Un dron filma un partido de futbol americano de la preparatoria. El centro de control registra su altura en pies cada segundo: $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Esa expresión es un polinomio en $t$, y la curva que describe el vuelo es la gráfica de una función polinomial. En esta sección irás más allá de las rectas y las parábolas. Estudiarás el dominio y el rango, qué pasa cuando $x$ crece sin límite, la simetría y cómo los ceros te dicen dónde una función es positiva o negativa. Después usarás todo eso para hallar ecuaciones y resolver problemas reales. Al final responderemos la pregunta: ¿qué altura alcanza el dron?
¿Qué es una función polinomial?
Cada grado tiene un nombre: el grado 0 es constante, el grado 1 es lineal, el grado 2 es cuadrático, el grado 3 es cúbico y el grado 4 es cuártico. El dominio siempre es $(-\infty, \infty)$, pero el rango depende del tipo de función.
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La altura en pies de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula la altura a la que se…
La altura en pies de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula la altura a la que se encuentra el dron en los instantes $t = 1$ y $t = 3$.
Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcula las coordenadas exactas de su…
Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcula las coordenadas exactas de su vértice.
¿Qué le pasa a $f(x)$ cuando $x$ se hace enorme en cualquier dirección? Eso es el comportamiento en los extremos (end behavior). El grado y el signo del coeficiente principal lo deciden.
En notación de límites, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$ significa que $f(x)$ decrece sin límite cuando $x$ crece hacia la derecha.
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Analiza el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando…
Analiza el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determina su expresión analítica y…
Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determina su expresión analítica y calcula todos sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Encuentra las raíces de la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y estudia su signo en toda la recta real indicando los intervalos donde la función es positiva y…
Encuentra las raíces de la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y estudia su signo en toda la recta real indicando los intervalos donde la función es positiva y negativa.
Cómo escribir una cuadrática a partir de su gráfica
A veces te dan puntos de una gráfica y necesitas la ecuación. Elige la forma que se ajuste a la información.
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Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Expresa el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Expresa el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$…
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$ y $(-1, 6)$.
La forma factorizada funciona para cualquier grado: si conoces todos los ceros, conoces los factores. Pero los ceros por sí solos no determinan el polinomio.
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Halla la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de…
Halla la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 16)$.
Muchos problemas piden los valores de un parámetro ($k$, $m$, $b$) que hacen que una gráfica se comporte de cierta manera. La herramienta casi siempre es el discriminante de una ecuación cuadrática.
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Calcula el conjunto de valores del parámetro $k$ para que la función polinómica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenga exactamente dos raíces reales distintas.
Calcula el conjunto de valores del parámetro $k$ para que la función polinómica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenga exactamente dos raíces reales distintas.
Considera la familia de funciones cuadráticas de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabiendo que la gráfica pasa por el origen de coordenadas y que su vértice se encuentra…
Considera la familia de funciones cuadráticas de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabiendo que la gráfica pasa por el origen de coordenadas y que su vértice se encuentra sobre la recta $y = -x + 1$, encuentra la expresión analítica de la función o funciones que cumplen estas condiciones.
Cuando una cantidad se modela con una parábola que abre hacia abajo, su mayor valor está en el vértice. Para una parábola que abre hacia arriba, su menor valor está en el vértice.
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Un agricultor dispone de $100$ pies de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner valla en ese lado.…
Un agricultor dispone de $100$ pies de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner valla en ese lado. Expresa el área del huerto en función de la anchura $x$ perpendicular al río y determina las dimensiones que maximizan dicha área.
Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en pies respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4.9t^2 + 19.6t + 1.5$. Calcula la altura…
Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en pies respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4.9t^2 + 19.6t + 1.5$. Calcula la altura máxima que alcanza el proyectil y el instante de tiempo en el que ocurre.
El precio de venta en dólares de un artículo en función del número de unidades $x$ demandadas en el mercado viene dado por la función $p(x) = 120 - 2x$. Escribe la…
El precio de venta en dólares de un artículo en función del número de unidades $x$ demandadas en el mercado viene dado por la función $p(x) = 120 - 2x$. Escribe la función de ingresos totales $R(x)$ y calcula cuántas unidades deben venderse para maximizar los ingresos.
De vuelta al inicio: Para el dron, $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. El vértice está en $t = -\dfrac{20}{2(-5)} = 2$ s, y la altura máxima es $h(2) = -5(4) + 20(2) + 2 = 22$ ft.
Modelado con polinomios
Los problemas reales suelen combinar varias ideas: construir una función a partir de una descripción, hallar su dominio en contexto y luego evaluar u optimizar.
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Una empresa tecnológica vende $x$ unidades de un determinado componente electrónico. El precio unitario de venta modelizado en dólares es $p(x) = 200 - 0.5x$. Los costos…
Una empresa tecnológica vende $x$ unidades de un determinado componente electrónico. El precio unitario de venta modelizado en dólares es $p(x) = 200 - 0.5x$. Los costos totales de producción siguen la función $C(x) = 5000 + 20x$. Expresa la función de beneficios $B(x)$, determina el número de unidades que maximiza el beneficio y calcula a cuánto asciende dicho beneficio máximo.
El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola. La distancia horizontal entre las torres de soporte es de $120$ pies y el punto más bajo del…
El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola. La distancia horizontal entre las torres de soporte es de $120$ pies y el punto más bajo del cable se encuentra a $20$ pies por debajo del punto de enganche en las torres. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, halla la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30$ pies del centro.
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $40$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Se desea construir una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado…
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $40$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Se desea construir una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y doblando las solapas resultantes. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como una función polinómica, indica cuál es su dominio válido en el contexto de este problema geométrico y calcula el volumen si se recorta un cuadrado de $5$ pulgadas de lado.