Operaciones con números complejos en forma cartesiana
En un videojuego 2D, un personaje está en el punto $3 + i$ del plano complejo. El motor del juego multiplica ese número por $i$. ¿Dónde aterriza el personaje? Ya sabes qué es un número complejo $a + bi$. Ahora toca operar con ellos. La buena noticia: casi no hay reglas nuevas. Trata $a + bi$ como un binomio de Álgebra 1 y recuerda un dato extra, $i^2 = -1$.
Sumar y restar: reales con reales, imaginarios con imaginarios
Sumar números complejos es simplemente combinar términos semejantes. Las partes reales son términos semejantes, y los términos con $i$ también.
Arrastra el punto para ver su parte real (horizontal) y su parte imaginaria (vertical). Sumar números complejos suma por separado los movimientos horizontales y verticales.
Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de…
Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de la expresión $z_1 - z_2 + z_3$.
Multiplicar: como binomios, y luego $i^2 = -1$
Multiplica dos números complejos con FOIL (o con la propiedad distributiva), igual que multiplicabas binomios en Álgebra 1. El único paso extra es reemplazar $i^2$ por $-1$ al final.
Si aparece una potencia como $(1 - i)^4$, eleva al cuadrado dos veces: primero halla $(1 - i)^2$ y luego eleva ese resultado al cuadrado.
Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.
Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.
Desarrolla y simplifica la expresión $(1 - i)^4$ operando exclusivamente en forma binómica. Puedes utilizar el desarrollo del binomio de Newton o aplicar propiedades de…
Desarrolla y simplifica la expresión $(1 - i)^4$ operando exclusivamente en forma binómica. Puedes utilizar el desarrollo del binomio de Newton o aplicar propiedades de las potencias $( (1-i)^2 )^2$.
Potencias de $i$: un ciclo de cuatro
Calcula las primeras potencias de $i$: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1$. Luego $i^5 = i^4 \cdot i = i$, y el patrón vuelve a empezar. Cada multiplicación por $i$ gira un punto un cuarto de vuelta ($90^\circ$) en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen, así que cuatro giros forman un círculo completo.
Simplifica las siguientes potencias de la unidad imaginaria $i$ aplicando la periodicidad de sus valores: $i^{45}$ $i^{102}$ $i^{2024}$ $i^{-13}$
Simplifica las siguientes potencias de la unidad imaginaria $i$ aplicando la periodicidad de sus valores:
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$i^{45}$
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$i^{102}$
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$i^{2024}$
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$i^{-13}$
Conjugados y módulo
Antes de dividir, necesitas el conjugado. El conjugado de $z = a + bi$ es $\bar{z} = a - bi$: misma parte real, parte imaginaria opuesta. No lo confundas con el opuesto $-z = -a - bi$, que cambia ambos signos.
El conjugado es la imagen en espejo de $z$ respecto al eje real. Multiplicar un número complejo por su conjugado da algo especial:
Los conjugados también se llevan bien con las operaciones: $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ y $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$. Para demostrar una identidad como esta, escribe $z = a + bi$ y $w = c + di$, calcula cada lado y compara.
Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente…
Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente que el resultado es un número real.
En un modelo matemático simplificado de mecánica cuántica, el estado de una partícula se describe mediante la amplitud de probabilidad…
En un modelo matemático simplificado de mecánica cuántica, el estado de una partícula se describe mediante la amplitud de probabilidad $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Comprueba si este estado cumple la condición de normalización, la cual requiere que el producto del número complejo por su conjugado sea exactamente la unidad ($\psi \cdot \bar{\psi} = 1$).
Demuestra algebraicamente, definiendo los números complejos en forma binómica como $z = a + bi$ y $w = c + di$, que el conjugado del producto de dos números complejos es…
Demuestra algebraicamente, definiendo los números complejos en forma binómica como $z = a + bi$ y $w = c + di$, que el conjugado del producto de dos números complejos es idéntico al producto de sus conjugados respectivos. Es decir, prueba paso a paso que $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.
Dividir: multiplica por el conjugado del denominador
¿Cómo se divide entre $2 - i$? No puedes "simplificar" una $i$ que está en el denominador. Ya resolviste este tipo de problema cuando racionalizaste un denominador con un radical: multiplica el numerador y el denominador por el conjugado para que el denominador quede como un número real.
