Ecuaciones radicales
Una piedra se deja caer desde un puente y cae al río exactamente 3 segundos después. El tiempo de caída es $t=\sqrt{h/16}$, donde $h$ es la altura en pies. ¿Qué altura tiene el puente? La incógnita $h$ está atrapada bajo una raíz cuadrada, y para sacarla hay que deshacer la raíz. Las ecuaciones como esta se llaman ecuaciones radicales. En algunos problemas también se llaman ecuaciones irracionales.
Aislar y elevar al cuadrado
Elevar al cuadrado deshace una raíz cuadrada: $(\sqrt{A})^2=A$ siempre que $A\ge 0$. El plan es dejar el radical solo y después elevar al cuadrado.
Resuelva la siguiente ecuación radical y compruebe la validez de la solución obtenida: $\sqrt{3x - 2} = 4$
Resuelva la siguiente ecuación radical y compruebe la validez de la solución obtenida:
$\sqrt{3x - 2} = 4$
Soluciones extrañas
Elevar al cuadrado puede agregar soluciones que no pertenecen a la ecuación. Por ejemplo, $3^2=9$ y $(-3)^2=9$, así que al elevar al cuadrado no se distingue $3$ de $-3$. Si $a=b$, entonces $a^2=b^2$, pero $a^2=b^2$ no implica $a=b$.
La gráfica muestra por qué. La curva $y=\sqrt{x+6}$ corta a la recta $y=x$ una sola vez. Al elevar al cuadrado también entra la mitad inferior $y=-\sqrt{x+6}$, y esa mitad corta a la recta en $x=-2$.
Determine el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación irracional: $\sqrt{2x + 7} - x = 2$
Determine el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación irracional:
$\sqrt{2x + 7} - x = 2$
Resuelva la siguiente ecuación radical y explique por qué una de las posibles soluciones algebraicas obtenidas tras elevar al cuadrado no es válida:…
Resuelva la siguiente ecuación radical y explique por qué una de las posibles soluciones algebraicas obtenidas tras elevar al cuadrado no es válida:
$x - \sqrt{x + 1} = 5$
Otros índices y fracciones en el radicando
Las raíces cuartas se comportan como las raíces cuadradas. Por ejemplo, $\sqrt[4]{x+1}=2$ da $x+1=16$, así que $x=15$. Y $\sqrt[4]{x+1}=-2$ no tiene solución, porque una raíz cuarta nunca es negativa.
Resuelva la siguiente ecuación que contiene una raíz de índice superior: $\sqrt[3]{5x - 4} = -1$
Resuelva la siguiente ecuación que contiene una raíz de índice superior:
$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$
Encuentre los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad con fracciones en el radicando: $\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$
Encuentre los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad con fracciones en el radicando:
$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$
Dos radicales
La gráfica del lado izquierdo, $y=\sqrt{x+5}+\sqrt{x}$, cruza la recta $y=5$ exactamente en $x=4$.
Halle la solución de la ecuación igualando ambos radicales y verifique el resultado: $\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$
Halle la solución de la ecuación igualando ambos radicales y verifique el resultado:
$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$
Resuelva la siguiente ecuación irracional que contiene dos radicales: $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$
Resuelva la siguiente ecuación irracional que contiene dos radicales:
$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$
Elevar al cuadrado dos veces
Cuando un primer paso deja un radical, aísla ese radical y eleva al cuadrado otra vez. Las soluciones extrañas pueden colarse en cualquiera de los dos pasos, así que comprueba siempre al final en la ecuación original.
Encuentre las soluciones reales de la siguiente ecuación irracional aislando adecuadamente uno de los radicales antes de elevar al cuadrado:…
Encuentre las soluciones reales de la siguiente ecuación irracional aislando adecuadamente uno de los radicales antes de elevar al cuadrado:
$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$
Resuelva la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Tenga especial cuidado al agrupar términos tras la primera elevación al cuadrado:…
Resuelva la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Tenga especial cuidado al agrupar términos tras la primera elevación al cuadrado:
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$
Radicales anidados y sustitución
Algunas ecuaciones son en realidad cuadráticas "disfrazadas". Si la misma expresión radical aparece dos veces, sustituye $t$ por ella.
A veces el radicando aparece también fuera del radical. Entonces debes reescribir esa parte exterior en términos de $t$. Si $t=\sqrt{x^2-2}$, al elevar al cuadrado ambos lados de esta definición se obtiene $t^2=x^2-2$, así que $x^2=t^2+2$.
