"Medida de ángulos: grados y radianes"
Una snowboarder te cuenta que acaba de aterrizar un "1080". ¿Cuántas vueltas completas son? ¿Y cómo describiría un físico la misma rotación sin usar el número 360? Los grados dividen una vuelta en $360$ partes por razones históricas. En Álgebra 2 conoces una segunda unidad, el radián, que sale directamente de la geometría del círculo. Es la unidad que usan el cálculo, la física y la ingeniería, porque hace mucho más simples las fórmulas de rotación.
El radián: cuando el arco es igual al radio
Imagina que cortas un pedazo de hilo tan largo como el radio de un círculo. Ahora coloca ese hilo a lo largo del borde del círculo. El ángulo central que "ve" ese pedazo de arco es un radián. No importa si el círculo es una moneda o una rueda de la fortuna: el ángulo es el mismo.
La circunferencia completa mide $2\pi r$, y cada radián ocupa un arco de longitud $r$. Por eso caben exactamente $2\pi$ radianes en un círculo completo. De ahí que $2\pi$ rad $= 360^\circ$. No es una coincidencia: sale de la definición.
Como $\pi \approx 3.14$, media vuelta son $\pi \approx 3.14$ rad, un cuarto de vuelta son unos $1.57$ rad, y un radián son unos $57.3^\circ$. Estas aproximaciones te permiten ubicar un ángulo sin calculadora.
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Conversión entre grados y radianes
Una vuelta completa son $360^\circ$ y también $2\pi$ rad. Dividiendo entre $2$, media vuelta es $180^\circ = \pi$ rad. Esa sola ecuación te permite convertir en ambos sentidos planteando una proporción.
La misma idea sirve para los ángulos interiores de un polígono. Los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados suman $(n-2)\cdot 180^\circ$. En un polígono regular los $n$ ángulos son iguales, así que cada uno mide $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$. En un hexágono regular la suma es $4\cdot180^\circ = 720^\circ$, y cada ángulo mide $120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$ rad.
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Ángulos coterminales y cuadrantes
Un ángulo en posición estándar tiene su vértice en el origen y su lado inicial sobre el eje $x$ positivo. Giras hasta el lado terminal. La rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj es positiva y la rotación en el sentido de las manecillas es negativa. Un ángulo puede ser mayor que una vuelta completa, o negativo. Los ángulos que terminan en el mismo lado terminal se llaman coterminales.
¿En qué cuadrante está el lado terminal? Una vez que el ángulo está entre $0$ y una vuelta completa, compáralo con los cuartos de vuelta:
| Cuadrante | Grados | Radianes |
|---|---|---|
| I | $0^\circ$ a $90^\circ$ | $0$ a $\frac{\pi}{2}$ |
| II | $90^\circ$ a $180^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$ |
| III | $180^\circ$ a $270^\circ$ | $\pi$ a $\frac{3\pi}{2}$ |
| IV | $270^\circ$ a $360^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ a $2\pi$ |
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Longitud de arco y área de un sector
Aquí es donde los radianes rinden frutos. Como $1$ rad se definió como un arco igual al radio, un arco que abarca $\theta$ radianes mide $\theta$ radios. No hace falta ningún factor de conversión.
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ pulgadas de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ pulgadas. Expresa el resultado tanto en radianes…
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ pulgadas de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ pulgadas. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ pulgadas de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ pulgadas de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ pies y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ pies y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcule el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Grados, minutos y segundos, y distancias sobre la Tierra
Los mapas y el GPS usan grados divididos en partes más pequeñas, igual que las horas se dividen en minutos y segundos: $1^\circ = 60'$ (minutos de arco) y $1' = 60''$ (segundos de arco). Así que $1^\circ = 3600''$.
La Tierra es casi una esfera. La latitud mide un ángulo en el centro de la Tierra: $0^\circ$ en el ecuador y $90^\circ$ N en el Polo Norte. Para dos ciudades sobre el mismo meridiano (una línea norte–sur), el ángulo entre ellas en el centro es la diferencia de las latitudes si están en el mismo hemisferio, y la suma si están en hemisferios opuestos. Luego la distancia sobre la superficie es un arco: $s = r\theta$.
La idea de Eratóstenes. Cuando los rayos del sol son paralelos, el ángulo que forman con una vara vertical en una ciudad es igual al ángulo central entre las dos ciudades (ángulos alternos internos). Así que si un arco de longitud $s$ sobre la Tierra corresponde al ángulo $\theta$, entonces $r = \dfrac{s}{\theta}$, y la circunferencia completa es $2\pi r$.
