Malik y Emma cortan césped durante el verano. Juntos terminan el césped grande del parque en 4 horas. Emma sola tardaría 6 horas menos que Malik solo. ¿Cuánto tardaría Malik trabajando solo? Si Malik necesita $x$ horas, Emma necesita $x-6$, y la incógnita queda en un denominador. Al final de esta página sabrás plantear y resolver ecuaciones como esta, y descubrir las respuestas que parecen correctas pero no lo son.
Valores excluidos y el método básico
El plan siempre es el mismo: eliminar las fracciones multiplicando por el mínimo común denominador (MCD), que es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. El peligro también es siempre el mismo: un número que hace que un denominador sea $0$ nunca puede ser solución.
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Resuelva la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$
Resuelva la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador:
A veces hay una sola fracción a cada lado. Entonces el denominador común es simplemente el producto de los dos denominadores, y el atajo es la multiplicación cruzada.
Graficar cada lado muestra lo mismo: la solución es la coordenada $x$ del punto donde se cruzan las dos curvas.
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Halle los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad: $\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$
Halle los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad:
Cuando un denominador es un polinomio, fatorízalo antes de buscar el denominador común. Así verás los valores excluidos directamente en los factores, y el denominador común no será más grande de lo necesario.
Si un denominador es de grado 3 o mayor, encuentra un cero probando enteros pequeños y luego usa la división sintética para sacar ese factor.
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Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación: $\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$
Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación:
Resuelva la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo: $\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$
Resuelva la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo:
¿Por qué ocurre? Al multiplicar por una expresión como $(x-2)$, en $x=2$ estás multiplicando ambos lados por $0$. Cualquier ecuación se convierte ahí en el enunciado verdadero $0=0$, y así puede colarse un valor que nunca fue solución.
Una gráfica también muestra una solución extraña. La gráfica de $y=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ es la recta $y=x+2$ con un hueco en $x=2$. La recta cortaría a $y=4$ en $x=2$, pero ese punto es un hueco, así que la ecuación $\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$ no tiene solución.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcule los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión: $\frac{x^2-9}{x-3} = 6$
Calcule los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión:
Muchas veces un numerador y un denominador comparten un factor. Puedes cancelarlo y trabajar con una ecuación más sencilla. Los valores excluidos siguen saliendo de los denominadores originales.
Dos factorizaciones especiales aparecen mucho. Puedes comprobarlas multiplicando.
Practica★★★Sin empezar
Determine todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando identidades notables antes de operar:…
Determine todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando identidades notables antes de operar:
A veces la variable desaparece al eliminar las fracciones. Lo que queda es un enunciado verdadero o uno falso.
Mueve el control deslizante y observa cómo se comportan las dos curvas. Se cruzan en un punto para casi todos los valores de $a$, y no se cruzan en $a=0$ ni en $a=2$.
Practica★★☆Sin empezar
Halle los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación: $\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$
Halle los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación:
Dada la ecuación racional con parámetro $a$: $\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$ Determine para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene…
A veces la misma expresión aparece dos veces: una tal cual y otra invertida. Dale un nombre nuevo con otra letra y la ecuación se vuelve mucho más fácil.
Practica★★★Sin empezar
Resuelva la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$: $\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$
Resuelva la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$:
Trabajo. Si una persona termina un trabajo en $t$ horas, su tasa es $\dfrac1t$ del trabajo por hora. Cuando varias personas trabajan juntas, sus tasas se suman. Si A necesita $a$ horas solo, B necesita $b$ horas solo y juntos necesitan $T$ horas:
$$\frac1a+\frac1b=\frac1T$$
Viaje. Como distancia $=$ tasa $\times$ tiempo, se tiene $\text{tiempo}=\dfrac{\text{distancia}}{\text{tasa}}$. Un bote que va a favor de la corriente $c$ avanza a (rapidez en agua quieta) $+\,c$, y en contra, a (rapidez en agua quieta) $-\,c$.
