La distribución normal estándar N(0, 1)

Observa la siguiente representación de la distribución normal estándar. Si sabemos que el área de la región sombreada a la derecha de $z = 1,96$ es $0,025$, razona cuál será la probabilidad acumulada hasta ese punto, $P(Z \leq 1,96)$.

En una aplicación de entrenamiento de reflejos, los resultados de los usuarios se han normalizado siguiendo una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. Si un jugador obtiene una puntuación estandarizada de $z = 1,45$, calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar tenga una puntuación inferior a la suya; es decir, calcula $P(Z < 1,45)$.

El tiempo que tardan los estudiantes en completar un reto de lógica en TikTok se distribuye según una normal estándar una vez estandarizados los datos. Calcula la probabilidad de que un estudiante tarde más tiempo que la media correspondiente a un valor de $Z = 0,82$. Es decir, halla $P(Z > 0,82)$.

Dada una variable aleatoria $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular las siguientes áreas bajo la curva:

1. a) $P(Z \leq 1,48)$
2. b) $P(Z < 0,35)$
3. c) $P(Z \geq 2,12)$
4. d) $P(Z > 1,96)$

Representa gráficamente en una campana de Gauss el área correspondiente al inciso c).

Se ha realizado un estudio sobre el ahorro mensual de los jóvenes de una ciudad. Tras estandarizar la variable, se observa que sigue una distribución $N(0, 1)$. Utilizando las propiedades de simetría de la distribución normal, calcula la probabilidad de que un joven tenga un nivel de ahorro inferior a un valor estandarizado de $z = -1,26$.

En un examen de admisión a un programa técnico, las notas se ajustan a una normal estándar. Sabiendo que la curva es simétrica respecto al eje de ordenadas, determina la probabilidad de que un aspirante obtenga una puntuación estandarizada superior a $-0,54$.

Haciendo uso de las propiedades de simetría de la distribución normal estándar $N(0,1)$, determina las siguientes probabilidades para valores negativos de la variable:

1. a) $P(Z \leq -0,74)$
2. b) $P(Z < -1,25)$
3. c) $P(Z \geq -0,58)$
4. d) $P(Z > -2,03)$

Calcula la probabilidad de que una variable aleatoria $Z \sim N(0, 1)$ tome valores comprendidos en el intervalo $[0,45, \, 1,88]$. Recuerda que para calcular el área entre dos valores positivos $a$ y $b$, debes restar sus probabilidades acumuladas: $P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)$.

En el control de calidad de unos componentes electrónicos, se acepta que el error de medida sigue una distribución $N(0, 1)$. Halla la probabilidad de que el error estandarizado se encuentre en el intervalo simétrico $[-1,5, \, 1,5]$.

Calcula la probabilidad de que la variable aleatoria $Z \sim N(0,1)$ tome valores dentro de los siguientes intervalos:

1. a) $P(0,45 \leq Z \leq 1,82)$
2. b) $P(-1,05 < Z < 2,15)$
3. c) $P(-2,30 \leq Z \leq -0,90)$

Explica mediante un dibujo por qué en el caso c) el resultado debe ser igual a la probabilidad del intervalo positivo correspondiente.

Calcula de forma razonada, utilizando las propiedades de la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, el valor de las siguientes probabilidades sin usar directamente la tabla para los valores negativos (usa solo la tabla para valores positivos):

1. a) $P(|Z| \ge 1,25)$
2. b) $P(-0,5 \le Z \le 0,5)$
3. c) $P(Z \le -1,96 \cup Z \ge 1,96)$

Demuestra algebraicamente que para cualquier variable $Z \sim N(0, 1)$ y cualquier valor real $k > 0$, se cumple que $P(-k \le Z \le k) = 2 \cdot \Phi(k) - 1$.

Posteriormente, utiliza esta fórmula para hallar la probabilidad de que $Z$ se encuentre a una distancia de la media superior a $1,645$ desviaciones estándar.

Se ha realizado un estudio sobre el tiempo de reacción de los adolescentes ante un estímulo visual. Tras estandarizar los datos a una $N(0, 1)$, se observa que el $15,87\%$ de los sujetos tiene un tiempo de reacción muy lento (valores altos de $Z$).

Si elegimos a dos adolescentes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan un valor de $Z$ comprendido entre $-1$ y $1$? Supón que las reacciones de ambos son independientes.

