Funciones logarítmicas

Escribe la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) $f^{-1}(x)$ de la función exponencial $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

El valor contable de un servidor informático de alta capacidad se deprecia con el tiempo según la función exponencial $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, donde $V$ es el valor en dólares y $t$ es el tiempo transcurrido en años desde su compra. Encuentra la expresión analítica de la función inversa $t(V)$ y explica brevemente qué magnitud permite calcular esta nueva función.

Analiza la relación de simetría entre las funciones $f(x) = e^{x-1}$ y $g(x) = \ln(x) + 1$. Observa la gráfica adjunta que muestra ambas curvas y la bisectriz del primer cuadrante. Demuestra analíticamente que son funciones inversas calculando la composición $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$.

Determina el dominio de definición de la función logarítmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado utilizando intervalos.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Presta especial atención a los puntos que anulan el numerador, el denominador y el argumento del logaritmo.

Halla los puntos de corte con los ejes coordenados (eje X y eje Y, si existen) de la función $g(x) = \ln(x - 2)$.

Dada la función $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indica razonadamente si es una función creciente o decreciente en todo su dominio y calcula el valor exacto de $h(1)$ y $h(4)$.

A partir de la siguiente representación gráfica de la función $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determina analíticamente su dominio, su recorrido, la ecuación de su asíntota vertical y las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes X e Y.

Describe de forma precisa qué transformaciones geométricas (desplazamientos) hay que aplicar a la gráfica de la función elemental $f(x) = \ln(x)$ para obtener la gráfica de la función $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Determina los valores numéricos de los parámetros $a$ y $b$ para que la función logarítmica $f(x) = \ln(ax + b)$ cumpla simultáneamente dos condiciones: tener una asíntota vertical en la recta de ecuación $x = -3$ y pasar por el punto de coordenadas $(2, 0)$.

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x = 1$. Si existe alguna discontinuidad, clasifícala indicando de qué tipo es.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Utilizando las propiedades de los logaritmos, desarrolla la siguiente expresión para escribirla como suma y resta de logaritmos más sencillos:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Dada la función $f(x) = \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ cuyo dominio es el intervalo $x \in (-1, 1)$, demuestra analíticamente, utilizando las propiedades de los logaritmos, que se cumple la identidad $f(a) + f(b) = f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)$ para cualesquiera valores $a$ y $b$ pertenecientes al dominio que hagan que la expresión tenga sentido.

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica aplicando la definición de logaritmo:

$\log_2(3x + 1) = 4$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica, comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. Asegúrate de comprobar las posibles soluciones en la ecuación original para descartar raíces falsas:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

Halla los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema que combina ecuaciones exponenciales y logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 64 \\ \ln(x) - \ln(y) = \ln(2) \end{cases}$

La ley de desintegración radiactiva del Carbono-14 viene dada por la función $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial de isótopo, $N(t)$ es la cantidad restante en el instante $t$ (en años) y $\lambda$ es la constante de desintegración. Sabiendo que el periodo de semidesintegración (tiempo necesario para que la cantidad inicial se reduzca exactamente a la mitad) es de $5730$ años, calcula el valor exacto de la constante $\lambda$. Posteriormente, determina la edad aproximada de un fósil óseo que conserva solo el $15\%$ de su Carbono-14 original.

Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura $T$ de un cuerpo en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde $T_a$ es la temperatura ambiente constante y $T_0$ es la temperatura inicial del cuerpo. Una taza de té a $90^\circ\text{C}$ se deja reposar en una habitación cuya temperatura es de $20^\circ\text{C}$. Si transcurridos $10$ minutos la temperatura del té ha descendido a $60^\circ\text{C}$, halla el valor exacto de la constante de enfriamiento $k$. A continuación, calcula cuánto tiempo total debe transcurrir desde el inicio para que la temperatura descienda a $35^\circ\text{C}$.

En química, el pH de una disolución se define mediante la expresión $pH = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Calcula el pH de un jugo de naranja cuya concentración de iones de hidrógeno es $[H^+] = 10^{-3,2}$.

El nivel de intensidad sonora $\beta$, medido en decibelios (dB), se calcula mediante la fórmula acústica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral estándar de audición. Si el despegue de un avión a reacción genera un nivel de ruido de $140 \text{ dB}$, ¿cuál es la intensidad $I$ de ese sonido en $\text{W/m}^2$?

En la escala sismológica de Richter, la magnitud $M$ de un terremoto se relaciona con la energía liberada $E$ (en ergios) mediante la ecuación empírica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcula cuántas veces es mayor la energía liberada por un terremoto de magnitud $7,0$ en comparación con la energía liberada por uno de magnitud $5,0$.