Desigualdades con raíces cuadradas
Un oficial de la policía estatal llega a la escena de un choque y mide las marcas de frenado. La policía usa el modelo $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas en pies y $v$ es la velocidad en mph antes de frenar. El límite de velocidad en esta carretera es 60 mph. ¿Qué tan largas deben ser las marcas para probar que el conductor iba a exceso de velocidad? Para responder, necesitas resolver una desigualdad (también llamada inecuación) con una raíz cuadrada. Volveremos a este problema al final.
Todo lo que verás en esta página se apoya en un hecho: una raíz cuadrada real existe solo cuando el radicando no es negativo, y su valor nunca es negativo. Esos dos hechos te dicen cuándo puedes elevar al cuadrado ambos lados y cuándo debes detenerte a pensar.
Primero, el dominio
Un punto cerrado significa que el extremo está incluido ($\ge$ o $\le$). Un punto abierto significa que no está incluido ($>$ o $<$).
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Raíz menor que un número
Empecemos con el tipo más sencillo: una raíz comparada con una constante $k$. Piensa en lo que puede valer la raíz. Nunca es negativa, así que nunca puede ser menor que un número negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Raíz mayor que un número
Ahora cambia el sentido. Una raíz es $\ge 0$, así que supera automáticamente a cualquier número negativo.
La curva es $y = \sqrt{3x + 6}$ y la recta es $y = 3$. ¿Dónde está la curva por encima de la recta o sobre ella?
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Sistemas y radicandos cuadráticos
A menudo debes cumplir varias condiciones a la vez, o el radicando es una expresión cuadrática. En ambos casos, resuelve cada condición por separado y luego intersecta los conjuntos solución. (Algunos problemas escriben "$\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$" como un sistema de desigualdades con una incógnita.)
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ millas de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la…
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ millas de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la trayectoria del dron viene dada por los puntos de la forma $(x, 3)$, plantea y resuelve la inecuación con raíces que determina los valores de $x$ permitidos para la trayectoria.
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:
$\sqrt{3x + 1} \le 4$
$x^2 - 2x - 3 > 0$
Cuando el otro lado tiene una $x$
Si la desigualdad es $\sqrt{P(x)} \lessgtr g(x)$ y $g(x)$ contiene $x$, no puedes simplemente elevar al cuadrado. El signo de $g(x)$ cambia de un $x$ a otro, y elevar al cuadrado solo conserva el orden cuando ambos lados son no negativos. Por eso se separa en casos según el signo de $g(x)$.
Algunas de estas desigualdades tienen en el lado izquierdo un radicando cuadrático, como $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. El método es idéntico: dominio, signo del lado derecho, elevar al cuadrado, intersectar. Ten cuidado con los puntos aislados: el dominio puede ser $x \le 1$ o $x \ge 3$ y la condición de signo puede ser $x \ge 1$, lo que deja el punto $x = 1$ junto con $x \ge 3$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Compruébalo en una gráfica
Resolver $\sqrt{x + 2} \ge x$ significa preguntar: ¿para qué $x$ la gráfica de $y = \sqrt{x + 2}$ está por encima de la gráfica de $y = x$ o la toca? La curva y la recta se cruzan donde los dos lados son iguales, y esos puntos de cruce son las fronteras de la solución.
El segmento anaranjado sobre el eje $x$ es donde la curva está sobre la recta o en ella. Termina en $x = 2$, justo donde se cruzan las dos gráficas. Usa la gráfica interactiva para probar otras desigualdades de esta manera.
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación…
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación gráfica adjunta.
Raíces anidadas y condiciones "para todo $x$"
Tres situaciones aparecen una y otra vez.
Raíces anidadas. Trabaja de afuera hacia adentro y conserva el dominio de cada capa. Para $\sqrt{3 - \sqrt{x + 1}}$, la raíz interior necesita $x + 1 \ge 0$, y el radicando exterior necesita $3 - \sqrt{x + 1} \ge 0$.
