Características de las funciones
El entrenador de baloncesto de Jayden modela un tiro libre con $h(t) = -16t^2 + 20t + 6$, donde $h$ es la altura del balón en pies y $t$ es el tiempo en segundos. Antes de confiar en el modelo, necesitas responder algunas preguntas. ¿Cuándo tiene sentido? ¿Qué altura alcanza el balón y cuándo? ¿Cuándo toca el piso? Responder preguntas como estas se llama analizar una función. Esta página te da una lista de revisión: dominio, intersecciones, signo, crecimiento y decrecimiento, extremos, rango, simetría, periodicidad y asíntotas.
Dominio: las tres restricciones básicas
El dominio es el conjunto de todas las entradas $x$ para las que la función da una salida real. Empieza suponiendo que todo número real sirve y luego quita lo que impida realizar alguna operación.
| Si $f$ contiene… | Condición | Por qué |
|---|---|---|
| una fracción $\dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}$ | denominador $\neq 0$ | no se puede dividir entre cero |
| una raíz de índice par $\sqrt{\ \ }$ | radicando $\ge 0$ | no hay raíz cuadrada real de un número negativo |
| un logaritmo $\log_b(\ \ )$ o $\ln(\ \ )$ | argumento $> 0$ | $\log_b u$ pregunta "¿a qué potencia hay que elevar $b$ para obtener $u$?", y una base positiva nunca da $0$ ni un negativo |
Los polinomios y las raíces de índice impar (como $\sqrt[3]{x}$) no tienen restricciones: su dominio es todos los números reales.
Un punto relleno significa que el extremo está incluido; un punto vacío significa que está excluido.
Determine el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Determine el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Calcule el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcule el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcule el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Calcule el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Dominio con varias restricciones a la vez
Halle el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Halle el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Determine el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Determine el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Calcule de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Calcule de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Intersecciones
¿Por qué estas reglas? Todo punto del eje $y$ tiene $x = 0$, y todo punto del eje $x$ tiene $y = 0$. Así que solo sustituyes $0$ en la variable adecuada.
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Intersección con el eje $y$: calcula $f(0)$. Si $0$ no está en el dominio (como en $\frac1x$), no hay intersección con el eje $y$. Una función tiene como máximo una.
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Intersecciones con el eje $x$: resuelve $f(x) = 0$. En una fracción, esta es $0$ solo cuando su numerador es $0$; resuelve numerador $= 0$ y luego verifica que las respuestas estén en el dominio.
Halle los puntos de intersección con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halle los puntos de intersección con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halle los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ e interseca al eje X en los…
Halle los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ e interseca al eje X en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.
Signo de una función
Una función solo puede cambiar de signo en un cero o en un punto donde no está definida. Entonces:
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Halla los ceros de $f$.
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Halla los valores excluidos del dominio.
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Márcalos todos en una recta numérica. La dividen en intervalos.
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Prueba un número en cada intervalo. El signo que encuentres vale para todo el intervalo.
Para una función lineal puedes omitir las pruebas: $q(x) = 2x - 6$ es $0$ en $x = 3$ y, como la pendiente es positiva, $q < 0$ para $x < 3$ y $q > 0$ para $x > 3$.
Determine los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Determine los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Calcule los puntos de intersección con los ejes y estudie el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Calcule los puntos de intersección con los ejes y estudie el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Funciones definidas por partes
Una función definida por partes (piecewise function) usa una fórmula distinta en cada parte de su dominio. Para hallar las intersecciones y el signo, trabaja una pieza a la vez y conserva solo las respuestas que estén dentro del intervalo de esa pieza.
Dada la función definida por partes: $f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$ Halle sus puntos de intersección con los…
Dada la función definida por partes:
$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$
Halle sus puntos de intersección con los ejes y estudie su signo en todo su dominio.
Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se describen con valores de $x$ (en qué parte del eje $x$), mientras que los extremos son puntos $(x, y)$. En la gráfica de arriba, $f$ es decreciente en $(-\infty, 1)$, creciente en $(1, \infty)$ y tiene un mínimo relativo en $(1, -2)$.
Demostrarlo con álgebra. Toma dos números $x1 < x_2$ en el intervalo y observa el signo de $f(x_2) - f(x_1)$. Si siempre es positivo, $f$ es creciente ahí; si siempre es negativo, decreciente. Es lo mismo que verificar que la razón de cambio promedio $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ conserva un solo signo.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indique sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indique sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
El costo medio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde $x$…
El costo medio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determine el dominio en el contexto del problema, estudie su signo y demuestre analíticamente en qué intervalos el costo medio es creciente o decreciente.
