Forma polar y forma trigonométrica de un número complejo
¿Cuánto es $(1+i)^8$? Podrías multiplicar $1+i$ por sí mismo ocho veces, pero eso son muchos productos con FOIL. Hay un atajo. El punto $1+i$ está a unas $1.41$ unidades del origen, con un ángulo de $45^\circ$. Elevarlo a la 8.ª potencia debería significar ocho giros de $45^\circ$... que es una vuelta completa. En esta sección verás por qué funciona esta idea y cómo facilita los productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos.
Módulo y argumento
Un punto del plano se puede describir con dos distancias, $(a, b)$, o con una distancia y un ángulo. Esa segunda descripción se llama coordenadas polares. Aplícala al punto que representa a $z = a + bi$ en el plano complejo. La distancia y el ángulo reciben nombres especiales.
Una nota sobre la notación: también puedes ver $r\,\mathrm{cis}\,\theta$ (abreviatura de $r(\cos\theta + i\sin\theta)$) o un subíndice, como en $4_{120^\circ}$. Algunos problemas de práctica usan el subíndice. Significa exactamente lo mismo que $4\angle 120^\circ$. En esta página escribimos $r\angle\theta$.
Para pasar de $a + bi$ a la forma polar, primero halla $r$. Luego halla el ángulo con un ángulo de referencia, $\tan^{-1}\left|\dfrac{b}{a}\right|$, y colócalo en el cuadrante correcto.
| Cuadrante de $z$ | Signos de $a, b$ | Argumento $\theta$ |
|---|---|---|
| I | $+,\ +$ | ángulo de referencia |
| II | $-,\ +$ | $180^\circ - $ ángulo de referencia |
| III | $-,\ -$ | $180^\circ + $ ángulo de referencia |
| IV | $+,\ -$ | $360^\circ - $ ángulo de referencia |
Si $a = 0$, no dividas: $\theta = 90^\circ$ cuando $b > 0$ y $\theta = 270^\circ$ cuando $b < 0$. Si $a = b = 0$, entonces $r = 0$ y no hay argumento.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
De polar a rectangular: forma trigonométrica
Si conoces $r$ y $\theta$, puedes recuperar $a$ y $b$ con trigonometría del triángulo rectángulo. El cateto adyacente es $a = r\cos\theta$ y el cateto opuesto es $b = r\sin\theta$. Algunos problemas llaman forma cartesiana a la forma $a + bi$. Nosotros la llamaremos forma rectangular.
Arrastra el punto y observa el cuadrante y los signos de $a$ y $b$. Estos valores exactos te ayudarán con las conversiones:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
Para los demás cuadrantes, usa el ángulo de referencia y corrige los signos.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Conjugado, opuesto y ángulos iguales
En forma rectangular, el conjugado cambia el signo de $b$, y el opuesto cambia los signos de $a$ y de $b$. En forma polar ambos cambios se ven en el ángulo. El conjugado refleja el punto respecto al eje real. El opuesto lo gira media vuelta.
Los ángulos solo están definidos salvo vueltas completas, así que dos formas polares nombran el mismo número cuando el módulo coincide y los ángulos difieren en un múltiplo de $360^\circ$.
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y…
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y $360^\circ$.
Multiplicar y dividir en forma polar
Aquí es donde la forma polar da resultados. La multiplicación rectangular necesita FOIL, y la división necesita el conjugado. En forma polar se multiplican los módulos y se suman los ángulos.
¿Por qué funciona? Multiplica las formas trigonométricas y usa las fórmulas de suma de ángulos:
$$r_1 r_2(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = r_1 r_2\left[(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + i(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2)\right]$$El primer corchete es $\cos(\theta_1 + \theta_2)$ y el segundo es $\sin(\theta_1 + \theta_2)$.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
Rotaciones, recíprocos y aplicaciones
La regla del producto tiene un significado geométrico. Multiplicar por $w = s\angle\varphi$ escala el vector por $s$ y lo gira $\varphi$ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si $s = 1$, no hay escalamiento, así que multiplicar por $1\angle\varphi$ es una rotación pura de $\varphi$ alrededor del origen. Por ejemplo, $i = 1\angle 90^\circ$, así que multiplicar por $i$ es un cuarto de vuelta.
El recíproco (inverso multiplicativo) de $z = r\angle\theta$ debe cumplir $z \cdot \dfrac1z = 1 = 1\angle 0^\circ$. Entonces se invierte el módulo y se cambia el signo del ángulo:
$$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\angle(-\theta)$$Los ingenieros usan esto todo el tiempo. En un circuito de corriente alterna, el voltaje $V$ y la impedancia $Z$ son números complejos, y la corriente es $I = V/Z$. Se dividen los módulos y se restan los ángulos. En un videojuego, la rotación de la posición de un personaje es simplemente una multiplicación por un número complejo de módulo 1.
