Estás en la orilla de un lago y al otro lado hay un muelle. No puedes cruzar caminando ni extender una cinta métrica sobre el agua. ¿A qué distancia está el muelle? SOH-CAH-TOA no te ayuda, porque este triángulo no tiene ángulo recto. Necesitas una herramienta que funcione con cualquier triángulo, y la ley de los senos es la primera.
La ley de los senos
En cualquier triángulo $ABC$, cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto. El lado $a$ es opuesto al ángulo $A$, el lado $b$ al ángulo $B$ y el lado $c$ al ángulo $C$.
Para usar la ley necesitas un par correspondiente, un lado y su ángulo opuesto, más otro dato. Es decir, conoces dos ángulos y un lado (AAL o ALA), o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).
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En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ pulgadas. Calcule la longitud del lado $b$ utilizando el…
En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ pulgadas. Calcule la longitud del lado $b$ utilizando el teorema del seno.
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ pulgadas. Calcule la longitud del lado desigual aplicando directamente el…
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ pulgadas. Calcule la longitud del lado desigual aplicando directamente el teorema del seno.
La razón común de la ley de los senos no es solo un número. Es el diámetro de la circunferencia que pasa por los tres vértices, la circunferencia circunscrita.
Como $\sin$ nunca es mayor que $1$, ningún lado puede ser más largo que $2R$, el diámetro. Tiene sentido, porque una cuerda nunca es más larga que un diámetro.
La ley también te da razones. De $\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}$, la razón entre dos lados es igual a la razón entre los senos de sus ángulos opuestos.
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En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ pulgadas y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcule el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho…
En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ pulgadas y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcule el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0,8$, halle el valor exacto de $\sin B$.
En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0,8$, halle el valor exacto de $\sin B$.
En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ pulgadas, determine la…
En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ pulgadas, determine la longitud exacta del lado $c$.
Cuando conoces dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA), resuelves otro ángulo despejando su seno. Dos ángulos distintos entre $0^\circ$ y $180^\circ$ pueden tener el mismo seno, porque $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Por eso puedes obtener dos triángulos válidos.
Mueve el control deslizante $k$. La recta $y = k$ corta la curva del seno dos veces, en dos ángulos de $0$ a $\pi$ radianes ($0^\circ$ a $180^\circ$). Esos dos ángulos suman $180^\circ$ y son los dos candidatos para el ángulo que buscas.
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Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ pulgadas, $b = 10$ pulgadas y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determine el valor del ángulo $B$.
Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ pulgadas, $b = 10$ pulgadas y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determine el valor del ángulo $B$.
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si la relación entre dos lados es $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ y el ángulo $B = 30^\circ$,…
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si la relación entre dos lados es $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ y el ángulo $B = 30^\circ$, halle la medida del ángulo $A$, sabiendo de antemano que es un ángulo agudo.
En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcule los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las…
En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcule los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes correspondientes del lado $c$ para cada caso.
Puedes decidir cuántos triángulos existen antes de resolver, comparando el lado opuesto al ángulo dado con la altura. Supón que conoces el ángulo $A$, el lado $b$ adyacente y el lado $a$ opuesto. Gira el lado $a$ como un compás desde $C$ y compáralo con la altura $h = b\sin A$ de $C$ a la recta base.
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Determine si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y $A = 45^\circ$. Justifique su respuesta…
Determine si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y $A = 45^\circ$. Justifique su respuesta matemáticamente empleando el teorema del seno.
En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ pulgadas y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ pulgadas. Determine,…
En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ pulgadas y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ pulgadas. Determine, de forma razonada, el intervalo estricto de valores reales de $x$ para los cuales existen exactamente dos triángulos distintos que cumplen estas condiciones simultáneamente.
Los topógrafos y los navegantes evitan medir directamente las distancias de difícil acceso. Miden una base y dos ángulos, y después usan la ley de los senos en el triángulo que se forma.
Volvemos al inicio: así se halla la distancia a un muelle al que no puedes llegar. Solo caminas por la orilla.
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Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ millas a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro.…
Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ millas a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La estación $A$ detecta la señal formando un ángulo de $40^\circ$ con la línea de la costa, mientras que la estación $B$ la detecta con un ángulo de $65^\circ$. Calcule la distancia en línea recta desde cada estación hasta el barco.
Dos observadores $A$ y $B$ están separados por $1200$ millas en la superficie terrestre (distancia que consideraremos rectilínea para este cálculo local). Ambos observan…
Dos observadores $A$ y $B$ están separados por $1200$ millas en la superficie terrestre (distancia que consideraremos rectilínea para este cálculo local). Ambos observan un satélite $S$ que transita en el mismo plano vertical que los une, de modo que su proyección sobre el suelo queda entre $A$ y $B$. El ángulo de elevación medido desde $A$ es de $82^\circ$ y el medido desde $B$ es de $85^\circ$. Calcule la distancia exacta desde el observador $A$ hasta el satélite.
