Exponentes racionales y radicales
Emma está colocando un patio cuadrado con un área de $50$ ft². Su calculadora dice que cada lado mide $7.0710678\ldots$ ft. Ese número está redondeado y nunca termina. ¿Cuál es la longitud exacta del lado y cómo puedes trabajar con ella sin calculadora? La respuesta está en ver la raíz como lo que realmente es: una potencia cuyo exponente es una fracción.
Las raíces como potencias
¿Por qué una raíz sería una potencia? Toma la regla $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ y aplícala a $a^{1/2}$:
$$a^{1/2} \cdot a^{1/2} = a^{1/2 + 1/2} = a^1 = a$$Un número que multiplicado por sí mismo da $a$ es exactamente $\sqrt{a}$. Entonces $a^{1/2}$ tiene que ser $\sqrt{a}$ para que las reglas de los exponentes sigan funcionando. La misma idea sirve para raíces cúbicas, raíces cuartas, etc.
En esta página, toda variable bajo una raíz de índice par representa un número positivo. (Si no, $\sqrt{x^2} = |x|$, no solo $x$.)
Exprese como radical las siguientes potencias de exponente fraccionario y calcule su valor exacto si es un número entero: a) $27^{\frac{1}{3}}$ b) $16^{\frac{3}{4}}$ c)…
Exprese como radical las siguientes potencias de exponente fraccionario y calcule su valor exacto si es un número entero:
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a) $27^{\frac{1}{3}}$
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b) $16^{\frac{3}{4}}$
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c) $5^{\frac{2}{3}}$
Escriba en forma de potencia de exponente fraccionario los siguientes radicales y simplifique la fracción del exponente: a) $\sqrt[6]{x^2}$ b) $\sqrt[15]{a^5}$ c)…
Escriba en forma de potencia de exponente fraccionario los siguientes radicales y simplifique la fracción del exponente:
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a) $\sqrt[6]{x^2}$
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b) $\sqrt[15]{a^5}$
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c) $\sqrt[8]{2^6}$
Simplificar radicales
Un radical está en forma simplificada cuando ningún factor del radicando es una potencia $n$-ésima perfecta. A sacar un factor de un radical se le llama extraer factores, y a lo contrario, introducirlos. Ambos procesos son solo reglas de exponentes disfrazadas.
Para sacar factores, busca la mayor potencia perfecta que divida al radicando. Conviene conocer estas:
| Índice | Potencias perfectas |
|---|---|
| 2 (cuadrados) | 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 |
| 3 (cubos) | 8, 27, 64, 125 |
| 4 (cuartas potencias) | 16, 81, 256 |
Un cuadrado de área $A$ tiene lado $\sqrt{A}$ y su perímetro es $4\sqrt{A}$.
Volvamos al patio: el lado mide $\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}$ ft, unos $7.07$ ft, y el borde que lo rodea mide $4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ ft.
Extraiga todos los factores posibles del interior de los siguientes radicales: a) $\sqrt{50}$ b) $\sqrt[3]{16}$ c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$
Extraiga todos los factores posibles del interior de los siguientes radicales:
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a) $\sqrt{50}$
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b) $\sqrt[3]{16}$
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c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$
Introduzca los factores dentro del radical y simplifique la expresión resultante si es posible: a) $3 \sqrt{2}$ b) $x^2 \sqrt[3]{x}$ c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, con $a \ge 0$
Introduzca los factores dentro del radical y simplifique la expresión resultante si es posible:
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a) $3 \sqrt{2}$
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b) $x^2 \sqrt[3]{x}$
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c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, con $a \ge 0$
Una cooperativa agrícola quiere cercar un terreno con forma de cuadrado cuya área total es de $1250 \text{ m}^2$. Calcule la longitud exacta del lado del terreno…
Una cooperativa agrícola quiere cercar un terreno con forma de cuadrado cuya área total es de $1250 \text{ m}^2$. Calcule la longitud exacta del lado del terreno extrayendo factores del radical y determine cuántos pies de cerca necesitarán en total, dejando el resultado en su forma radical más simple.
Suma y resta de radicales
Los radicales se suman como las variables. $4x + 2x = 6x$, y del mismo modo
$$4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$Estos son radicales semejantes: mismo índice y mismo radicando. Se suman los coeficientes y se conserva el radical. Pero $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ no se puede combinar, igual que $x + y$ tampoco.
Radicales que se ven distintos pueden volverse semejantes al simplificarlos. Por eso, simplifica primero.