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de…
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de Ohm para corriente alterna establece que la intensidad es $I = \frac{V}{Z}$. Calcula la intensidad $I$ en forma polar y exprésala posteriormente en forma binómica.
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de…
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de $60^\circ$ en sentido antihorario multiplicando su posición por el complejo $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nueva posición del personaje en forma binómica.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Potencias y teorema de De Moivre
Una potencia es solo una multiplicación repetida: cada factor multiplica el módulo por $r$ y suma $\theta$ al ángulo.
Cada potencia gira otros $40^\circ$ y, como $r > 1$, se aleja más del origen.
Volvamos al principio: $1 + i = \sqrt2\angle 45^\circ$, así que $(1+i)^8 = (\sqrt2)^8\angle(8 \cdot 45^\circ) = 16\angle 360^\circ = 16$. Ocho giros de $45^\circ$ forman una vuelta completa, y el módulo crece hasta $16$.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la…
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la segunda es $z_2 = 2_{135^\circ}$, halla en forma trigonométrica el resultado de $z_1 \cdot z_2^2$.
Más usos del teorema de De Moivre
El teorema de De Moivre sirve para más que calcular potencias. También produce identidades trigonométricas y te permite manejar exponentes enormes.
Identidades. Toma $r = 1$. Entonces $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$. Desarrolla el lado izquierdo con el teorema del binomio y compara las partes real e imaginaria de ambos lados.
Exponentes grandes. Si $|z| = 1$, las potencias de $z$ solo recorren la circunferencia unitaria y se repiten. Solo necesitas el residuo del exponente.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ y $\sin(3\alpha)$ en función de $\cos \alpha$ y $\sin \alpha$.
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión…
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.
Raíces de un número complejo
Calcular una raíz $n$-ésima es el teorema de De Moivre al revés. Si $w = s\angle\varphi$ y $w^n = r\angle\theta$, entonces $s^n = r$ y $n\varphi = \theta + 360^\circ k$ para algún entero $k$. Despeja $s$ y $\varphi$.
¿Por qué solo $k = 0, \ldots, n-1$? Pasar de $k$ a $k + n$ suma $\dfrac{360^\circ n}{n} = 360^\circ$ al ángulo, que es una vuelta completa, así que las raíces empiezan a repetirse.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano…
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano complejo.
Resolver ecuaciones con potencias y raíces
Dos ideas se combinan para resolver muchas ecuaciones. Usa una sustitución para que la ecuación quede como $z^n = w$. Luego usa la fórmula de las raíces.
También puedes hallar dos números desconocidos a partir de un cociente y un producto. Multiplica las dos ecuaciones dadas para obtener $z_1^2$ y luego calcula una raíz cuadrada.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa…
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa ambos números en forma polar.
Raíces como polígonos
Las raíces de $z^n = W$ son los vértices de un $n$-ágono regular con centro en el origen. Esto da una forma geométrica de responder preguntas sobre perímetro, área y sumas.
¿Por qué la suma es cero? Sea $S$ la suma de las raíces y sea $\omega = 1\angle\dfrac{360^\circ}{n}$. Multiplicar cada raíz por $\omega$ gira el polígono sobre sí mismo, así que solo reordena las raíces. Por lo tanto $\omega S = S$. Como $\omega \ne 1$, esto obliga a que $S = 0$.
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del…
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del hexágono es el afijo del número $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina el valor del número complejo $W$ en forma binómica y calcula el área exacta del hexágono.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a…
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a los afijos de las raíces quintas del número complejo $z = 100000_{0^\circ}$. Demuestra matemáticamente, utilizando las propiedades de los números complejos en forma polar, que la fuerza resultante es nula.
Suma de números complejos y condiciones sobre el argumento
La forma polar es excelente para productos y potencias, pero no tiene una regla sencilla para las sumas. Para sumar dos números dados en forma polar, convierte ambos a forma rectangular, suma las partes reales e imaginarias y, si hace falta, vuelve a convertir.
La misma idea ayuda cuando un problema impone una condición sobre el argumento. Primero pon el número en la forma $a + bi$. Luego usa que $\tan\theta = \dfrac{b}{a}$, y verifica que $a$ y $b$ tengan los signos que corresponden al cuadrante.
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento,…
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento, $z_2$, tiene una longitud de $3$ unidades y está rotado $45^\circ$ en sentido antihorario respecto a la dirección de $z_1$. Calcula la posición final del extremo del brazo robótico (es decir, $z_1 + z_2$) en forma binómica, redondeando a dos decimales.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 - i}$ sea de $45^\circ$.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 - i}$ sea de $45^\circ$.