Para operaciones combinadas, sigue el orden de las operaciones. Toma $\dfrac{(2 + i)(3 - i)}{1 + i} - (2 - i)$. Primero, $(2 + i)(3 - i) = 6 - 2i + 3i - i^2 = 7 + i$. Luego $\dfrac{7 + i}{1 + i} = \dfrac{(7 + i)(1 - i)}{2} = \dfrac{8 - 6i}{2} = 4 - 3i$. Por último, $(4 - 3i) - (2 - i) = 2 - 2i$.
Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma…
Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma $a + bi$:
$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$
Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:…
Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:
$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$
Ecuaciones cuadráticas y polinomios con números complejos
En Álgebra 1 decías "no hay solución real" cuando el discriminante $b^2 - 4ac$ era negativo. Con números complejos, toda ecuación cuadrática tiene soluciones. Para un número negativo $n$, $\sqrt{-n} = i\sqrt{n}$.
En una ecuación sin término del medio, como $x^2 + 9 = 0$, despeja $x^2$: $x^2 = -9$, así que $x = \pm\sqrt{-9} = \pm 3i$.
Para evaluar un polinomio en un número complejo, sustituye y simplifica con las reglas anteriores. Para $P(z) = z^2 + 2z + 3$ en $z = -1 + i$: $(-1 + i)^2 = -2i$, luego $2(-1 + i) = -2 + 2i$, así que $P = -2i - 2 + 2i + 3 = 1$. Si el valor hubiera sido $0$, entonces $-1 + i$ sería una raíz.
Los ingenieros de control usan esta idea: un sistema es estable cuando todas las raíces de su polinomio característico tienen parte real negativa. Algunos ejercicios de esta página piden esa conclusión una vez que has hallado las raíces.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones: $x^2 + 25 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones:
$x^2 + 25 = 0$
Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.
En teoría de control de sistemas dinámicos, un sistema se considera estable si todas las raíces de su polinomio característico tienen parte real negativa. Dada la…
En teoría de control de sistemas dinámicos, un sistema se considera estable si todas las raíces de su polinomio característico tienen parte real negativa. Dada la ecuación característica $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$:
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Comprueba sustituyendo algebraicamente si $z_1 = 1 + i$ es una solución de la ecuación.
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Sabiendo que los polinomios con coeficientes reales tienen raíces complejas conjugadas, halla las otras dos soluciones de la ecuación.
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Concluye si el sistema descrito es estable o inestable.
Números complejos iguales y parámetros desconocidos
Un número complejo tiene una sola parte real y una sola parte imaginaria. Por eso, dos números complejos son iguales solo si coinciden ambas partes.
Esto convierte una ecuación con números complejos en dos ecuaciones con números reales. Es la clave de todos los problemas de "halla $x$ para que…".
Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos: $(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$
Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos:
$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$
Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):…
Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):
$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$
Halla el valor del número real $x$ para que el producto de los números complejos $(x - 3i)$ y $(2 + 5i)$ dé como resultado un número imaginario puro (es decir, con parte…
Halla el valor del número real $x$ para que el producto de los números complejos $(x - 3i)$ y $(2 + 5i)$ dé como resultado un número imaginario puro (es decir, con parte real igual a cero).
Aplicaciones: circuitos, videojuegos y fluidos
Los números complejos no son solo un acertijo. Los ingenieros eléctricos describen un componente de un circuito con su impedancia $Z = R + Xi$ (en ohmios, $\Omega$), donde $R$ es la resistencia y $X$ es la reactancia. Dos componentes en paralelo se combinan como $Z_{eq} = \dfrac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$. Los gráficos por computadora tratan la pantalla como el plano complejo: multiplicar por $i$ gira un punto $90^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen, y sumar un número lo desplaza.
En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y…
En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente del circuito, expresada en forma binómica, utilizando la fórmula física:
$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje en el plano se representa mediante el número complejo $z = 5 + 2i$. Para aplicar una rotación de…
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje en el plano se representa mediante el número complejo $z = 5 + 2i$. Para aplicar una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario respecto al origen y, posteriormente, una traslación definida por el vector $(-1, 3)$, el motor gráfico realiza la operación $z' = z \cdot i + (-1 + 3i)$. Calcula la nueva posición $z'$ del personaje.