Un arquitecto paisajista está diseñando una zona verde con forma de triángulo escaleno y necesita calcular su perímetro para encargar una valla. Los planos indican que…
Un arquitecto paisajista está diseñando una zona verde con forma de triángulo escaleno y necesita calcular su perímetro para encargar una valla. Los planos indican que los lados miden $\sqrt{48}$ pies, $\sqrt{75}$ pies y $\sqrt{12}$ pies. Simplifique los radicales extrayendo factores y calcule el perímetro exacto expresado como un único radical.
En navegación marítima, la distancia $d$ (en millas) a la que se encuentra el horizonte visible para un observador situado a una altura $h$ (en pies) sobre el nivel del…
En navegación marítima, la distancia $d$ (en millas) a la que se encuentra el horizonte visible para un observador situado a una altura $h$ (en pies) sobre el nivel del mar se aproxima mediante la fórmula $d = \sqrt{13h}$. Dos observadores se encuentran en diferentes puntos de un acantilado a alturas $h_1 = 52$ pies y $h_2 = 117$ pies respectivamente. Calcule la diferencia exacta de sus distancias al horizonte visible, simplificando la expresión $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ mediante la extracción de factores.
Multiplicación, división y potencias de radicales (mismo índice)
Cuando dos radicales tienen el mismo índice, puedes combinarlos bajo una sola raíz. Para elevar un radical a una potencia, mete la potencia dentro.
La forma simplificada también exige que no haya radicales en el denominador. Eliminarlos así se llama racionalizar el denominador.
Realice los siguientes productos de radicales del mismo índice y extraiga factores del resultado si es posible: a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ b)…
Realice los siguientes productos de radicales del mismo índice y extraiga factores del resultado si es posible:
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a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$
-
b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$
Calcule y simplifique el resultado de las siguientes divisiones de radicales: a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$
Calcule y simplifique el resultado de las siguientes divisiones de radicales:
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a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$
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b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$
Calcule las siguientes potencias de radicales, introduciendo el exponente en el radicando y expresando el resultado de la forma más sencilla posible: a)…
Calcule las siguientes potencias de radicales, introduciendo el exponente en el radicando y expresando el resultado de la forma más sencilla posible:
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a) $(\sqrt[3]{5})^6$
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b) $(\sqrt{x^3})^4$
Radicales con índices distintos
Si los índices son distintos, no puedes juntar los radicandos sin más. Primero escribe ambos radicales como potencias y pon los exponentes con un denominador común. Ese denominador es el índice común, el mcm de los índices.
Para la fabricación de tres componentes electrónicos se requieren láminas protectoras cuyos grosores, medidos en pulgadas, vienen dados por las expresiones…
Para la fabricación de tres componentes electrónicos se requieren láminas protectoras cuyos grosores, medidos en pulgadas, vienen dados por las expresiones $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ y $C = \sqrt[6]{24}$. Reduzca los radicales a índice común para ordenar los grosores de las láminas de menor a mayor.
Efectúe las siguientes operaciones reduciendo previamente a índice común y extraiga los factores posibles del resultado final: a)…
Efectúe las siguientes operaciones reduciendo previamente a índice común y extraiga los factores posibles del resultado final:
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a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{8}$
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b) $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[6]{3}}$
Raíces de raíces
Sacar la raíz de una raíz significa elevar a una potencia dos veces. Eso es una potencia de una potencia, así que los exponentes se multiplican.
Exprese como un único radical utilizando la propiedad de la raíz de una raíz y simplifique el índice si se puede: a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$ b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$
Exprese como un único radical utilizando la propiedad de la raíz de una raíz y simplifique el índice si se puede:
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a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
-
b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$
Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados introduciendo progresivamente los factores en los radicales más internos y expresando el resultado final como…
Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados introduciendo progresivamente los factores en los radicales más internos y expresando el resultado final como una sola raíz:
$$ \sqrt{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}} $$Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados, reduciendo a un único índice común y extrayendo los factores que sean posibles fuera de la raíz resultante: $$…
Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados, reduciendo a un único índice común y extrayendo los factores que sean posibles fuera de la raíz resultante:
$$ \sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2 \cdot b \cdot \sqrt[4]{b^3}}} $$Reglas de los exponentes con exponentes racionales
Todas las reglas de los exponentes que conoces siguen valiendo cuando los exponentes son fracciones. Por eso los exponentes racionales son tan útiles: no necesitas reglas especiales para radicales.
| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Producto | $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ |
| Cociente | $\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$ |
| Potencia de una potencia | $\left(a^p\right)^q = a^{pq}$ |
| Potencia de un producto | $(ab)^p = a^p b^p$ |
| Exponente negativo | $a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}$ |
Mueve el control deslizante y observa $y = x^p$. Para $p = \tfrac12$ es una raíz cuadrada, y para $p = 3$ es un cubo.