Parábolas: vértice, máximo y mínimo
Muchas situaciones reales (proyectiles, áreas, ganancias) se modelan con cuadráticas, y su mejor o peor valor está en el vértice.
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en pies que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determine en…
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en pies que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determine en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.
Un agricultor dispone de $100$ pies de cerca para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita cerca en ese lado). Si $x$ es la…
Un agricultor dispone de $100$ pies de cerca para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita cerca en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determine el dominio de la función en el contexto del problema y calcule las dimensiones que maximizan el área.
Determine los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que interseca al eje X en…
Determine los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que interseca al eje X en $x = 1$.
Rango
Maneras de hallarlo:
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A partir de una gráfica: observa qué tan abajo y qué tan arriba llega la gráfica en el eje $y$.
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Para una parábola: el vértice es el valor más bajo o más alto. Si $a > 0$, el rango es $[k, \infty)$; si $a < 0$, es $(-\infty, k]$, donde $k$ es la coordenada $y$ del vértice.
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Con la función inversa: el rango de $f$ es el dominio de $f^{-1}$, ya que la inversa intercambia los papeles de $x$ y $y$.
Indique cuál es el rango o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Indique cuál es el rango o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Calcule la función inversa de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilícela para determinar el rango (imagen) de la función $f(x)$.
Calcule la función inversa de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilícela para determinar el rango (imagen) de la función $f(x)$.
Simetría: funciones pares e impares
Cómo comprobarlo. Primero verifica que el dominio sea simétrico (si $x$ está en el dominio, también $-x$). Luego sustituye $x$ por $-x$, simplifica y compara con $f(x)$ y con $-f(x)$.
Estudie la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Estudie la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Determine analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Determine analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Demuestre analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determine su dominio de definición.
Demuestre analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determine su dominio de definición.
Funciones periódicas
Algunas cantidades se repiten: un latido del corazón, el voltaje de corriente alterna, el asiento de una rueda de la fortuna.
Para medir $T$ en una gráfica, elige cualquier punto y busca el siguiente punto donde la gráfica está a la misma altura y se mueve en la misma dirección (por ejemplo, de cima a cima). La distancia horizontal entre ellos es $T$.
Evaluar lejos del origen. Como $f(x + T) = f(x)$, puedes restar múltiplos de $T$ hasta caer dentro del primer ciclo: $f(x) = f(x - nT)$. En la práctica, divide $x$ entre $T$ y usa el residuo.
Modelos trigonométricos. Una onda suave, como la altura de una rueda de la fortuna, tiene tres características más. La línea media está a mitad de camino entre el máximo y el mínimo, y la amplitud es la mitad de la distancia entre ellos:
$$\text{línea media} = \frac{\max + \min}{2}, \qquad \text{amplitud} = \frac{\max - \min}{2}.$$Observe la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determine su periodo $T$ y calcule el valor de $f(17)$.
Observe la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determine su periodo $T$ y calcule el valor de $f(17)$.
La gráfica adjunta muestra la altura $h(t)$ en pies de una cabina de una rueda de la fortuna en función del tiempo $t$ en minutos. Sabiendo que el movimiento se modela…
La gráfica adjunta muestra la altura $h(t)$ en pies de una cabina de una rueda de la fortuna en función del tiempo $t$ en minutos. Sabiendo que el movimiento se modela con una función trigonométrica, determine su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.
Un análisis completo a partir de una gráfica
Cuando analices una gráfica, responde siempre las mismas preguntas, en este orden.
| Pregunta | Cómo leerla |
|---|---|
| Dominio | ¿Qué valores de $x$ tienen la gráfica arriba o abajo? Busca huecos y asíntotas verticales. |
| Rango | ¿Qué valores de $y$ alcanza la gráfica? |
| Simetría | ¿Imagen especular respecto al eje $y$ (par) o igual después de un giro de $180^\circ$ (impar)? |
| Asíntotas | Vertical $x = a$: la gráfica se dispara hacia arriba o abajo cerca de $x = a$. Horizontal $y = L$: la gráfica se estabiliza hacia $L$ cuando $x \to \pm\infty$. |
| Extremos relativos | Cimas (máximos) y valles (mínimos), como puntos $(x, y)$. |
| Signo | ¿Dónde está la gráfica sobre el eje $x$ (positiva) y bajo él (negativa)? |
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realice un análisis completo indicando: dominio, rango, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e…
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realice un análisis completo indicando: dominio, rango, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.