Un ángulo de elevación siempre se mide desde la horizontal. Cuando estás en dos puntos de una línea a nivel y miras hacia arriba el mismo objetivo, los dos triángulos comparten información. El dato clave es que el ángulo interior del triángulo grande en el punto más cercano es $180^\circ$ menos su ángulo de elevación.
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Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ pies de la base de la torre, exactamente en…
Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ pies de la base de la torre, exactamente en la dirección hacia la que esta se inclina. Desde ese punto, mide el ángulo de elevación hasta la cúspide de la torre, obteniendo $50^\circ$. Calcule la longitud total de la torre desde su base hasta la cúspide.
Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ pies por detrás de $A$ en el mismo…
Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ pies por detrás de $A$ en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevación hacia $C$ es de $22^\circ$. Desde la estación $A$, el ángulo de elevación hacia la cima es de $35^\circ$. Calcule la longitud del cable $AC$ del teleférico resolviendo el triángulo $ADC$.
Otras dos situaciones usan la misma idea. En una ladera, el terreno no es horizontal, pero los ángulos de elevación se siguen midiendo desde la horizontal. Resta o suma el ángulo de la pendiente para obtener los ángulos dentro de tu triángulo.
Un objeto en movimiento funciona como la torre de agua: dos observaciones del mismo objeto dan dos ángulos y una base, y la base es la distancia que recorrió el objeto.
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La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$…
La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$ situado $50$ pies más arriba que $A$ a lo largo de la pendiente. En el punto $B$ se ha instalado un poste vertical de telecomunicaciones. Desde el punto $A$, el ángulo de elevación hasta el extremo superior del poste es de $42^\circ$ medido desde la horizontal. Calcule la altura exacta del poste.
Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$…
Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$ segundos después, el avión, que vuela directamente hacia la vertical del observador, es divisado con un ángulo de elevación de $45^\circ$. Si la velocidad constante del avión es de $600$ mph, calcule la altitud a la que vuela resolviendo el triángulo formado por el observador y las dos posiciones del avión mediante el teorema del seno.
La ley de los senos también da áreas. Si conoces dos lados y el ángulo entre ellos, el área es la mitad de su producto por el seno de ese ángulo.
En un polígono regular inscrito en una circunferencia, traza segmentos desde el centro hasta cada vértice. Obtienes triángulos isósceles congruentes cuyos lados iguales miden el radio $R$.
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Calcule el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Utilice el teorema del seno en los…
Calcule el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Utilice el teorema del seno en los triángulos isósceles que se forman desde el centro del polígono.
Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro…
Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro recto que mide $120$ pies. Calcule el área total de la parcela.
En una demostración no puedes sustituir números, así que trabajas con la forma extendida. Como $\frac{a}{\sin A} = 2R$, cada lado se puede escribir como
$$a = 2R\sin A, \qquad b = 2R\sin B, \qquad c = 2R\sin C.$$
Sustituye esto en el enunciado y los lados se convierten en senos, que puedes manejar con identidades trigonométricas. Tres datos son útiles:
$A + B + C = 180^\circ$, así que $\sin C = \sin(180^\circ - (A + B)) = \sin(A + B)$.
$\sin(180^\circ - x) = \sin x$.
La identidad $\sin(x+y)\sin(x-y) = \sin^2 x - \sin^2 y$.
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Demuestre, partiendo del teorema del seno, que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente identidad trigonométrica que relaciona sus lados y ángulos:…
Demuestre, partiendo del teorema del seno, que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente identidad trigonométrica que relaciona sus lados y ángulos:
$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$
Demuestre que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:…
Demuestre que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$
(Pista: Exprese el área del triángulo usando el seno de uno de sus ángulos y combínelo con el teorema del seno).
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestre que los senos…
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestre que los senos de los ángulos opuestos mantienen una relación análoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.
Demostraciones con segmentos auxiliares y ángulos dobles
Algunas demostraciones añaden un segmento al triángulo. Cuando trazas un segmento desde un vértice hasta el lado opuesto, obtienes dos triángulos más pequeños y puedes aplicar la ley de los senos en ambos. Los dos triángulos comparten un lado y los ángulos donde se encuentran sobre la recta son suplementarios, así que sus senos son iguales. Eso hace que las razones coincidan.
Otras demostraciones relacionan un ángulo con su doble. Entonces ayuda la identidad del ángulo doble $\sin 2B = 2\sin B\cos B$.
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En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplique el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para…
En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplique el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para demostrar formalmente el teorema de la bisectriz, es decir, que se cumple la proporción:
En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es exactamente el doble del ángulo $B$ ($A = 2B$). Demuestre, empleando el teorema del seno y las identidades trigonométricas del…
En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es exactamente el doble del ángulo $B$ ($A = 2B$). Demuestre, empleando el teorema del seno y las identidades trigonométricas del ángulo doble, que las longitudes de los lados cumplen la relación $a = 2b \cos B$.