Identidades de ángulo doble
Un lanzador de globos de agua en la feria de la escuela, una rampa de patineta construida con el doble del ángulo de otra, un modelo de ingresos que sube y baja con las estaciones. En cada caso el ángulo se duplica y la respuesta depende de $\sin(2\theta)$ o $\tan(2\alpha)$ en lugar de depender solo de $\theta$. En vez de sumar un ángulo consigo mismo cada vez, podemos reunir el resultado en una sola identidad. Al terminar esta página sabrás por qué un lanzador dispara más lejos exactamente a $45^\circ$.
De dónde salen las identidades de ángulo doble
Ya conoces las fórmulas del seno y el coseno de una suma. Un ángulo doble es solo el caso especial $2\alpha = \alpha + \alpha$, así que sustituimos $\beta = \alpha$ en esas fórmulas.
Las tres formas de $\cos(2\alpha)$ tienen el mismo valor. Elige la que se ajuste a lo que sabes: solo $\cos\alpha$, solo $\sin\alpha$, o ambos.
Aquí las dos gráficas quedan una encima de la otra, así que $\sin(2x)$ y $2\sin x\cos x$ son la misma función.
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determine el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo…
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determine el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.
Calcule el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora: $\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Calcule el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determine el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determine el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
A partir de una razón conocida
Muchas veces conoces solo una razón, por ejemplo $\sin\alpha$, y el cuadrante. Halla la razón que falta con $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ y luego aplica una identidad de ángulo doble. Esta es la figura para $\sin\alpha = \dfrac35$ con $\alpha$ en el Cuadrante II.
La hipotenusa es $5$, el lado vertical es $3$ (positivo) y el lado horizontal es $-4$ porque el punto está a la izquierda del eje $y$. Entonces $\cos\alpha = -\dfrac45$.
Al revés: de $\cos(2\theta)$ a $\sin\theta$ y $\cos\theta$
A veces conoces el coseno del ángulo doble y necesitas las razones del ángulo simple. Despeja los cuadrados en la segunda y la tercera forma de la identidad:
$$\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \qquad \cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}.$$Se llaman identidades de reducción de potencias (power-reducing identities). Salen directamente de $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ y $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcule el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcule el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcule el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcule el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que…
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que $\cos(2\theta) = 0.28$ y sabemos que el ángulo de incidencia $\theta$ es agudo, determine el valor exacto de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$.
Reconocer patrones: valores exactos y simplificación
Muchas expresiones son una identidad de ángulo doble disfrazada. Si detectas el patrón, puedes hallar valores exactos sin calculadora.
Simplifique la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto: $4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Simplifique la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:
$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Escriba la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo: $\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Escriba la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:
$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Halle el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble: $\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Halle el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:
$\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Demostrar identidades
Para demostrar una identidad, trabaja en un solo lado (por lo general el más complicado) hasta que se convierta en el otro. Con ángulos dobles, el plan casi siempre es el mismo:
-
Reemplaza cada ángulo doble por la forma que encaje con el resto de la expresión.
-
Factoriza y simplifica.
-
Reconoce lo que queda.
Demuestre la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo: $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestre la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:
$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central…
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central viene dada por una expresión proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demuestre que esta expresión se puede simplificar a una única razón trigonométrica del ángulo $\alpha$.
Demuestre la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:…
Demuestre la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:
$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$
Resolver ecuaciones con ángulos dobles
Cuando una ecuación mezcla $\sin(2x)$ o $\cos(2x)$ con razones de $x$, primero sustituye una identidad de ángulo doble para que todo use el mismo ángulo. Luego factoriza o resuelve una ecuación cuadrática en una sola razón.
Los puntos azules son donde $\cos x = 0$. Los puntos naranjas son donde $\sin x = \tfrac12$. Juntos resuelven $\sin(2x) = \cos x$.
Cuando despejes la razón, comprueba siempre que el valor sea posible: $-1 \le \sin x \le 1$ y $-1 \le \cos x \le 1$. En el segundo ejemplo, $\sin x = 2$ no tiene solución.
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica y dé las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$: $\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica y dé las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:
$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$
Ecuaciones más difíciles: parámetros, identidades y sistemas
Tres estrategias cubren los problemas más difíciles.
1. Contar soluciones con un parámetro. Reescribe la ecuación con una sola razón, haz $u = \sin x$ (o $\cos x$) y lleva la cuenta de qué valores puede tomar $u$ en el intervalo dado. Luego cuenta cuántos $x$ produce cada $u$.
2. Primero demuestra, luego resuelve. Si un problema pide demostrar una identidad y luego usarla, la identidad suele convertir una ecuación difícil en una fácil. Por ejemplo, una expresión como $\cos^4 x - \sin^4 x$ se factoriza como diferencia de cuadrados y se reduce a una sola razón de ángulo doble.
3. Sistemas. Comprime una ecuación con la fórmula de la suma $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$. Recuerda que el coseno es uno a uno en $[0, \pi]$: si $\cos A = \cos B$ con $A, B \in [0, \pi]$, entonces $A = B$. Fíjate en cómo cambia el intervalo de $x$ y de $y$ cuando los duplicas.
Encuentre los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo…
Encuentre los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
Demuestre primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utilice este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$…
Demuestre primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utilice este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:
$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$
Aplicaciones: rampas, proyectiles y modelos
Duplicar un ángulo aparece en la física, el diseño de construcciones y los modelos con comportamiento periódico.
La pendiente de la rampa B es $\dfrac34$, que es más del doble de $\dfrac13$. La tangente no es lineal, así que duplicar el ángulo no duplica la pendiente.
Ahora cerramos el gancho del inicio. Como $R = 50\sin(2\theta)$ es máximo cuando $\sin(2\theta) = 1$, necesitamos $2\theta = 90^\circ$. Así, el lanzador llega más lejos con $\theta = 45^\circ$, sin importar la velocidad de lanzamiento. Los dos ángulos que dan en el mismo blanco siempre suman $90^\circ$.
Valor máximo de $a\sin u + b\cos u$
Las identidades de ángulo doble también convierten productos como $\sin x\cos x$ y cuadrados como $\sin^2 x$ en $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$. Eso facilita analizar un modelo periódico, porque una combinación $a\sin u + b\cos u$ es solo una onda senoidal desplazada. Su amplitud es $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, así que su máximo es $R$ y su mínimo es $-R$.
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que…
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0.4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcule la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la…
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de prueba dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halle los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el…
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el tiempo en meses transcurrido ($x \ge 0$). Exprese $I(x)$ en función de $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$, y determine el ingreso máximo que puede alcanzar la empresa.