Ecuaciones con valor absoluto
Vas manejando por la Ruta 66 y pasas el marcador de la milla 40. Hay un restaurante a exactamente 15 millas de ti, pero no sabes si está adelante o atrás. ¿En qué marcadores de milla podría estar? Hay dos respuestas posibles, y esa es la idea clave de esta página: una ecuación con valor absoluto esconde dos ecuaciones a la vez.
El valor absoluto como distancia
El valor absoluto de un número es su distancia a $0$ en la recta numérica. Una distancia nunca es negativa, así que siempre $|x| \ge 0$. En algunos problemas al valor absoluto se le llama módulo. Es lo mismo.
Así, $|x-40|=15$ dice: "la distancia de $x$ a $40$ es $15$". Mueve los puntos y observa dónde caen.
Volvamos al inicio: el restaurante cumple $|x-40|=15$, así que $x-40=15$ o $x-40=-15$. Está en el marcador $55$ o en el $25$.
Encuentra los números cuya distancia al número $4$ en la recta real es exactamente $9$. Plantea y resuelve la ecuación con valor absoluto correspondiente.
Encuentra los números cuya distancia al número $4$ en la recta real es exactamente $9$. Plantea y resuelve la ecuación con valor absoluto correspondiente.
Cómo resolver $|expresión| = k$
Solo dos números están a exactamente $k$ unidades de $0$: $k$ y $-k$. Así que el interior de las barras solo puede valer uno de esos dos valores.
Mueve $k$ y observa cómo la recta horizontal cruza la gráfica de $y=|2x-1|$. Hay dos cruces si $k>0$, uno si $k=0$ y ninguno si $k<0$.
Las fracciones no causan problema. Para $\left|\dfrac{x}{2}+1\right|=3$, resuelve $\dfrac{x}{2}+1=3$ y $\dfrac{x}{2}+1=-3$ de la manera usual. Obtienes $x=4$ y $x=-8$.
Resuelve la siguiente ecuación lineal con valor absoluto: $|3x - 5| = 7$
Resuelve la siguiente ecuación lineal con valor absoluto:
$|3x - 5| = 7$
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación: $2|x + 4| - 10 = 0$
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación:
$2|x + 4| - 10 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación con coeficientes fraccionarios: $\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$
Resuelve la siguiente ecuación con coeficientes fraccionarios:
$\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$
Sin solución, cero y dos valores absolutos
Cuando el lado derecho es $0$ solo hay un caso. $|A|=0$ significa $A=0$, porque $-0=0$ no aporta nada nuevo. Por ejemplo, $|x^2-16|=0$ significa $x^2=16$, así que $x=4$ o $x=-4$. Las dos respuestas vienen de la cuadrática, no de separar en casos.
¿Y si ambos lados tienen valores absolutos? Dos números tienen el mismo valor absoluto cuando están a la misma distancia de $0$. Son iguales u opuestos.
Analiza y resuelve la siguiente ecuación. Justifica tu respuesta: $|5x + 2| = -4$
Analiza y resuelve la siguiente ecuación. Justifica tu respuesta:
$|5x + 2| = -4$
Resuelve la ecuación considerando que los argumentos de los valores absolutos son iguales u opuestos: $|2x - 1| = |x + 3|$
Resuelve la ecuación considerando que los argumentos de los valores absolutos son iguales u opuestos:
$|2x - 1| = |x + 3|$
Halla los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática con valor absoluto: $|x^2 - 9| = 0$
Halla los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática con valor absoluto:
$|x^2 - 9| = 0$
Cuadráticas y valor absoluto
Si el interior es cuadrático, cada caso es una ecuación cuadrática, así que puedes obtener hasta cuatro soluciones reales. Usa factorización o la fórmula cuadrática en cada una.
Otro patrón: la ecuación es cuadrática en $|x|$. Como $x^2=|x|^2$, sustituye $u=|x|$ y recuerda que $u\ge0$.