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ pies del centro. Si recorre una distancia de $120$ pies, calcula…
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ pies del centro. Si recorre una distancia de $120$ pies, calcula el ángulo que ha descrito respecto al centro de la pista en radianes. Expresa también este resultado en grados, minutos y segundos.
Dos ciudades, A y B, se encuentran situadas sobre el mismo meridiano terrestre. La latitud de la ciudad A es $41^\circ$ Norte y la latitud de la ciudad B es $28^\circ$…
Dos ciudades, A y B, se encuentran situadas sobre el mismo meridiano terrestre. La latitud de la ciudad A es $41^\circ$ Norte y la latitud de la ciudad B es $28^\circ$ Sur. Asumiendo que la Tierra es una esfera perfecta con un radio medio de $6371$ millas, calcula la distancia en línea recta sobre la superficie terrestre que separa ambas ciudades.
En el histórico experimento de Eratóstenes, se observó que en la ciudad de Siena los rayos del sol incidían perpendicularmente al suelo (ángulo $0^\circ$) en el mediodía…
En el histórico experimento de Eratóstenes, se observó que en la ciudad de Siena los rayos del sol incidían perpendicularmente al suelo (ángulo $0^\circ$) en el mediodía del solsticio de verano. Al mismo tiempo, en Alejandría, situada aproximadamente a $800$ millas al norte sobre el mismo meridiano, los rayos formaban un ángulo de $\frac{\pi}{25}$ radianes con la vertical. A partir exclusivamente de estos datos, deduzca el radio de la Tierra y la longitud de su circunferencia meridiana.
Velocidad angular
Cuando algo gira, como un disco, una llanta o el haz de un faro, nos interesa cuánto ángulo barre por unidad de tiempo. Eso es su velocidad angular.
Con frecuencia la rapidez se da en revoluciones por minuto (rpm). Convierte en dos pasos separados: multiplica por $2\pi$ (rev $\to$ rad), y luego divide entre $60$ (min $\to$ s).
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2,5$ segundos.
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ pulgadas. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ mph, calcule la velocidad angular de las ruedas…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ pulgadas. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ mph, calcule la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determine el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértalo a número de vueltas completas.
Un faro marítimo proyecta un haz de luz que gira a una velocidad angular constante de $4$ revoluciones por minuto. El haz ilumina la superficie del mar hasta una…
Un faro marítimo proyecta un haz de luz que gira a una velocidad angular constante de $4$ revoluciones por minuto. El haz ilumina la superficie del mar hasta una distancia máxima de $5$ millas. Debido a la orografía de la costa, existe un sector ciego de $\frac{2\pi}{5}$ radianes hacia tierra adentro donde la luz no es visible. Calcule el área total del mar que ilumina el faro en cada vuelta completa y el tiempo exacto en segundos que el haz de luz tarda en atravesar la zona visible.
Ruedas que ruedan, bandas y engranes
Muchas máquinas pasan la rotación de una pieza a otra. La idea clave es que lo que se comparte es la longitud de arco, no el ángulo.
Rodar sin resbalar. Si una rueda rueda sobre el suelo, la distancia que avanza su eje es igual a la longitud de arco de la rueda que ha tocado el suelo: $d = r\theta$. Una vuelta completa la mueve $2\pi r$.
Bandas y engranes acoplados. En una banda que rodea dos poleas, o en dos engranes que se acoplan, los puntos de los bordes recorren la misma longitud de arco. Así que $r_1\theta_1 = r_2\theta_2$, es decir, $\theta_2 = \theta_1\cdot\dfrac{r_1}{r_2}$. La rueda más pequeña gira un ángulo mayor. Una banda hace que ambas poleas giren en el mismo sentido. Los engranes acoplados giran en sentidos opuestos.
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ pulgadas y la polea…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ pulgadas y la polea conducida tiene un radio de $45$ pulgadas. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcule cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.
Un tren de engranajes está compuesto por tres ruedas dentadas A, B y C montadas en serie, de forma que A engrana con B, y B engrana con C. Los radios primitivos de las…
Un tren de engranajes está compuesto por tres ruedas dentadas A, B y C montadas en serie, de forma que A engrana con B, y B engrana con C. Los radios primitivos de las ruedas son $R_A = 12$ pulgadas, $R_B = 8$ pulgadas y $R_C = 20$ pulgadas. Si la rueda A gira un ángulo de $150^\circ$ en sentido horario, determine el ángulo de giro de la rueda C en radianes y especifique su sentido de giro.
