Operaciones con expresiones racionales

Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica factorizando el numerador y el denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y expresa el resultado en su forma más simple:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Calcula la división de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado obtenido:

$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$

Demuestre que la siguiente igualdad algebraica es cierta para cualquier valor de las variables $x$ e $y$ que no anule los denominadores, desarrollando las operaciones y simplificando el miembro izquierdo:

$\left( \frac{x^2 - y^2}{x+y} \right) \cdot \left( \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2} \right) = x^2 - y^2$

Efectúa la suma de las siguientes fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador:

$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$

Resta las siguientes fracciones algebraicas reduciendo previamente a común denominador:

$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$

Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas con denominadores de grado uno:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$

Efectúe la suma y resta de las siguientes fracciones algebraicas. Utilice la regla de Ruffini y las identidades notables para factorizar previamente los denominadores y hallar el mínimo común múltiplo:

$\frac{2x}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x-1}$

El costo medio de producción de un componente electrónico está dado por la expresión $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, donde $x$ es el volumen de producción en miles de unidades. Por un ajuste de subvenciones, se le debe restar una tasa representada por la fracción $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcule la nueva expresión del costo medio simplificando previamente la primera fracción.

Realice las operaciones indicadas con tres variables y demuestre que el resultado final se simplifica a un número entero constante:

$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

Opera la expresión dentro del paréntesis y luego multiplica para simplificar el resultado final:

$\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$

Efectúa la siguiente operación combinada de fracciones algebraicas y simplifica al máximo:

$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$

Realice las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y simplifique el resultado al máximo:

$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$

Simplifique la siguiente fracción algebraica compleja reduciendo primero el numerador y el denominador de forma independiente:

$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$

Simplifique la siguiente expresión algebraica iterada (fracción continua) operando desde el nivel más profundo hacia arriba, hasta obtener una fracción irreducible:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}}$

Un dron de reparto viaja de un almacén a una zona residencial a una velocidad $v+w$ (donde $w$ es la velocidad del viento a favor) y regresa a una velocidad $v-w$ (viento en contra). La distancia entre los puntos es $d$. Obtenga la expresión simplificada de la velocidad media del recorrido completo, dada por $v_m = \frac{2d}{\frac{d}{v+w} + \frac{d}{v-w}}$, y compruebe si es equivalente a la expresión $\frac{v^2 - w^2}{v}$.

En un circuito eléctrico, dos resistencias $R_1$ y $R_2$ están conectadas en paralelo. La resistencia equivalente $R_{eq}$ cumple la relación $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si el valor de las resistencias viene dado por los polinomios $R_1 = x^2 - 4$ y $R_2 = x^2 + 4x + 4$, obtén la expresión simplificada de la resistencia equivalente $R_{eq}$ en función de $x$.

La fórmula de las lentes delgadas en óptica establece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Si la distancia del objeto al centro óptico es $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ y la distancia de la imagen es $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determine la expresión algebraica simplificada de la distancia focal $f$.

Dos impresoras 3D industriales fabrican un lote de piezas trabajando en equipo. La primera impresora tarda $x$ horas en completar el trabajo sola, y la segunda tarda $x+3$ horas. La porción del trabajo que realizan juntas en una hora es la suma de sus tasas de trabajo individuales. Escriba y simplifique la fracción algebraica que representa dicha porción de trabajo por hora.

La base de un panel solar rectangular viene dada por la expresión $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ pies, y su altura por $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ pies. Calcule el área del panel solar expresando el resultado como una única fracción algebraica simplificada.

Un circuito mixto tiene una resistencia equivalente entre los terminales A y B dada por la fórmula $R_{eq} = R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$. Si los valores de las resistencias en ohmios vienen dados por las expresiones algebraicas $R_1 = \frac{x}{x+1}$, $R_2 = \frac{x^2-1}{x}$ y $R_3 = \frac{x^2-1}{2}$, calcule la expresión simplificada de la resistencia equivalente $R_{eq}$.

En un laboratorio de química se tienen dos soluciones de un mismo ácido. La primera tiene una concentración $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ y la segunda $C_2 = \frac{2}{x^2-1}$. Se mezclan volúmenes iguales de ambas soluciones, por lo que la concentración de la mezcla resultante es la media aritmética de ambas concentraciones, es decir, $C_m = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)$. Obtenga la expresión algebraica simplificada de la concentración final de la mezcla $C_m$.

Determine los valores numéricos de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que se cumpla la siguiente identidad de descomposición en fracciones simples para todo $x$:

$\frac{5x^2 - x + 2}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

El área superficial de un envase cilíndrico diseñado para minimizar el uso de material plástico viene dada por la expresión $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Para analizar la tasa de cambio del material respecto al radio $x$, un ingeniero necesita calcular y simplificar la expresión del cociente de diferencias $\frac{S(x+h) - S(x)}{h}$. Realice esta operación y exprese el resultado como una única fracción algebraica simplificada en términos de $x$ y $h$.