Logaritmos
Un video que publicaste recibe el doble de vistas cada día, empezando con 1 vista. ¿Cuándo llega a 8 vistas? Puedes resolver $2^x = 8$ mentalmente: $x = 3$ días. Pero ¿cuándo llega a 10 vistas? Ningún número entero sirve, porque 10 está entre $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$. Necesitas una operación que pregunte: "¿2 elevado a qué potencia da 10?". Esa operación es el logaritmo. Aparece siempre que algo crece o decrece multiplicándose: cuentas de ahorros, terremotos, sonido, acidez y desintegración radiactiva.
¿Qué es un logaritmo?
Dos bases tienen nombre especial. El logaritmo común tiene base 10 y se escribe sin la base: $\log x = \log_{10} x$. El logaritmo natural tiene base $e$ y se escribe $\ln x$. Verás $\ln$ más adelante en esta página.
Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición: $\log_2 64$ $\log_3 \frac{1}{9}$ $\log_{10} 0,001$ $\log_5 \sqrt{5}$
Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición:
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$\log_2 64$
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$\log_3 \frac{1}{9}$
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$\log_{10} 0,001$
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$\log_5 \sqrt{5}$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada caso utilizando la definición de logaritmo: $\log_x 81 = 4$ $\log_2 x = 5$ $\log_7 x = -2$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada caso utilizando la definición de logaritmo:
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$\log_x 81 = 4$
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$\log_2 x = 5$
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$\log_7 x = -2$
La gráfica de un logaritmo
Como $\log_b a = c$ significa $b^c = a$, las funciones $y = \log_b x$ y $y = b^x$ son funciones inversas. Intercambiar entradas y salidas refleja la gráfica sobre la recta $y = x$.
El punto $(0, 1)$ de la exponencial se convierte en $(1, 0)$ en el logaritmo, y $(1, 2)$ se convierte en $(2, 1)$. Cada punto intercambia sus coordenadas.
Pruébalo con el control deslizante. Una base mayor hace que $y = b^x$ suba más rápido y que su logaritmo inverso suba más despacio.
Cómo leer una escala logarítmica
Algunas gráficas tienen un eje vertical logarítmico: las marcas son $10^1, 10^2, 10^3, \dots$, espaciadas por igual, así que cada paso hacia arriba multiplica por 10. En una gráfica así, una línea recta significa crecimiento exponencial.
El siguiente gráfico representa el crecimiento poblacional de dos colonias de bacterias, A y B, en un laboratorio. La escala del eje vertical (que indica el número de…
El siguiente gráfico representa el crecimiento poblacional de dos colonias de bacterias, A y B, en un laboratorio. La escala del eje vertical (que indica el número de bacterias $N(t)$) es logarítmica en base 10, mientras que el eje horizontal (tiempo en horas) es de escala lineal. Observando la recta que describe el comportamiento de la colonia A, halla su función exponencial asociada $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, sabiendo que pasa exactamente por los puntos $(0, 10^2)$ y $(4, 10^4)$. ¿En qué instante $t$ la colonia A alcanzará exactamente el millón de bacterias ($10^6$)?
Propiedades de los logaritmos
Los logaritmos son exponentes, y las reglas de los exponentes convierten la multiplicación en suma. Observa que $\log(100 \cdot 1000) = \log(100{,}000) = 5$, y también $\log 100 + \log 1000 = 2 + 3 = 5$. No es casualidad.
También puedes usar $\log 10 = 1$ para construir números como 5, 25 o 0.02 a partir de un solo logaritmo conocido.
Sabiendo que $\log 2 \approx 0,301$ y $\log 3 \approx 0,477$, calcula el valor numérico aproximado de $\log 6$ y $\log 1,5$ utilizando las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que $\log 2 \approx 0,301$ y $\log 3 \approx 0,477$, calcula el valor numérico aproximado de $\log 6$ y $\log 1,5$ utilizando las propiedades de los logaritmos.
Reduce a un solo logaritmo la siguiente expresión matemática y calcula su valor numérico: $\log 5 + \log 20 - \log 10$
Reduce a un solo logaritmo la siguiente expresión matemática y calcula su valor numérico:
$\log 5 + \log 20 - \log 10$
Sabiendo exclusivamente que $\log 2 \approx 0,301$, calcula el valor aproximado de $\log 25$ y de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sin introducir la operación directa en la…
Sabiendo exclusivamente que $\log 2 \approx 0,301$, calcula el valor aproximado de $\log 25$ y de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sin introducir la operación directa en la calculadora, apoyándote solo en las propiedades de los logaritmos.