En el estudio del flujo de fluidos ideales alrededor de un obstáculo cilíndrico, la función de potencial complejo viene dada por la expresión…
En el estudio del flujo de fluidos ideales alrededor de un obstáculo cilíndrico, la función de potencial complejo viene dada por la expresión $W(z) = V \cdot z + \frac{m}{z}$. Sabiendo que la velocidad del fluido es $V = 2$ y el parámetro $m = 8$, evalúa el potencial en el punto $z = 2 + 2i$. Expresa el resultado final $W(2+2i)$ en la forma $a + bi$.
Condiciones sobre $z$ y lugares geométricos
A veces la incógnita es el propio número $z$. Escribe $z = x + yi$ con $x$ e $y$ reales, simplifica y convierte la condición en una ecuación en $x$ e $y$. El conjunto de todos los puntos $(x, y)$ que cumplen la condición se llama lugar geométrico (locus).
Determina la ecuación del lugar geométrico de los afijos correspondientes a los números complejos $z = x + yi$ que cumplen la condición de que la expresión…
Determina la ecuación del lugar geométrico de los afijos correspondientes a los números complejos $z = x + yi$ que cumplen la condición de que la expresión $\frac{z - 2}{z + i}$ sea un número imaginario puro.
Resolver ecuaciones para $z$
Las ecuaciones con incógnitas complejas se separan en dos ecuaciones reales: las partes reales deben coincidir y las partes imaginarias también. Los sistemas lineales también se pueden resolver directamente por eliminación o sustitución, tratando los números complejos como coeficientes.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas $z$ y $w$ son números complejos. Expresa ambas soluciones en forma binómica:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas $z$ y $w$ son números complejos. Expresa ambas soluciones en forma binómica:
$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$
Encuentra los números complejos $z = x + yi$ que son raíces cuadradas del número complejo $-5 + 12i$. Para ello, plantea la ecuación $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala las…
Encuentra los números complejos $z = x + yi$ que son raíces cuadradas del número complejo $-5 + 12i$. Para ello, plantea la ecuación $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala las partes reales y las partes imaginarias para formar un sistema de ecuaciones no lineal, y resuélvelo en $\mathbb{R}$.
Encuentra todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación no lineal $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ y resuelve el sistema resultante analizando…
Encuentra todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación no lineal $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ y resuelve el sistema resultante analizando los diferentes casos posibles para $x$ e $y$.
Sumas de potencias e iteración
La aritmética compleja impulsa los algoritmos de los fractales. Aparecen dos herramientas. Primero, la fórmula de la serie geométrica sigue funcionando con una razón compleja $r \neq 1$: $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$. Segundo, una iteración repite una regla como $z_{n+1} = z_n^2 + c$ a partir de $z_0 = 0$ y observa el módulo $|z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
En un algoritmo de generación de fractales, la posición de cada nuevo nodo en el plano complejo se calcula a partir de la suma de potencias consecutivas. Calcula la…
En un algoritmo de generación de fractales, la posición de cada nuevo nodo en el plano complejo se calcula a partir de la suma de potencias consecutivas. Calcula la posición del nodo que viene dada por la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica:
$S = \sum_{k=0}^{9} (1+i)^k$
Aplica la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica y expresa el resultado final en forma binómica.
En el estudio de los fractales y el conjunto de Mandelbrot, se analiza el comportamiento de la sucesión iterativa definida por $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partiendo de la…
En el estudio de los fractales y el conjunto de Mandelbrot, se analiza el comportamiento de la sucesión iterativa definida por $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partiendo de la condición inicial $z_0 = 0$. Para la constante compleja $c = -1 + i$:
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Calcula los términos $z_1$, $z_2$ y $z_3$ operando en forma binómica.
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Determina el módulo $|z_3|$ y comprueba si supera el valor umbral de escape (es decir, si $|z_3| > 2$).
Resumen
Volvamos al inicio: el personaje en $3 + i$ multiplicado por $i$ aterriza en $3i + i^2 = -1 + 3i$, un cuarto de vuelta en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen. Cuatro giros así lo devuelven al punto de partida, porque $i^4 = 1$.