Sistemas con un parámetro
El puesto de bocadillos de Lakeside High tiene dos recibos del mismo período de almuerzo, pero el segundo está borroso. El recibo A dice que 1 pretzel y 3 limonadas cuestan $\$4$. El recibo B dice que 2 pretzels y $k$ limonadas cuestan $\$5$, y el número $k$ no se lee. ¿Siempre podrá la tesorera encontrar el precio de un pretzel $x$ y de una limonada $y$? Depende de $k$:
$$\begin{cases} x + 3y = 4 \\ 2x + ky = 5 \end{cases}$$Una letra como $k$ en un sistema es un parámetro: un número que está fijo pero todavía no conocemos. En esta lección aprendes a discutir un sistema, es decir, a decidir para cada valor del parámetro si el sistema tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna.
Dos ecuaciones: comparar coeficientes
Ya conoces de Álgebra 1 los tres resultados posibles de un sistema lineal. Cada uno tiene un nombre y una imagen.
| Gráfica de las dos rectas | Número de soluciones | Nombre |
|---|---|---|
| Las rectas se cruzan | exactamente una | consistente e independiente |
| Las rectas son la misma recta | infinitas | consistente y dependiente |
| Las rectas son paralelas | ninguna | inconsistente |
Con un parámetro, los coeficientes deciden cuál de las imágenes obtienes. Escribe el sistema como $a_1x + b_1y = c_1$ y $a_2x + b_2y = c_2$. Al eliminar $y$ (multiplica la primera ecuación por $b_2$, la segunda por $b_1$ y resta) se obtiene
$$(a_1b_2 - a_2b_1)\,x = c_1b_2 - c_2b_1.$$Al eliminar $x$ de la misma manera se obtiene $(a_1b_2 - a_2b_1)\,y = a_1c_2 - a_2c_1$. Todo depende del número $D = a_1b_2 - a_2b_1$.
Mueve el parámetro y observa la segunda recta. Con $a = 6$ las rectas tienen la misma pendiente, así que nunca se encuentran. Con cualquier otro valor se cruzan una vez.
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$: $ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$:
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $
Determine el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interprete geométricamente el resultado:…
Determine el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interprete geométricamente el resultado:
$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $
Calcule para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible: $ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $
Calcule para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $
Cuando los valores especiales vienen de una ecuación cuadrática
Muchas veces $D$ no es lineal en el parámetro. En ese caso iguala $D = 0$, factoriza y trata cada raíz como un caso aparte.
La figura anterior corresponde al siguiente ejemplo. Lejos de los valores especiales hay una solución, y cada valor especial tiene su propio veredicto.
Para resolver el sistema con un valor particular del parámetro, sustitúyelo y usa sustitución o eliminación de Álgebra 1.
Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $b$: $ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $
Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $b$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips viene dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un…
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips viene dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un impuesto variable sobre el primer microchip, el sistema es:
$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $
Discuta el sistema en función del impuesto $p$.
Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indique para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvalo para…
Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indique para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvalo para $k = 0$.
$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $
Usar una solución conocida para hallar el parámetro
A veces te dicen que un punto es solución y te piden el parámetro. Un punto es solución solo si cumple todas las ecuaciones, así que sustituye sus coordenadas en las ecuaciones.
Halle el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema: $ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 8 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $
Halle el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema:
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 8 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $
Tres ecuaciones: eliminación de Gauss con un parámetro
Con tres incógnitas se usa la eliminación de Gauss. Con operaciones entre filas conviertes el sistema en forma escalonada, donde cada ecuación empieza una incógnita más tarde que la anterior. Después lees la última ecuación.
Las operaciones permitidas entre filas son: intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número distinto de cero y sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Con un parámetro hay una regla extra: no multipliques ni dividas una ecuación por una expresión que contenga el parámetro, porque podría valer $0$.
Dado el siguiente sistema escalonado, discuta sus soluciones en función del parámetro $p$:…
Dado el siguiente sistema escalonado, discuta sus soluciones en función del parámetro $p$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $
Aplique el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:…
Aplique el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $
Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los…
Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los beneficios son:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $
Discuta el sistema según los valores de la tasa $r$.
Pivotes que se factorizan y cómo elegir la primera fila
En problemas más difíciles el último coeficiente es un polinomio en el parámetro, como $a^2 - 1$. Factorízalo. Cada raíz es un caso aparte.
Discuta la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:…
Discuta la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:
$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $
En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas…
En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas obras, una de las vías tiene una capacidad variable $m$. El sistema que rige el flujo es:
$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $
Discuta el flujo de la red (compatibilidad del sistema) para todos los valores reales de $m$.
Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. Preste especial atención a los valores que anulan los coeficientes principales durante el proceso de…
Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. Preste especial atención a los valores que anulan los coeficientes principales durante el proceso de triangulación de Gauss.
$ \left\{ \begin{array}{l} x + \alpha y - z = 2 \\ 2x - y + \alpha z = 5 \\ x + 10y - 6z = 1 \end{array} \right. $
Escribir las soluciones de un caso consistente
Después de la discusión, muchas veces te piden resolver el sistema para un valor elegido. Si el caso tiene una solución, sustituye el parámetro y sustituye hacia atrás. Si tiene infinitas, llama a la incógnita libre con una letra nueva, como $\lambda$ (lambda), y expresa las demás en términos de ella.
Para $m \ne 5$ el sistema tiene una solución, $z = 0$, $y = 3$, $x = -1$. Comprobación: $-1 + 3 + 0 = 2$, $-2 + 9 = 7$, $-3 + 12 = 9$. ✓
Halle los valores del parámetro $m$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones es incompatible, y resuélvalo para $m = 2$:…
Halle los valores del parámetro $m$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones es incompatible, y resuélvalo para $m = 2$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 3 \\ 2x + my - z = 1 \\ 3x - 2y + z = m \end{array} \right. $
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halle…
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halle la solución general expresada en función de un parámetro $\lambda$.
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$ y halle la solución cuando sea compatible indeterminado:…
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$ y halle la solución cuando sea compatible indeterminado:
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = m \\ 2x - 5y + mz = -1 \end{array} \right. $
Sistemas homogéneos
Determine el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones: $ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
Determine el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:
$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo…
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo matemático es el siguiente sistema homogéneo:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $
Determine para qué valores de la concentración $c$ el sistema tiene soluciones distintas a la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
Geometría: tres rectas en el plano
Cada ecuación en $x$ y $y$ es una recta. Discutir el sistema significa describir cómo están colocadas las rectas entre sí. Dos rectas se cruzan, son paralelas o coinciden, que son justamente las tres imágenes del inicio de esta lección, y $D$ te dice cuál es. En el caso 2×2, para las rectas $5x + 2y = 1$ y $10x + 4y = k$, tenemos $D = 20 - 20 = 0$, así que las rectas siempre son paralelas o la misma recta. Solo la constante $k$ decide cuál.
Con tres rectas en el plano tienes tres ecuaciones y solo dos incógnitas. Resuelve dos de ellas y luego prueba la tercera.
(Algunos problemas llaman haz de rectas concurrentes a tres rectas que pasan por un mismo punto.)
Estudie la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.
Estudie la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.
Tres trayectorias de drones de vigilancia en un plano vienen dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determine el valor del parámetro $a$ para que los tres drones pasen…
Tres trayectorias de drones de vigilancia en un plano vienen dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determine el valor del parámetro $a$ para que los tres drones pasen por el mismo punto exacto (es decir, que el sistema tenga solución única).
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $
Considere las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones: $r: x + 2y = 3$ $s: 2x - y = 1$ $t: mx + (m+1)y = 4$ Discuta la posición relativa de las tres rectas en…
Considere las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones:
$r: x + 2y = 3$
$s: 2x - y = 1$
$t: mx + (m+1)y = 4$
Discuta la posición relativa de las tres rectas en función del parámetro $m$. Observe el siguiente diagrama que ilustra la situación en la que las tres rectas se cortan en un único punto (haz de rectas concurrentes).
Geometría: tres planos en el espacio
Con tres incógnitas, cada ecuación es un plano. Una solución del sistema es un punto que está en los tres planos. Mirar las imágenes correctas te dice qué tipo de discusión esperar.
| Imagen | Soluciones |
|---|---|
| Los tres planos se cortan en un punto | exactamente una |
| Los tres planos comparten una recta, como las páginas alrededor del lomo de un libro | infinitas (una variable libre) |
| Los tres planos son el mismo plano | infinitas (dos variables libres) |
| Dos planos son paralelos y distintos, y el tercero los corta | ninguna |
| Los planos se cortan de dos en dos en tres rectas paralelas (un prisma triangular) | ninguna |
Estudie la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$.…
Estudie la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$.
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $
Acompañe la discusión con la siguiente representación gráfica de la situación geométrica cuando el sistema es incompatible y los planos se cortan dos a dos formando un prisma triangular.
De vuelta al puesto de bocadillos: los recibos dan $x + 3y = 4$ y $2x + ky = 5$, con $D = k - 6$. Para todo $k \ne 6$ la tesorera puede hallar un precio para el pretzel y uno para la limonada. Si $k = 6$, el segundo recibo sería exactamente el doble del recibo A, que debería costar $\$8$, pero dice $\$5$. Los recibos se contradicen y ningún precio encaja.