Desigualdades lineales con una variable
Emma quiere unos tenis que cuestan $\$120$. Tiene $\$45$ y ahorra $\$15$ cada semana. ¿Después de cuántas semanas podrá comprarlos? En la vida real casi nunca se pide "exactamente $\$120$". Se pide al menos, a lo sumo, más barato que. De eso se encarga una desigualdad (también llamada inecuación). Se resuelve casi como una ecuación, con una regla nueva que lo cambia todo: al multiplicar o dividir por un número negativo, el signo se invierte.
Soluciones y gráficas
Una ecuación como $x + 1 = 4$ tiene una sola solución. Una desigualdad como $x + 1 < 4$ tiene infinitas: $2$, $0$, $-7$, $2.9$, etc. Por eso describimos el conjunto solución con una gráfica o con notación de intervalos.
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Círculo abierto y paréntesis para $<$ o $>$: el extremo no se incluye.
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Círculo cerrado y corchete para $\le$ o $\ge$: el extremo sí se incluye.
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$\infty$ y $-\infty$ siempre llevan paréntesis, porque no son números que se puedan alcanzar.
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, compruebe cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, compruebe cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Resolver: operaciones inversas y la regla de inversión
Despejas $x$ con operaciones inversas, haciendo lo mismo en ambos lados. Sumar, restar, y multiplicar o dividir por un número positivo nunca cambian el sentido. Multiplicar o dividir por un número negativo sí lo cambia.
Resuelva la siguiente inecuación de primer grado: $3x - 5 < 2x + 4$
Resuelva la siguiente inecuación de primer grado:
$3x - 5 < 2x + 4$
Encuentre los valores de $x$ que satisfacen la inecuación: $4 - 3x > 10$
Encuentre los valores de $x$ que satisfacen la inecuación:
$4 - 3x > 10$
Simplifique y resuelva la inecuación lineal: $x + 2x + 3x < 12 + 2x$
Simplifique y resuelva la inecuación lineal:
$x + 2x + 3x < 12 + 2x$
Paréntesis y fracciones
Primero simplifica la desigualdad:
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Distribuye para quitar los paréntesis.
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Elimina las fracciones multiplicando cada término por el denominador común (el mcm de los denominadores). Es positivo, así que el signo no se invierte.
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Combina términos semejantes y luego despeja $x$ como antes.
Halle el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis: $2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Halle el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis:
$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Resuelva la siguiente inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Resuelva la siguiente inecuación con denominadores:
$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Resuelva la siguiente inecuación combinando el uso de paréntesis y denominadores: $\frac{2(x-1)}{3} - \frac{3x+1}{4} \le \frac{5-x}{6}$
Resuelva la siguiente inecuación combinando el uso de paréntesis y denominadores:
$\frac{2(x-1)}{3} - \frac{3x+1}{4} \le \frac{5-x}{6}$
Decimales y respuestas enteras
Los decimales son fracciones disfrazadas. Multiplica cada término por $10$ o $100$ (¡positivos!) para convertirlos en números enteros.
A veces un problema pide solo números enteros, como "el menor entero $x$ tal que…". Resuelve primero y luego elige el entero adecuado del conjunto solución. Nunca redondees.
Resuelva la siguiente inecuación operando previamente con los números decimales: $0.5(x - 2) + 0.25x \ge 1.5x - 0.75$
Resuelva la siguiente inecuación operando previamente con los números decimales:
$0.5(x - 2) + 0.25x \ge 1.5x - 0.75$
Determine el menor número entero $x$ que verifica la siguiente desigualdad: $5x + 7 > 22$
Determine el menor número entero $x$ que verifica la siguiente desigualdad:
$5x + 7 > 22$
Traducir palabras a desigualdades
Resolver es solo la mitad del trabajo. La otra mitad es leer el problema y escribir la desigualdad. Usa siempre los mismos cuatro pasos.
| Palabras | Símbolo |
|---|---|
| menos que, menor que, por debajo de | $<$ |
| a lo sumo, no más de, no puede exceder, máximo | $\le$ |
| mayor que, más que, excede, por encima de | $>$ |
| al menos, no menos de, mínimo | $\ge$ |
| entre 2 y 9 | $2 < x < 9$ |
Por ejemplo, "tres veces un número más $4$ es a lo sumo $25$" es $3n + 4 \le 25$.