Dada una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de forma inversa para encontrar el valor de la constante $k$ tal que la probabilidad de obtener un valor inferior a ella sea exactamente $0,9750$. Es decir, busca $k$ en: $P(Z < k) = 0,9750$.

En la distribución normal estándar $N(0,1)$, es habitual tener que realizar el "camino inverso": conocer la probabilidad y buscar el valor de la abscisa. Halla el valor de la constante $k$ en cada uno de los siguientes casos:

1. a) $P(Z \leq k) = 0,8749$
2. b) $P(Z < k) = 0,9913$
3. c) $P(Z \leq k) = 0,0516$
4. d) $P(Z < k) = 0,3336$

Halla el valor de la abscisa $k$ en una distribución $N(0,1)$ sabiendo que:

1. a) El área a la derecha de $k$ es $0,1515$.
2. b) El área a la derecha de $k$ es $0,9418$.
3. c) $P(Z > k) = 0,0228$

Dos estudiantes de diferentes escuelas secundarias quieren comparar sus resultados en un examen de inglés. Al no ser el mismo examen, utilizan la puntuación estandarizada $Z$ (que sigue una $N(0,1)$) para saber quién está en mejor posición respecto a su grupo.

• El estudiante A tiene una puntuación estandarizada de $z_A = 1,2$.

• El estudiante B tiene una puntuación estandarizada de $z_B = 0,8$.

Calcula qué porcentaje de alumnos tiene por debajo cada uno de ellos en su respectiva escuela secundaria e interpreta quién ha obtenido un resultado más destacado.

En el mundo de los eSports, la habilidad de los jugadores de un famoso videojuego se mide con una puntuación estandarizada que sigue una $N(0, 1)$. La empresa desarrolladora ha decidido otorgar una skin exclusiva solo a los jugadores que superen el percentil 99. Por otro lado, los jugadores que están por debajo del valor $-2,33$ entran en un programa de "entrenamiento básico".

¿Cuál es la probabilidad de que un jugador elegido al azar no reciba la skin pero tampoco tenga que entrar en el programa de entrenamiento?

En estudios estadísticos avanzados se suelen buscar intervalos simétricos respecto al origen que encierren una probabilidad determinada. Encuentra el valor de $k$ positivo tal que:

1. a) $P(-k \leq Z \leq k) = 0,90$
2. b) $P(-k < Z < k) = 0,95$
3. c) $P(-k \leq Z \leq k) = 0,99$

Nota: Estos valores de $k$ se conocen como valores críticos y son fundamentales para el cálculo de intervalos de confianza.

Una plataforma de streaming clasifica a sus usuarios según su "índice de fidelidad", el cual sigue una distribución $N(0, 1)$. El sistema considera "Usuarios VIP" a aquellos que se encuentran en el intervalo central que concentra al $68,26\%$ de la población. Sin embargo, para una campaña de marketing agresiva, quieren redefinir este grupo.

Halla los valores simétricos $-z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha/2}$ que encierran una probabilidad de $0,98$. Explica qué porcentaje de usuarios quedaría fuera de este nuevo grupo por cada extremo.

Halla un valor positivo $m$ tal que el área encerrada bajo la curva normal estándar $N(0, 1)$ entre $-m$ y $m$ sea el triple que el área total de las dos colas exteriores (la suma de las áreas a la izquierda de $-m$ y a la derecha de $m$).

Dada una variable $Z \sim N(0,1)$, calcula el valor de $a$ sabiendo que la probabilidad de que la variable sea mayor que $a$ es siete veces mayor que la probabilidad de que sea menor que $a$, siendo $a$ un valor negativo.

Ayúdate de la relación $P(Z < a) + P(Z > a) = 1$ y de las tablas de la normal estándar.

En una distribución normal estándar $N(0, 1)$, se sabe que existe un valor positivo $k$ tal que la probabilidad de que la variable $Z$ sea mayor que $k$ es exactamente la cuarta parte de la probabilidad de que $Z$ sea menor que $k$. Utilizando las propiedades de simetría de la campana de Gauss y las tablas de la distribución, calcula el valor de dicho parámetro $k$ con dos cifras decimales.

Dada una variable aleatoria $Z \sim N(0, 1)$, calcula el valor de la abscisa $a$ sabiendo que se cumple la siguiente relación de probabilidades:

$P(Z < a) = 3 \cdot P(a < Z < 1,5)$

Nota: Deberás plantear una ecuación utilizando la función de distribución $\Phi(z)$ y resolver buscando en la tabla.