"Resolución de triángulos no rectángulos: ley de los senos y ley de los cosenos"

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ pulgadas y $b = 8$ pulgadas, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.

Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ pies, $b = 5$ pies y $c = 7$ pies. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.

En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ pulgadas, halla la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).

En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ pies y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.

En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ pies, $b = 8$ pies y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.

En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ pulgadas y el segundo mide $35$ pulgadas. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcula las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.

Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ pulgadas, $c = 20$ pulgadas y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.

En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ pulgadas, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ pulgadas$^2$. Plantea un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigua la medida de los ángulos $A$ y $C$.

En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ pulgadas y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ pulgadas, $b=14$ pulgadas y $c=15$ pulgadas, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtén los valores exactos de $R$ y $r$.

Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcula la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.

Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ pulgadas (el minutero) y $8$ pulgadas (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en pulgadas que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Ten en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.

Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el norte a una velocidad constante de $800$ mph. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ millas exactas al noreste ($45^\circ$ respecto al norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determina el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.

Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ pies en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcula la altura del aerogenerador.

Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ millas entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcula la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.

Un panel solar de $2$ pies de longitud se va a instalar sobre un techo plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, el panel debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcula la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior del panel para unirlo con el techo.

Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ pulgadas y $10$ pulgadas, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.

Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ pies, $BC = 40$ pies, $CD = 30$ pies y $DA = 60$ pies. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcula el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.

Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ pulgadas de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcula el perímetro y el área de dicho heptágono.

Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halla la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.

Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ pulgadas. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, halla el valor exacto de $x$ y calcula el perímetro del triángulo.

Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utiliza esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ pulgadas, $b = 5$ pulgadas y $c = 8$ pulgadas. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcula la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).

Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ pies. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantea la geometría de la sección transversal adecuada y calcula la altura total de la pirámide.