Traduzca al lenguaje algebraico y resuelva: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades."
Traduzca al lenguaje algebraico y resuelva: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades."
En un rectángulo, se sabe que la base mide $5$ pulgadas más que la altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser estrictamente menor de $50$ pulgadas, ¿cuáles son los…
En un rectángulo, se sabe que la base mide $5$ pulgadas más que la altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser estrictamente menor de $50$ pulgadas, ¿cuáles son los posibles valores que puede tomar la medida de la altura?
Un elevador de carga tiene una capacidad máxima de $800$ libras. Un operario que pesa $75$ libras debe subir cajas de material de construcción que pesan $22$ libras cada…
Un elevador de carga tiene una capacidad máxima de $800$ libras. Un operario que pesa $75$ libras debe subir cajas de material de construcción que pesan $22$ libras cada una. Si el operario siempre debe acompañar a la carga en el elevador, plantee y resuelva una inecuación para determinar el número máximo de cajas enteras que puede transportar en un solo viaje.
Comparar planes: ¿cuál es más barato?
Para saber cuándo una opción supera a otra, escribe ambos costos como expresiones en la misma variable y plantea una desigualdad entre ellos.
En la gráfica, cada plan es una recta y la recta más baja es el plan más barato. Las rectas se cruzan en el punto de equilibrio, donde los costos son iguales. La solución de la desigualdad es el conjunto de valores donde la recta del gimnasio A está por debajo de la del gimnasio B, a la derecha del cruce.
Una empresa de renta de carros (Cía. A) cobra una tarifa fija de $\$30$ más $\$0.15$ por milla recorrida. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $\$15…
Una empresa de renta de carros (Cía. A) cobra una tarifa fija de $\$30$ más $\$0.15$ por milla recorrida. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $\$15$ fijos más $\$0.20$ por milla. Plantee una inecuación para averiguar a partir de cuántas millas resulta más barato rentar el carro en la Cía. A e interprete el resultado apoyándose en el siguiente gráfico.
Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $\$10$ al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $\$2$ por cada GB adicional. La…
Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $\$10$ al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $\$2$ por cada GB adicional. La Tarifa Plus cuesta $\$20$ al mes e incluye $5$ GB de datos, cobrando $\$1.5$ por cada GB adicional. Si un usuario sabe que siempre consume más de $5$ GB al mes, ¿cuántos gigabytes debe consumir como mínimo para que la Tarifa Plus le resulte estrictamente más económica que la Tarifa Plana?
Ganancias, promedios y fórmulas
Tres planteamientos aparecen una y otra vez.
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La ganancia es el ingreso menos el costo: $P = R - C$.
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La media de $n$ calificaciones es (suma de las calificaciones) $\div\, n$. Para alcanzar una media meta, pon la calificación desconocida en la suma.
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Una fórmula como $F = \frac95 C + 32$ o $d = 55t$ se convierte en una desigualdad cuando sustituyes el límite de una variable, como "$d \ge 220$", y despejas la otra.
La recta inclinada es la ganancia y la recta horizontal es la meta de $\$300$. La solución es donde la ganancia está en la meta o por encima de ella.
Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $\$500$ y producir cada funda cuesta $\$2$. Si cada funda se vende a $\$5…
Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $\$500$ y producir cada funda cuesta $\$2$. Si cada funda se vende a $\$5$, plantee una inecuación y determine cuántas fundas deben venderse como mínimo al mes para obtener una ganancia de al menos $\$1000$.