Expandir y condensar logaritmos
Las tres reglas funcionan en ambos sentidos.
| Dirección | Qué haces | Ejemplo |
|---|---|---|
| Expandir | Separar un logaritmo en varios | $\log\frac{x^2}{y} = 2\log x - \log y$ |
| Condensar | Combinar varios logaritmos en uno | $\log x + \log y = \log(xy)$ |
Aplica las propiedades de los logaritmos a la inversa para expresar la siguiente combinación como un único logaritmo: $3 \log x + \frac{1}{2} \log y$
Aplica las propiedades de los logaritmos a la inversa para expresar la siguiente combinación como un único logaritmo:
$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$
Desarrolla la siguiente expresión logarítmica aplicando todas las propiedades posibles, de manera que quede expresada en función de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:…
Desarrolla la siguiente expresión logarítmica aplicando todas las propiedades posibles, de manera que quede expresada en función de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:
$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$
Agrupa la siguiente expresión algebraica en un único logaritmo, aplicando las propiedades correspondientes: $2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$
Agrupa la siguiente expresión algebraica en un único logaritmo, aplicando las propiedades correspondientes:
$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$
Cambio de base
Tu calculadora solo tiene dos teclas de logaritmo: $\log$ (base 10) y $\ln$ (base $e$). Para evaluar un logaritmo en cualquier otra base, lo conviertes.
Hay un caso especial que conviene conocer. Si cambias $\log_a b$ a base $b$, obtienes $\log_a b = \dfrac{\log_b b}{\log_b a} = \dfrac{1}{\log_b a}$.
Utiliza la fórmula del cambio de base para calcular el valor de $\log_5 120$ empleando únicamente la tecla del logaritmo decimal ($\log$) o neperiano ($\ln$) de tu…
Utiliza la fórmula del cambio de base para calcular el valor de $\log_5 120$ empleando únicamente la tecla del logaritmo decimal ($\log$) o neperiano ($\ln$) de tu calculadora. Redondea el resultado a tres cifras decimales.
Simplifica la siguiente expresión logarítmica combinada y calcula su valor numérico exacto sin utilizar la calculadora:…
Simplifica la siguiente expresión logarítmica combinada y calcula su valor numérico exacto sin utilizar la calculadora:
$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$
Demuestra, utilizando la fórmula del cambio de base y las propiedades fundamentales de los logaritmos, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ para cualesquiera números…
Demuestra, utilizando la fórmula del cambio de base y las propiedades fundamentales de los logaritmos, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ para cualesquiera números $a, b > 0$ y distintos de $1$. Una vez demostrado, aplica este resultado para calcular mentalmente el valor de $\log_8 2$ sabiendo previamente que $\log_2 8 = 3$.
Resolver ecuaciones exponenciales
Si la incógnita está en un exponente y los dos lados no se pueden escribir con la misma base, aplica un logaritmo a ambos lados. La regla de la potencia baja el exponente a donde puedes alcanzarlo.
Las situaciones reales llevan a estas ecuaciones. En los modelos exponenciales, la cantidad en el tiempo $t$ es la cantidad inicial por un factor de crecimiento elevado a la $t$.
Calcula el valor de $x$ en la ecuación exponencial $3^x = 45$. Expresa el resultado final redondeado a las centésimas (puedes hacer uso de la calculadora para el paso…
Calcula el valor de $x$ en la ecuación exponencial $3^x = 45$. Expresa el resultado final redondeado a las centésimas (puedes hacer uso de la calculadora para el paso final).
Una población de bacterias se duplica cada hora que pasa. Si inicialmente hay $1500$ bacterias, la cantidad de bacterias al cabo de $t$ horas viene dada por la función…
Una población de bacterias se duplica cada hora que pasa. Si inicialmente hay $1500$ bacterias, la cantidad de bacterias al cabo de $t$ horas viene dada por la función $P(t) = 1500 \cdot 2^t$. ¿Cuánto tiempo exacto debe pasar para que la población alcance la cifra de $100000$ bacterias?
Resuelve la ecuación exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ tomando logaritmos decimales en ambos miembros y despejando la incógnita $x$. Expresa el resultado final redondeado…
Resuelve la ecuación exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ tomando logaritmos decimales en ambos miembros y despejando la incógnita $x$. Expresa el resultado final redondeado a las milésimas.
Resolver ecuaciones logarítmicas
Si la incógnita está dentro de un logaritmo, deshaz el logaritmo reescribiendo la ecuación en forma exponencial. Si hay varios logaritmos, primero condénsalos en uno.
Para un sistema, trata $\log x$ y $\log y$ como las incógnitas y usa eliminación.
Resuelve la ecuación logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicando la definición de logaritmo para despejar la incógnita $x$.