Opere utilizando las propiedades de las potencias fraccionarias y exprese el resultado final en forma de raíz simplificada: $$ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot…
Opere utilizando las propiedades de las potencias fraccionarias y exprese el resultado final en forma de raíz simplificada:
$$ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{x^{\frac{1}{4}}} $$Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, asumiendo que $a$ y $b$ son números reales positivos. Exprese el resultado final empleando notación radical, sin…
Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, asumiendo que $a$ y $b$ son números reales positivos. Exprese el resultado final empleando notación radical, sin dejar exponentes negativos ni fraccionarios en la solución:
$$ \left( \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot b} \cdot \sqrt[3]{a \cdot b^2}}{\sqrt[12]{a^5 \cdot b^7}} \right)^{-2} $$Encuentre el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación, transformando previamente todas las expresiones a potencias de base $2$ con exponentes racionales: $$…
Encuentre el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación, transformando previamente todas las expresiones a potencias de base $2$ con exponentes racionales:
$$ \sqrt[3]{16} \cdot 2^x = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt[4]{2}} $$Exprese la solución final en forma de fracción irreducible.
Crecimiento y tiempo fraccionario
Los modelos exponenciales como $N(t) = N_0 \cdot b^{t}$ no funcionan solo con números enteros de horas o años. Con exponentes fraccionarios puedes hallar el valor exacto después de cualquier fracción de un periodo.
En un laboratorio de biología, el número de bacterias de un determinado cultivo sigue la expresión $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, donde $t$ es el tiempo…
En un laboratorio de biología, el número de bacterias de un determinado cultivo sigue la expresión $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. Exprese esta fórmula utilizando radicales y calcule el número exacto de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido $2$ horas.
El capital final $C_f$ obtenido al invertir un capital inicial $C_0$ a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno) durante $t$ años viene dado…
El capital final $C_f$ obtenido al invertir un capital inicial $C_0$ a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno) durante $t$ años viene dado por la fórmula $C_f = C_0 (1+r)^t$. Una empresa invierte $\$10000$ a un interés del $21$ % anual ($r = 0,21$). Usando potencias de exponente fraccionario, calcule de forma exacta el capital acumulado al cabo de $1$ año y $4$ meses (lo que equivale a $t = \frac{4}{3}$ de año). Sabiendo que $1,21 = 1,1^2$, simplifique el resultado extrayendo los factores posibles del radical.
Fórmulas de geometría y física
Muchas fórmulas de geometría y ciencias contienen una raíz cuadrada o una potencia $\tfrac32$. Las respuestas exactas conservan los radicales, y las propiedades anteriores son la manera de simplificarlos.
La diagonal de un cubo une dos vértices opuestos. El teorema de Pitágoras da la diagonal de una cara, $\sqrt{s^2 + s^2} = s\sqrt{2}$. Al usarlo de nuevo con la arista vertical se obtiene $d = \sqrt{2s^2 + s^2} = s\sqrt{3}$.
El periodo $T$ (en segundos) que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa se calcula con la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la…
El periodo $T$ (en segundos) que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa se calcula con la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda en pies y $g$ es la aceleración de la gravedad (tomaremos $g = 10 \text{ m/s}^2$). Si un péndulo de un museo tiene una longitud $L = 12$ pies, calcule su periodo exacto simplificando el radical al máximo y dejándolo en función de $\pi$.
La diagonal principal de un depósito cúbico de almacenamiento de agua (la línea recta que une dos vértices opuestos pasando por el centro del cubo) mide exactamente…
La diagonal principal de un depósito cúbico de almacenamiento de agua (la línea recta que une dos vértices opuestos pasando por el centro del cubo) mide exactamente $\sqrt{108}$ pies. Calcule la longitud de la arista del cubo de forma exacta y, a partir de ella, determine la capacidad del depósito en pies cúbicos. Exprese todos los resultados simplificando los radicales.
La tercera ley de Kepler relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con el radio medio de su órbita $r$ mediante la expresión…
La tercera ley de Kepler relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con el radio medio de su órbita $r$ mediante la expresión $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Si para un sistema estelar ficticio la constante es $k = 4 \cdot 10^{-6}$ y un planeta orbita a un radio medio $r = 25 \cdot 10^4$ millas, calcule el periodo orbital exacto utilizando las propiedades de las potencias de exponente racional y los radicales.