Durante un partido de la NFL, una cámara cuelga de un cable tendido en línea recta sobre el campo. Un despeje (punt) viaja por el aire siguiendo una parábola. ¿Toca el balón alguna vez el cable? Y si lo toca, ¿dónde? Encontrar los puntos de cruce significa resolver un sistema en el que una ecuación no es lineal. Al terminar esta página sabrás responder esa pregunta y también resolver sistemas con círculos, hipérbolas, exponenciales, logaritmos y radicales.
¿Qué es un sistema no lineal?
El método principal es el mismo que usaste en Álgebra 1: despeja una variable en la ecuación más sencilla y sustituye en la otra. Si las dos ecuaciones ya están despejadas para $y$, simplemente iguala las dos expresiones.
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Resuelve el siguiente sistema no lineal, que representa la intersección entre una parábola y una recta: $y = x^2 - 4x + 3$ $y = x - 1$
Resuelve el siguiente sistema no lineal, que representa la intersección entre una parábola y una recta:
Algunos sistemas te dan la suma y el producto de dos números, o algo que lleva a ellos. Se llaman sistemas simétricos: intercambiar $x$ y $y$ no cambia el sistema.
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La suma de dos números positivos es $10$ y la suma de sus cuadrados es $58$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal y resuélvelo para encontrar dichos números.
La suma de dos números positivos es $10$ y la suma de sus cuadrados es $58$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal y resuélvelo para encontrar dichos números.
Un terreno rectangular tiene un perímetro de $40$ pies y un área de $96$ pies$^2$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular las dimensiones del terreno y…
Un terreno rectangular tiene un perímetro de $40$ pies y un área de $96$ pies$^2$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular las dimensiones del terreno y resuélvelo.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $13$ pulgadas y el perímetro total es de $30$ pulgadas. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la longitud de…
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $13$ pulgadas y el perímetro total es de $30$ pulgadas. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la longitud de los dos catetos.
Las identidades algebraicas permiten convertir una ecuación difícil en un problema de suma y producto.
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Resuelva el sistema de ecuaciones de grado superior. (Sugerencia: utilice los productos notables y la factorización para simplificar la primera ecuación):…
Resuelva el sistema de ecuaciones de grado superior. (Sugerencia: utilice los productos notables y la factorización para simplificar la primera ecuación):
La órbita circular de un satélite en un sistema de referencia sigue la ecuación $x^2 + y^2 = 25$, mientras que la trayectoria de un cometa describe la hipérbola…
La órbita circular de un satélite en un sistema de referencia sigue la ecuación $x^2 + y^2 = 25$, mientras que la trayectoria de un cometa describe la hipérbola $xy = 12$. Resuelva el sistema para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.
En este curso $\log x$ significa $\log_{10} x$. Usa las reglas del producto y del cociente para combinar logaritmos en uno solo y luego reescribe como ecuación exponencial. Comprueba siempre el dominio al final.
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Determina la solución del sistema logarítmico, aplicando las propiedades de los logaritmos: $\log x + \log y = 1$ $x - y = 3$
Determina la solución del sistema logarítmico, aplicando las propiedades de los logaritmos:
Una ecuación cuadrática escondida: logaritmos con distintas bases
A veces la misma expresión aparece dos veces, una de ellas invertida. Dale un nombre con una variable nueva y el sistema revela una ecuación cuadrática.
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Resuelva el siguiente sistema logarítmico aplicando las propiedades de cambio de base y sustitución: $\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}$ $xy = 27$
Resuelva el siguiente sistema logarítmico aplicando las propiedades de cambio de base y sustitución:
Resuelve el siguiente sistema irracional. Asegúrate de comprobar si la solución obtenida es válida en la ecuación original: $\sqrt{x} + y = 5$ $x - y = 1$
Resuelve el siguiente sistema irracional. Asegúrate de comprobar si la solución obtenida es válida en la ecuación original:
Resuelva el siguiente sistema irracional, asegurándose de comprobar qué soluciones son válidas analizando el dominio de las raíces: $\sqrt{x^2 - y^2} = \sqrt{33}$…
Resuelva el siguiente sistema irracional, asegurándose de comprobar qué soluciones son válidas analizando el dominio de las raíces:
Muchas historias del tipo "cantidad = tasa × cantidad" dan una ecuación con un producto. Si el cambio de un factor cambia el otro, obtienes una segunda ecuación con un producto, y el par es un sistema no lineal.
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Un ciclista realiza un trayecto de $60$ millas a velocidad constante. Si hubiera viajado $2$ mph más rápido, habría tardado $1$ hora menos en completar el recorrido.…
Un ciclista realiza un trayecto de $60$ millas a velocidad constante. Si hubiera viajado $2$ mph más rápido, habría tardado $1$ hora menos en completar el recorrido. Plantea y resuelve un sistema no lineal para encontrar la velocidad media $v$ y el tiempo $t$ empleado.
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\$120…
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\$120$, dividiendo el pago a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que la cuota de cada uno se reduzca en $\$3$. Plantea y resuelve un sistema para hallar cuántos amigos eran inicialmente y cuánto pagaba cada uno.
Cuando las dos ecuaciones son productos de las mismas incógnitas, dividir una ecuación entre la otra puede cancelar incógnitas de inmediato.
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Un depósito cilíndrico de chapa tiene un volumen interior de $54\pi$ pies³ y un área lateral (sin contar las bases) de $36\pi$ pies². Plantee un sistema para hallar el…
Un depósito cilíndrico de chapa tiene un volumen interior de $54\pi$ pies³ y un área lateral (sin contar las bases) de $36\pi$ pies². Plantee un sistema para hallar el radio de la base $r$ y la altura $h$ del cilindro, y resuélvalo.
Un capital $C$ se invierte a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno). Al finalizar el primer año, el monto generado es de $\$11000…
Un capital $C$ se invierte a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno). Al finalizar el primer año, el monto generado es de $\$11000$. Al finalizar el segundo año, el monto asciende a $\$12100$. Plantee un sistema no lineal para calcular el capital inicial $C$ y la tasa de interés $r$, y resuélvalo.
Una recta puede cortar una curva en dos puntos, tocarla en exactamente un punto (es tangente) o no tocarla. Cuando el sistema tiene un parámetro, al sustituir queda una ecuación cuadrática cuyo discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ decide cuántas soluciones reales hay.
De vuelta al fútbol americano. Iguala la parábola con la recta del cable. Obtienes una ecuación cuadrática. Si $\Delta > 0$, el balón cruza el cable dos veces (al subir y al bajar). Si $\Delta = 0$, apenas roza el cable. Si $\Delta < 0$, el balón nunca llega a él.
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Discuta para qué valores del parámetro $k$ el siguiente sistema tiene exactamente una solución (esto equivale geométricamente a la condición de tangencia entre la…
Discuta para qué valores del parámetro $k$ el siguiente sistema tiene exactamente una solución (esto equivale geométricamente a la condición de tangencia entre la circunferencia y la recta):