Un estudiante de 11.º grado ha obtenido las siguientes calificaciones en sus tres primeros exámenes de matemáticas: $6.5$, $7.0$ y $8.2$. ¿Qué calificación mínima debe…
Un estudiante de 11.º grado ha obtenido las siguientes calificaciones en sus tres primeros exámenes de matemáticas: $6.5$, $7.0$ y $8.2$. ¿Qué calificación mínima debe sacar en el cuarto examen para que su calificación promedio sea igual o superior a $7.5$?
La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantee una inecuación y resuélvala…
La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantee una inecuación y resuélvala para determinar a partir de qué temperatura en grados Celsius se superan los $86$ grados Fahrenheit.
Mezclas e inversiones
En estos problemas, lleva la cuenta de la cantidad de lo importante (ácido, anticongelante, interés) y del total. Cuando multiplicas por un total como $8 + x$, es positivo, así que el signo se queda.
En un laboratorio se disponen de $10$ galones de una disolución de ácido al $20\%$. Plantee una inecuación para calcular cuántos galones de ácido puro (al $100\%$) se…
En un laboratorio se disponen de $10$ galones de una disolución de ácido al $20\%$. Plantee una inecuación para calcular cuántos galones de ácido puro (al $100\%$) se deben añadir para que la concentración de la nueva mezcla sea al menos del $50\%$.
Un inversionista dispone de un capital de $\$20000$. Decide invertir una parte en un fondo de bajo riesgo que ofrece un $4\%…
Un inversionista dispone de un capital de $\$20000$. Decide invertir una parte en un fondo de bajo riesgo que ofrece un $4\%$ de rentabilidad anual, y el resto en un fondo tecnológico que ofrece un $6\%$ anual. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir en el fondo tecnológico para asegurarse de que los intereses totales generados al cabo de un año sean de al menos $\$1000$?
Desigualdades con un parámetro
Cuando una desigualdad contiene otra letra además de $x$ (un parámetro), no siempre puedes dividir entre su coeficiente. El signo del coeficiente decide el sentido, y el coeficiente podría ser $0$.
Los parámetros también aparecen al revés: "¿para qué valor del parámetro el conjunto solución es exactamente ...?" Resuelve en términos del parámetro y luego iguala el extremo.
Considere la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcule el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo…
Considere la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcule el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo $(8, \infty)$.
Determine el valor del parámetro $m$ para que el conjunto solución de la inecuación $\frac{mx - 1}{2} - \frac{x + m}{3} > 1$ sea exactamente el intervalo $(4, \infty)$.
Determine el valor del parámetro $m$ para que el conjunto solución de la inecuación
$\frac{mx - 1}{2} - \frac{x + m}{3} > 1$
sea exactamente el intervalo $(4, \infty)$.
Discuta y resuelva la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Discuta y resuelva la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Desigualdades literales y cómo justificar tu respuesta
En una desigualdad literal los coeficientes son letras, pero el problema te da sus signos (como $a > b > 0$). Usa esos datos para decidir si debes invertir el signo.
Para justificar un resultado de forma analítica, haz tres cosas:
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Escribe cada paso y la propiedad que usaste (por ejemplo, "multiplico por $6$, que es positivo, así que el signo se queda").
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Indica con claridad el conjunto solución.
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Comprueba un valor en el extremo, un valor dentro del conjunto y un valor fuera del conjunto.
Resuelva la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:…
Resuelva la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:
$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} \ge \frac{a^2 - b^2}{ab}$
Resuelva la siguiente inecuación y justifique analíticamente el resultado obtenido: $\frac{3(x+2)}{4} - \frac{x-1}{2} \ge \frac{x+5}{4} + 1$
Resuelva la siguiente inecuación y justifique analíticamente el resultado obtenido:
$\frac{3(x+2)}{4} - \frac{x-1}{2} \ge \frac{x+5}{4} + 1$
Volvamos al principio: Emma necesita $45 + 15w \ge 120$. Resta $45$ para obtener $15w \ge 75$ y divide entre $15$ para obtener $w \ge 5$. Podrá comprar los tenis después de $5$ semanas, con exactamente $\$120$ ahorrados.