Resuelve la ecuación logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicando la definición de logaritmo para despejar la incógnita $x$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$: $$ \begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$:
$$ \begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases} $$Modelos de crecimiento y decrecimiento
El dinero en una cuenta de ahorros, un celular que pierde valor y los seguidores de una cuenta viral siguen $y = a \cdot b^t$. La base $b$ es el factor de crecimiento por período. Si algo crece $r\%$ por período, $b = 1 + r$ (como decimal). Si decrece $r\%$, $b = 1 - r$.
Para interés compuesto una vez al año, $A = P(1 + r)^t$, donde $P$ es el capital inicial. En general, $A = P\left(1 + \tfrac{r}{n}\right)^{nt}$ para $n$ capitalizaciones por año.
Un capital de $\$5000$ se deposita en un banco a un interés compuesto del $3,5\,\%…
Un capital de $\$5000$ se deposita en un banco a un interés compuesto del $3,5\,\%$ anual. ¿Cuántos años completos deben transcurrir para que el capital acumulado supere los $\$7000$?
Recuerda que la fórmula del capital final es $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.
Un vehículo nuevo tiene un costo inicial de $\$24000$. Debido al desgaste del mercado, cada año su valor se deprecia un $12\,\%…
Un vehículo nuevo tiene un costo inicial de $\$24000$. Debido al desgaste del mercado, cada año su valor se deprecia un $12\,\%$. La función que describe su valor residual al cabo de $t$ años es $V(t) = 24000 \cdot (0,88)^t$. ¿Cuántos años deben pasar para que el valor del carro se reduzca exactamente a la mitad de su precio original?
En una conocida red social, el número de seguidores de una cuenta de contenido viral crece siguiendo un modelo exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, donde $t$ se mide en…
En una conocida red social, el número de seguidores de una cuenta de contenido viral crece siguiendo un modelo exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, donde $t$ se mide en días. Se sabe que el día inicial ($t = 0$) la cuenta tenía $200$ seguidores y el día $5$ alcanzó los $6400$ seguidores. Calcula primero el valor exacto de la constante de crecimiento $k$. A continuación, determina en qué día exacto superará la barrera del millón de seguidores.
Logaritmos naturales y la base $e$
La ciencia y el cálculo usan una base especial: el número irracional $e \approx 2.71828$. Su logaritmo es el logaritmo natural, $\ln x = \log_e x$. Todo lo que sabes de logaritmos sigue valiendo, con base $e$.
El crecimiento y el decrecimiento continuos usan $N(t) = N_0 e^{kt}$, con $k > 0$ para crecimiento y $k < 0$ para decrecimiento. Para sacar $t$ del exponente, aplica $\ln$ a ambos lados.
La cantidad de Carbono-14 ($C-14$) en un resto arqueológico orgánico sigue la ley de desintegración radiactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde la constante de…
La cantidad de Carbono-14 ($C-14$) en un resto arqueológico orgánico sigue la ley de desintegración radiactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde la constante de desintegración es $\lambda \approx 0,0001209$ y $t$ es el tiempo transcurrido en años. Si en un fragmento de hueso prehistórico se detecta mediante análisis de laboratorio que solo queda un $30\,\%$ de su cantidad original de $C-14$ (es decir, $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), ¿cuál es la antigüedad estimada del hueso?
Escalas logarítmicas en el mundo real
Algunas cantidades van desde lo diminuto hasta lo gigantesco. Una escala logarítmica las comprime en números pequeños: cada paso hacia arriba en la escala multiplica la cantidad real por un factor fijo, normalmente 10.
El pH de una disolución química se define mediante la fórmula $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno medida en mol/L. Si una…
El pH de una disolución química se define mediante la fórmula $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno medida en mol/L. Si una muestra de jugo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno de $10^{-3}$ mol/L, ¿cuál es el valor de su pH?
La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas…
La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas sísmicas y $A_0$ es una amplitud de referencia estándar. Si un terremoto concreto registra una amplitud $1000$ veces mayor que $A_0$, ¿cuál es su magnitud en la escala de Richter? Además, determina cuántas veces mayor es la amplitud de un terremoto de magnitud $6$ respecto a uno de magnitud $4$.
El nivel de intensidad sonora, medido en decibelios (dB), se calcula con la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad…
El nivel de intensidad sonora, medido en decibelios (dB), se calcula con la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ representa el umbral mínimo de audición humana. Si el ruido del tráfico intenso en una avenida registra un nivel de $85$ dB, ¿cuál es su intensidad acústica $I$? Si un taladro de construcción emite con el doble de intensidad acústica que dicho tráfico, ¿cuántos decibelios exactos registrará el sonómetro?
De vuelta al principio: tu video duplica sus vistas cada día, así que necesitas $2^x = 10$. Aplica logaritmos: $x\log 2 = \log 10 = 1$, así que $x = \dfrac{1}{\log 2} \approx \dfrac{1}{0.301} \approx 3.32$ días. Eso está entre 3 y 4, tal como habíamos predicho.