Un rodillo cilíndrico de $25$ pulgadas de radio se utiliza para compactar el asfalto de una calle. Al empujarlo, el rodillo avanza en línea recta rodando sin deslizar y…
Un rodillo cilíndrico de $25$ pulgadas de radio se utiliza para compactar el asfalto de una calle. Al empujarlo, el rodillo avanza en línea recta rodando sin deslizar y da exactamente $14,5$ vueltas completas. Calcule la distancia horizontal recorrida por el eje del rodillo en pies y el ángulo total girado por cualquier punto de su superficie, expresado en grados sexagesimales.
Relojes, polígonos y sucesiones de ángulos
Un reloj analógico es un modelo perfecto para problemas de ángulos. El minutero gira $360^\circ$ en $60$ minutos, así que se mueve $6^\circ$ por minuto. El horario gira $360^\circ$ en $12$ horas, es decir, $30^\circ$ por hora o $0.5^\circ$ por minuto. Mide ambas manecillas en el sentido de las manecillas del reloj, desde las $12$.
En este tipo de problemas aparecen dos ideas más sobre ángulos. Los ángulos interiores de un polígono suman $(n-2)\cdot 180^\circ$. Y cuando los ángulos forman una sucesión aritmética con diferencia común $d$, puedes llamar a los tres ángulos de un triángulo $a - d$, $a$, $a + d$. Su suma es $3a = 180^\circ$, así que el ángulo del medio siempre es $60^\circ$.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determine la medida de los tres ángulos expresada en…
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determine la medida de los tres ángulos expresada en radianes (utilizando fracciones de $\pi$).
Determine la hora exacta, comprendida entre las 7:00 y las 8:00, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente…
Determine la hora exacta, comprendida entre las 7:00 y las 8:00, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente superpuestas. Exprese también el ángulo total barrido por la aguja horaria desde las 7:00 hasta ese instante preciso, en radianes.
Todo junto: divisiones iguales, áreas iguales y series infinitas
Los últimos problemas combinan la medida de ángulos con el álgebra. Aquí van tres patrones.
Espaciado uniforme alrededor de un círculo. Si $n$ objetos están espaciados uniformemente alrededor de un círculo, el ángulo entre vecinos es $\dfrac{2\pi}{n}$, y la distancia a lo largo del arco entre ellos es $r\cdot\dfrac{2\pi}{n}$.
Áreas iguales. Para comparar sectores, iguala las fórmulas de área y despeja el ángulo desconocido. Empieza con un sector de radio $R$ y ángulo $\alpha$. Supón que un sector nuevo tiene radio $2R$ y la misma área. ¿Qué ángulo $\beta$ necesita?
Serie geométrica infinita. Un columpio que se va frenando es un proceso repetido en el que cada arco es una fracción fija del anterior. Si el primer término es $a_1$ y la razón común cumple $|r| < 1$, la suma de todos los términos es
$$S = \frac{a_1}{1 - r}.$$De vuelta a la snowboarder. Un "1080" son $\dfrac{1080}{360} = 3$ vueltas completas, y en radianes son $1080\cdot\dfrac{\pi}{180} = 6\pi$ rad. Termina con el mismo lado terminal que un ángulo de $0^\circ$, y por eso aterriza mirando hacia donde empezó.
Una noria de feria tiene un diámetro de $40$ pies y cuenta con $24$ cabinas espaciadas uniformemente a lo largo de su borde exterior. Calcula la distancia a lo largo del…
Una noria de feria tiene un diámetro de $40$ pies y cuenta con $24$ cabinas espaciadas uniformemente a lo largo de su borde exterior. Calcula la distancia a lo largo del arco de la noria que separa dos cabinas consecutivas y el ángulo en radianes que forman respecto al eje central.
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea…
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea exactamente igual a la del sector original. Si por restricciones de diseño el radio del nuevo sector debe ser el triple que el original ($3R$), determine algebraicamente qué fracción del ángulo $\alpha$ debe tener el nuevo sector.
Un péndulo de longitud $L = 1$ pie oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera…
Un péndulo de longitud $L = 1$ pie oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera oscilación, el ángulo máximo que forma con la vertical es de $\frac{\pi}{6}$ radianes. Debido a la fricción, en cada oscilación posterior, el ángulo máximo alcanzado se reduce en un $10\%$ respecto a la oscilación inmediatamente anterior. Planteando la suma de la serie geométrica infinita correspondiente, calcule la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta detenerse por completo.