esta lección combinas todas las herramientas de factorización que conoces en un procedimiento sistemático, y añades casos nuevos: ceros repetidos, ceros fraccionarios y factores cuadráticos sin ceros reales.
Factor común, productos especiales y trinomios
Factorizar siempre empieza igual: saca el máximo común divisor (MCD). Luego mira lo que queda y pregúntate si es un producto especial, un trinomio que puedes factorizar o algo que puedes agrupar.
Trinomios y agrupación
Para un trinomio $ax^2 + bx + c$ difícil de factorizar por inspección, resuelve $ax^2 + bx + c = 0$ con la fórmula cuadrática. Si los ceros son $r_1$ y $r_2$, entonces $ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2)$.
Para cuatro términos, prueba la factorización por agrupación: factoriza cada par de términos y luego saca el binomio común.
Extrae factor común y utiliza las identidades notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Extrae factor común y utiliza las identidades notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:
$P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando identidades notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio…
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando identidades notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.
Ceros y multiplicidad
Factorizar "por completo" significa repetir los pasos hasta que cada factor sea lineal o cuadrático sin ceros reales. Si un factor $(x - r)$ aparece más de una vez, $r$ es un cero repetido, y el número de veces que aparece es su multiplicidad.
La multiplicidad también se ve en la gráfica. En un cero de multiplicidad impar la gráfica cruza el eje $x$. En un cero de multiplicidad par toca el eje y regresa. Aquí, $-1$ tiene multiplicidad 2 y $2$ tiene multiplicidad 1.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca…
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca de término independiente. Escríbelo en su forma factorizada y en su forma general desarrollada.
El teorema del factor y la división sintética
¿Cómo se halla un cero de un polinomio cúbico o de cuarto grado? Probando valores. El teorema del residuo hace rápida la prueba, y el teorema del factor convierte un cero en un factor.
Cuando conoces un cero $a$, la división sintética halla el cociente con muy poco trabajo. Escribe los coeficientes, baja el primero y repite: multiplica por $a$ y suma al siguiente coeficiente. El último número es el residuo. Es la misma aritmética que la división larga entre $x - a$, pero sin escribir las variables. En algunos problemas se le llama regla de Ruffini.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:
$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Polinomios de forma cuadrática y diferencias de cuadrados repetidas
Un polinomio $ax^4 + bx^2 + c$ es de forma cuadrática: solo tiene términos de grado $4$, $2$ y $0$, así que $x^4 = (x^2)^2$. En algunos problemas se les llama polinomios bicuadráticos. Reemplaza $x^2$ por una variable nueva $t$, factoriza el cuadrático en $t$ y luego devuelve $x^2$. Si después del primer paso aparece otra diferencia de cuadrados, aplícala por segunda vez.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
El teorema de las raíces racionales
Si el coeficiente principal no es $1$, los ceros pueden ser fracciones. El teorema de las raíces racionales te da una lista finita de candidatos para probar.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en…
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en horas. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos la población se anula.
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$…
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de dólares. Factoriza el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).
Una estrategia completa para polinomios de grado mayor
Para polinomios de grado 4, 5 o 6, combina todas las herramientas. Sigue el mismo orden cada vez y repite los pasos 2 y 3 con cada cociente.
La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en…
La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en pies y $h(x)$ la altura en pies. Factoriza $h(x)$ para encontrar los puntos exactos donde el dron toca el suelo ($h(x) = 0$).
El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para…
El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de anclaje de la pieza en el eje horizontal.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factores cuadráticos irreducibles
No todo polinomio se descompone en factores lineales. Un factor cuadrático con discriminante negativo no tiene ceros reales. Es irreducible sobre los números reales y la factorización termina ahí. Sobre los números complejos sigue: $x^2 + 9 = (x + 3i)(x - 3i)$. Los ceros complejos de un polinomio real aparecen en pares conjugados, y por eso los polinomios reales se descomponen en factores lineales y cuadráticos irreducibles.
A veces puedes encontrar factores cuadráticos que no son evidentes. Sumar y restar un término astuto completa un cuadrado y crea una diferencia de cuadrados.
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta…
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.
Factorización con parámetros desconocidos
Cuando un polinomio tiene un coeficiente desconocido y una condición de divisibilidad, usa primero el teorema del factor para hallar la incógnita. Luego factoriza con todos los coeficientes conocidos.
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su término independiente es $4$. Halla la expresión factorizada de $P(x)$.
Aplicaciones: dimensiones, puntos de equilibrio e intersecciones
Factorizar convierte un modelo en respuestas. Una fórmula de volumen se factoriza en dimensiones. Un modelo de ganancias o de altura igual a cero da puntos de equilibrio o puntos de aterrizaje. Y donde dos curvas $f$ y $g$ se cortan, $f(x) = g(x)$, así que los ceros de $D(x) = f(x) - g(x)$ son las coordenadas $x$ de las intersecciones.
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las…
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.
El contorno de la bóveda de un edificio vanguardista viene dado por la intersección geométrica de las curvas $f(x) = x^4 - 2x^3$ y $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Factoriza el…
El contorno de la bóveda de un edificio vanguardista viene dado por la intersección geométrica de las curvas $f(x) = x^4 - 2x^3$ y $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Factoriza el polinomio diferencia $D(x) = f(x) - g(x)$ para determinar las coordenadas $x$ de los pilares donde ambas estructuras se unen.
Simplificación de expresiones racionales
Para simplificar una fracción de polinomios, factoriza por completo el numerador y el denominador y luego cancela los factores comunes. La misma idea es el primer paso al sumar o restar expresiones racionales: factoriza cada denominador antes de hallar el denominador común.
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo: $\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo:
$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores…
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores y denominadores:
$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$
Resumen
De vuelta al inicio: al factorizar $x^3 + 3x^2 - 10x$ obtuvimos $x(x+5)(x-2)$, así que la caja de Emma mide $x$ por $x+5$ por $x-2$ pulgadas.