De vuelta al inicio: Malik necesita 12 horas solo.
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Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A…
Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A tardaría $5$ horas menos que la impresora B en completar el mismo lote. Plantee una ecuación racional y determine cuánto tiempo tardaría la impresora A trabajando sola.
Un tren de carga debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el trayecto…
Un tren de carga debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el trayecto completo. Plantee una ecuación racional y calcule la velocidad media a la que circula el tren inicialmente.
Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo…
Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo total de navegación ha sido de $5\text{ horas}$. Si la velocidad de la corriente del río es de $2\text{ km/h}$, plantee una ecuación racional para calcular la velocidad del barco en aguas tranquilas.
Tres situaciones comunes dan ecuaciones racionales. En cada una, pregúntate: ¿qué se mantiene igual?
Repartir un costo. El total se mantiene, así que costo por persona $=\dfrac{\text{total}}{\text{número de personas}}$.
Área. El área se mantiene, así que altura $=\dfrac{\text{área}}{\text{base}}$.
Mezclas. La cantidad de sustancia disuelta se mantiene (por ejemplo, cuando se evapora agua), así que concentración $=\dfrac{\text{cantidad de sustancia}}{\text{cantidad total}}$.
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Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un precio total de $400\text{ \$}$. A última hora se apuntan $5…
Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un precio total de $400\text{ \$}$. A última hora se apuntan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $4\text{ \$}$ menos. Plantee una ecuación racional para calcular cuántos estudiantes formaban el grupo original.
Un diseñador gráfico está creando un póster rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del póster en $10\text{ cm}$ y redujera…
Un diseñador gráfico está creando un póster rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del póster en $10\text{ cm}$ y redujera la altura en $5\text{ cm}$, el área total seguiría siendo la misma. Plantee una ecuación racional y determine las dimensiones originales del póster.
En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una solución salina con una concentración inicial de $0.04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo…
En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una solución salina con una concentración inicial de $0.04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo constante para aumentar su concentración (la cantidad de sal permanece invariable). Si se evaporan $x\text{ L}$ de agua, la nueva concentración debe ser de $0.1\text{ kg/L}$. Plantee la ecuación racional correspondiente y calcule la cantidad de agua que debe evaporarse.
Varias situaciones distintas comparten la misma forma de ecuación:
$$\frac1a+\frac1b=\frac1c$$
La usan los problemas de trabajo, y también dos resistencias conectadas en paralelo ($\tfrac{1}{R_{eq}}=\tfrac1{R_1}+\tfrac1{R_2}$) y dos cables o escaleras que se cruzan. Sea cual sea la historia, la estrategia es la misma: escribe cada incógnita en términos de una variable y multiplica por el denominador común.
Para postes que se cruzan de alturas $h_1$ y $h_2$, la altura $h$ del cruce cumple $\dfrac1h=\dfrac1{h_1}+\dfrac1{h_2}$.
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En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula…
En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se sabe que el valor de la resistencia $R_2$ es $5\ \Omega$ mayor que el de $R_1$, y que la resistencia equivalente del circuito es de $6\ \Omega$. Plantee y resuelva una ecuación racional para hallar el valor de ambas resistencias.
Dos postes verticales de alturas $x$ y $x+2$ pies están separados por una cierta distancia en un terreno llano. Se tienden dos cables rectilíneos y tensos desde la parte…
Dos postes verticales de alturas $x$ y $x+2$ pies están separados por una cierta distancia en un terreno llano. Se tienden dos cables rectilíneos y tensos desde la parte superior de cada poste hasta la base del poste opuesto. El punto donde se cruzan los cables se encuentra a una altura de $2.4\text{ m}$ del suelo. Sabiendo que la altura del cruce $h$ cumple la relación geométrica $\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$ (donde $h_1$ y $h_2$ son las alturas de los postes), plantea una ecuación racional y calcula la altura de ambos postes.