¿Cuántas soluciones tiene $|f(x)|=k$? Piensa en la gráfica de $|f(x)|$: es la gráfica de $f$ con la parte que queda debajo del eje $x$ reflejada hacia arriba. Aquí $f(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ tiene su vértice en $(1,-4)$, y al reflejarse se convierte en un pico en $(1,4)$. Mueve $k$ y cuenta los cruces.
La cantidad depende de $k$ y de la altura del pico, $4$. Para $k>4$ hay $2$ soluciones, para $k=4$ hay $3$, para $0 Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación: $|x^2 - 5x| = 6$ Halla las soluciones de la siguiente ecuación realizando un cambio de variable adecuado o distinguiendo casos según el signo de $x$: $x^2 - 4|x| - 5 = 0$ Determina el valor del parámetro $k$ para el cual la ecuación $|x^2 - 4x + 3| = k$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas.Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación: $|x^2 - 5x| = 6$
Halla las soluciones de la siguiente ecuación realizando un cambio de variable adecuado o distinguiendo casos según el signo de $x$: $x^2 - 4|x| - 5 = 0$
Determina el valor del parámetro $k$ para el cual la ecuación $|x^2 - 4x + 3| = k$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas.
Variable en ambos lados: busca soluciones extrañas
En $|A(x)|=B(x)$ el lado derecho puede cambiar de signo, y un valor absoluto nunca puede ser igual a un número negativo. Así que, después de resolver los dos casos, debes asegurarte de que $B(x)\ge0$.
Resuelve la siguiente ecuación y comprueba la validez de las soluciones obtenidas, descartando aquellas que no tengan sentido: $|x - 5| = 2x - 1$
Resuelve la siguiente ecuación y comprueba la validez de las soluciones obtenidas, descartando aquellas que no tengan sentido:
$|x - 5| = 2x - 1$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación, comprobando las soluciones en la ecuación original: $|x^2 - 4x| = 3x - 6$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación, comprobando las soluciones en la ecuación original:
$|x^2 - 4x| = 3x - 6$
Una partícula oscila alrededor de un punto de equilibrio. Su posición $x$ en ciertos instantes críticos satisface la ecuación $|x^2 - 10| = 3x$. Encuentra las posiciones…
Una partícula oscila alrededor de un punto de equilibrio. Su posición $x$ en ciertos instantes críticos satisface la ecuación $|x^2 - 10| = 3x$. Encuentra las posiciones exactas $x$ donde esto ocurre, asegurándote de descartar las soluciones no válidas.
Ecuaciones racionales con valor absoluto
Con una fracción dentro de las barras, separas en dos casos como siempre, pero además debes excluir los valores que hagan $0$ el denominador. Cualquier candidato que lo haga no es solución.
Un atajo: cuando el numerador y el denominador comparten un factor, puedes simplificar, pero igual anota el valor excluido. Para $\left|\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x}\right|=1$, tenemos $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x(x+1)}$, así que los valores excluidos son $x=0$ y $x=-1$ aun después de cancelar.
Resuelve la siguiente ecuación racional con valor absoluto: $\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$
Resuelve la siguiente ecuación racional con valor absoluto:
$\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$
Resuelve la siguiente ecuación racional que involucra un valor absoluto. Presta especial atención a los valores que anulan el denominador:…
Resuelve la siguiente ecuación racional que involucra un valor absoluto. Presta especial atención a los valores que anulan el denominador:
$\left| \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x} \right| = 1$
Dos valores absolutos: resolver por intervalos
Si dos valores absolutos se suman o se restan (no se igualan entre sí), no puedes separar solo en dos casos. Cada valor absoluto cambia de comportamiento en un punto distinto. La idea es cortar la recta numérica en esos puntos y quitar las barras en cada tramo.
Hay una forma bonita de verlo: $|x-1|+|x-4|$ es la suma de las distancias de $x$ a $1$ y a $4$. Entre $1$ y $4$ esa suma siempre es $3$, y fuera de ese tramo crece. Por eso el intervalo del medio dio "$3=5$".