El "sándwich". A veces un lado está obligado a ser $\le 0$ mientras que el otro es $\ge 0$. Entonces la única posibilidad es que ambos valgan cero.
Las desigualdades anidadas como $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$ suelen terminar en un sándwich como este. Eleva al cuadrado una vez (el lado derecho es $1 > 0$) para eliminar la raíz exterior y luego usa la regla de la sección anterior con la raíz que queda.
Una condición para todo $x$. Para que $\sqrt{x^2 + kx + 4}$ esté definida para todo $x$ real, la expresión cuadrática nunca debe ser negativa. Su parábola abre hacia arriba, así que necesita tocar el eje $x$ en a lo sumo un punto: discriminante $k^2 - 16 \le 0$, o sea $-4 \le k \le 4$. Si la raíz debe ser estrictamente positiva para todo $x$ (como en "$\sqrt{\ldots} > 0$ para todo $x$"), la parábola no debe tocar el eje: discriminante $< 0$, o sea $-4 < k < 4$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.
Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.
Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Raíces en denominadores
Cuando la raíz está en un denominador, el radicando debe ser estrictamente positivo (mira la primera sección). Para comparar, recuerda que con números positivos, tomar recíprocos invierte la desigualdad: si $a > 0$ y $b > 0$, entonces $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ exactamente cuando $a < b$.
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la…
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad del objeto y $c$ la velocidad de la luz. Plantea y resuelve una inecuación para encontrar el rango de velocidades $v$ (expresadas como una fracción de $c$, asumiendo $v \ge 0$) para las cuales el factor de Lorentz es estrictamente mayor que $2$.
Modelos con raíces cuadradas
Muchas fórmulas reales tienen una raíz cuadrada: el tiempo de oscilación de un péndulo, la velocidad a partir de las marcas de frenado, el tiempo que tarda algo en caer. Para usarlas con desigualdades:
-
Nombra la variable y escribe la desigualdad a partir del enunciado.
-
Agrega las restricciones físicas (las longitudes y las cantidades no pueden ser negativas).
-
Resuelve, intersectando con el dominio.
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Responde en el contexto del problema, con unidades.
En el caso del péndulo, nota que $2\pi\sqrt{\dfrac{L}{\pi^2}}$ se simplifica antes de empezar a resolver.
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en pies y $g$ es la…
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en pies y $g$ es la aceleración de la gravedad. Asumiendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, halla el rango de longitudes $L$ para las cuales el periodo de oscilación está estrictamente entre $1$ y $3$ segundos.
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo…
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo diario es de $14$ horas, ¿cuántos lotes completos se pueden producir como máximo respetando el límite de tiempo?
La velocidad $v$ (en mph) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las…
La velocidad $v$ (en mph) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en pies. Si en un tramo de autopista el límite de velocidad es de $120\text{ mph}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.
Modelos de distancia y de costo
Las distancias usan el teorema de Pitágoras, así que una raíz de una expresión cuadrática aparece de manera natural. Los modelos de costo suelen combinar una raíz con un término lineal, y entonces debes aislar la raíz antes de elevar al cuadrado.
Un radicando como $t^2 - 12t + 52$ se puede reescribir completando el cuadrado: $(t - 6)^2 + 16$. Eso muestra que siempre es positivo, así que el dominio son todos los números reales y solo necesitas la desigualdad elevada al cuadrado. Recuerda también que un tiempo $t$ no puede ser negativo.
El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ pies fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ pies, donde $x$ es un…
El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ pies fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ pies, donde $x$ es un parámetro de ajuste estructural. Halla los valores de $x$ que garantizan que la altura del panel sea de al menos $2$ pies.
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en millas en…
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en millas en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el vehículo dispone de cobertura.
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Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia en línea recta $\sqrt{x^2 + 16}$, y el costo por terreno llano es proporcional a la distancia restante $(8 - x)$. El modelo de costo total simplificado viene dado por $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. ¿Para qué valores de $x \ge 0$ el costo total cumple la restricción presupuestaria $C(x) \le 16$?