Cuando la ecuación tiene raíces de distintos índices, elige $t$ como una raíz cuyo índice sea el mcm de todos los índices, de modo que cada radical se convierta en una potencia de $t$.
Encuentre las soluciones reales de la siguiente ecuación que contiene un radical anidado (un radical dentro de otro): $\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$
Encuentre las soluciones reales de la siguiente ecuación que contiene un radical anidado (un radical dentro de otro):
$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$
Resuelva la siguiente ecuación irracional. Le resultará más sencillo si aplica un cambio de variable adecuado, por ejemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:…
Resuelva la siguiente ecuación irracional. Le resultará más sencillo si aplica un cambio de variable adecuado, por ejemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:
$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$
Resuelva la siguiente ecuación irracional con raíces de distintos índices. Le será de gran ayuda realizar el cambio de variable $t = \sqrt[6]{x}$:…
Resuelva la siguiente ecuación irracional con raíces de distintos índices. Le será de gran ayuda realizar el cambio de variable $t = \sqrt[6]{x}$:
$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$
Radicales dentro de un valor absoluto
En algunos problemas esto se llama ecuación con módulo. En las clases de EE. UU. es una ecuación de valor absoluto. Si $|y|=c$ con $c\ge0$, entonces $y=c$ o $y=-c$, porque ambos números están a $c$ unidades de cero.
Resuelva la siguiente ecuación que combina las propiedades de los valores absolutos con expresiones irracionales. Considere cuidadosamente los casos del valor absoluto:…
Resuelva la siguiente ecuación que combina las propiedades de los valores absolutos con expresiones irracionales. Considere cuidadosamente los casos del valor absoluto:
$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$
Sistemas con radicales
Un sistema con radicales se resuelve como cualquier otro sistema: usa sustitución o eliminación, y usa el álgebra para hacer desaparecer los radicales. Recuerda siempre que cada radicando debe ser $\ge 0$.
Discuta y resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineal que involucra radicales. Puede aprovechar la estructura algebraica de la segunda ecuación (diferencia de…
Discuta y resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineal que involucra radicales. Puede aprovechar la estructura algebraica de la segunda ecuación (diferencia de cuadrados) para simplificar el proceso:
$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$
Dominio, sin solución y parámetros
A veces puedes decidir mucho antes de elevar algo al cuadrado. Con un índice par, el radicando debe ser $\ge0$. Esa condición es el dominio de la ecuación.
Ahora supón que la ecuación tiene un parámetro $k$. Después de elevar al cuadrado obtienes una cuadrática cuyas raíces dependen de $k$. El discriminante te dice cuántas raíces hay, y la condición de signo sobre el radical aislado te dice cuáles sobreviven.
Mueve el control deslizante y observa cómo la curva $y=\sqrt{2x+k}$ corta a la recta $y=x$ en cero, uno o dos puntos.
Demuestre algebraicamente y de forma razonada por qué la ecuación irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ carece de soluciones en el conjunto de los números reales.…
Demuestre algebraicamente y de forma razonada por qué la ecuación irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ carece de soluciones en el conjunto de los números reales. Base su demostración en el análisis del dominio de definición de los radicales implicados, sin necesidad de elevar al cuadrado ambos miembros.
Determine el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenga una única solución real válida de multiplicidad uno. Razone su…
Determine el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenga una única solución real válida de multiplicidad uno. Razone su respuesta analizando el discriminante de la ecuación cuadrática resultante y las condiciones de validez del radical.
Aplicaciones: fórmulas y modelos
Muchas fórmulas reales tienen una raíz cuadrada: distancia al horizonte, tiempo de caída, periodo de un péndulo, modelos de costo. Para usarlas "al revés", aísla el radical, eleva al cuadrado y resuelve. En problemas reales, descarta los valores que no tienen sentido (longitud, tiempo o costo negativos).
La gráfica anterior modela un costo: $C(x)=8+\sqrt{3x+1}$ miles de dólares por $x$ unidades. Hacer $C=15$ significa hallar dónde la curva corta a la recta horizontal $y=15$.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en pies) viene dado por la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcule…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en pies) viene dado por la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcule desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $3$ segundos en llegar al suelo.