Halla las soluciones de la ecuación dividiendo la recta real en intervalos según las raíces de los argumentos de los valores absolutos: $|x - 2| + |x + 3| = 7$
Halla las soluciones de la ecuación dividiendo la recta real en intervalos según las raíces de los argumentos de los valores absolutos:
$|x - 2| + |x + 3| = 7$
El perfil de la entrada de una tienda de campaña de diseño moderno se modeliza mediante la ecuación $y = |x - 4| + |x - 8|$, donde $x$ e $y$ están en pies. Para colocar…
El perfil de la entrada de una tienda de campaña de diseño moderno se modeliza mediante la ecuación $y = |x - 4| + |x - 8|$, donde $x$ e $y$ están en pies. Para colocar una viga de soporte horizontal a una altura de $y = 6$ pies, resuelve la ecuación $|x - 4| + |x - 8| = 6$ para encontrar las coordenadas $x$ de los extremos del soporte.
Un brazo robótico se mueve a lo largo de un riel lineal. Su distancia a dos balizas ubicadas en las posiciones $x=0$ y $x=10$ debe satisfacer la restricción dada por la…
Un brazo robótico se mueve a lo largo de un riel lineal. Su distancia a dos balizas ubicadas en las posiciones $x=0$ y $x=10$ debe satisfacer la restricción dada por la ecuación $2|x| - |x - 10| = 5$. Encuentra las coordenadas exactas $x$ donde el robot puede detenerse.
Valores absolutos anidados y combinados
Anidados. Quita los valores absolutos de afuera hacia adentro, una capa a la vez.
Valor absoluto mezclado con otros términos. Separa según el signo de la expresión dentro de las barras. En cada caso resuelve y conserva solo las soluciones que cumplan ese caso.
Una cuadrática igual a una lineal, ambas con valor absoluto. La regla $|A|=|B|\iff A=\pm B$ sigue funcionando, y como nunca elevaste al cuadrado ni dividiste, no hay nada que rechazar. Por ejemplo, $|x^2-1|=|x+1|$ da $x^2-1=x+1$ (así que $x=2$ o $x=-1$) y $x^2-1=-x-1$ (así que $x=0$ o $x=-1$). Las soluciones son $x=-1$, $0$ y $2$. Una solución repetida cuenta una sola vez.
Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados: $||2x - 1| - 4| = 5$
Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados:
$||2x - 1| - 4| = 5$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación combinada: $x^2 - 2|x - 1| = 2$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación combinada:
$x^2 - 2|x - 1| = 2$
Resuelve la siguiente ecuación igualando el valor absoluto de una expresión cuadrática al valor absoluto de una expresión lineal: $|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$
Resuelve la siguiente ecuación igualando el valor absoluto de una expresión cuadrática al valor absoluto de una expresión lineal:
$|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$
Aplicaciones: tolerancia y desviación
Las ecuaciones con valor absoluto describen "qué tan lejos está algo de un objetivo". En la manufactura, una pieza es aceptable si su longitud está dentro de una tolerancia del valor objetivo. Las dos soluciones son los límites superior e inferior.
Una máquina corta cables de acero para un puente colgante. La longitud $L$ (en pies) de un cable se considera aceptable si satisface la ecuación de tolerancia…
Una máquina corta cables de acero para un puente colgante. La longitud $L$ (en pies) de un cable se considera aceptable si satisface la ecuación de tolerancia $|2L - 150| = 1.5$. Calcula las longitudes máxima y mínima aceptables para el cable.
En un modelo económico, la desviación del precio $P$ de una acción respecto a su valor de referencia de $\$120…
En un modelo económico, la desviación del precio $P$ de una acción respecto a su valor de referencia de $\$120$ es proporcional al propio precio, modelado por la ecuación $|P - 120| = \frac{P}{5}$. Calcula los precios exactos que cumplen esta condición.
Durante un experimento químico, el margen de error en la medición del pH de una solución amortiguadora viene dado por la ecuación $|2p - 14| = p - 4$, donde $p$ es el…
Durante un experimento químico, el margen de error en la medición del pH de una solución amortiguadora viene dado por la ecuación $|2p - 14| = p - 4$, donde $p$ es el valor del pH. Calcula los posibles valores de $p$ y descarta aquellos que carezcan de sentido físico o matemático en esta ecuación.