El costo de producción $C$ (en miles de dólares) de fabricar $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión sigue el modelo matemático…
El costo de producción $C$ (en miles de dólares) de fabricar $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión sigue el modelo matemático $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Si el presupuesto exacto destinado para la producción de este lote es de $\$25$ miles, ¿cuántas unidades se pueden fabricar?
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple (en segundos) se relaciona con su longitud $L$ (en pies) mediante la expresión física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.…
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple (en segundos) se relaciona con su longitud $L$ (en pies) mediante la expresión física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Considerando la aceleración de la gravedad como $g \approx \pi^2\text{ m/s}^2$, plantee la ecuación y halle la longitud de un péndulo cuyo periodo de oscilación es exactamente de $2,5$ segundos.
Aplicaciones: distancia y geometría
La fórmula de la distancia y el teorema de Pitágoras producen raíces cuadradas, así que los problemas de geometría con frecuencia llevan a ecuaciones radicales.
En el siguiente ejemplo, una rampa se apoya en una pared. Los términos $x^2$ se cancelan al elevar al cuadrado, así que terminas con una ecuación lineal.
Calcule la coordenada $x$ a la que debe situarse un punto $P(x, 4)$ del punto $A(-2, 1)$ para que la distancia euclídea entre ambos sea exactamente de $5$ unidades.…
Calcule la coordenada $x$ a la que debe situarse un punto $P(x, 4)$ del punto $A(-2, 1)$ para que la distancia euclídea entre ambos sea exactamente de $5$ unidades. Plantee la ecuación irracional correspondiente usando la fórmula de la distancia y resuélvela.
En un proyecto de arquitectura, se diseña una rampa de acceso apoyada en un muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. La longitud de la rampa es $\sqrt{x^2 + 144}$ y la…
En un proyecto de arquitectura, se diseña una rampa de acceso apoyada en un muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. La longitud de la rampa es $\sqrt{x^2 + 144}$ y la distancia horizontal desde el inicio de la rampa hasta la base del muro es $x$. Si por normativa de seguridad y pendiente la rampa debe medir exactamente $4\text{ m}$ más que la distancia horizontal $x$, plantee y resuelva la ecuación irracional para hallar $x$.
Un cable de fibra óptica debe conectar dos torres de comunicaciones $A$ y $B$ de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura respectivamente, pasando por un punto de anclaje…
Un cable de fibra óptica debe conectar dos torres de comunicaciones $A$ y $B$ de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura respectivamente, pasando por un punto de anclaje $P$ situado en el suelo entre ambas torres. La distancia horizontal entre las torres es de $35\text{ m}$. Si el punto $P$ se sitúa a $x$ pies de la torre $A$, la longitud total del cable viene dada por $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Si se dispone de exactamente $50\text{ m}$ de cable y se quiere usar en su totalidad sin cortes, determine a qué distancia $x$ se debe situar el anclaje $P$.
Despejar una variable en una fórmula
Una ecuación literal tiene varias letras, y despejas una de ellas. El método es el mismo: aísla el radical, eleva a la potencia del índice y después despeja la variable que quieres.
El radio $r$ de la base de un cilindro de volumen $V$ y altura $h$ se calcula mediante la expresión $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envase cilíndrico de…
El radio $r$ de la base de un cilindro de volumen $V$ y altura $h$ se calcula mediante la expresión $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envase cilíndrico de $15\text{ cm}$ de altura tiene un volumen de $471\text{ cm}^3$, plantee la ecuación correspondiente y halle el radio de su base (utilice la aproximación $\pi \approx 3,14$).
La teoría de la relatividad especial establece que la masa relativista $m$ de un objeto en movimiento viene dada por la ecuación…
La teoría de la relatividad especial establece que la masa relativista $m$ de un objeto en movimiento viene dada por la ecuación $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad del objeto y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Despeje algebraicamente la velocidad $v$ en función de $m$, $m_0$ y $c$. Posteriormente, calcule a qué fracción de la velocidad de la luz $c$ debe viajar una nave espacial para que su masa relativista sea exactamente el doble de su masa en reposo.
De vuelta al inicio: la piedra cumple $3=\sqrt{h/16}$. Eleva al cuadrado ambos lados y obtienes $9=h/16$, así que $h=144$ ft. Comprobación: $\sqrt{144/16}=\sqrt{9}=3$ ✓. El puente mide 144 pies de altura.