Tu termostato está programado a $72^\circ$F y mantiene el cuarto a no más de $3$ grados de esa temperatura. ¿Qué temperaturas puede tener realmente el cuarto? La respuesta es una desigualdad (también llamada inecuación) con valor absoluto, y al final de esta página la vas a escribir y resolver en una sola línea.
El valor absoluto como distancia
El valor absoluto $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$ en la recta numérica. No importa de qué lado de $a$ estés. Esta idea convierte cada desigualdad con valor absoluto en desigualdades ordinarias.
Mueve el control deslizante para desplazar la gráfica de $y = |x - a|$ y compárala con la recta horizontal $y = 3$. La desigualdad $|x - a| < 3$ es verdadera donde la V está por debajo de la recta.
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Resuelva la inecuación $|x - 5| < 3$ y exprese la solución en forma de intervalo.
Resuelva la inecuación $|x - 5| < 3$ y exprese la solución en forma de intervalo.
Las traducciones anteriores solo funcionan cuando el valor absoluto está solo en un lado. Si hay algo sumado, multiplicado o restado, deshazlo primero con operaciones inversas.
Despeja la expresión con valor absoluto $|u|$.
Reescribe con "y" ($|u| < k$) o con "o" ($|u| > k$).
Resuelve las desigualdades lineales que resulten.
Dos datos ayudan. Primero, $|-u| = |u|$, así que $|-x + 6| = |x - 6|$. Segundo, si multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
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Determina el conjunto solución de la inecuación $|-x + 6| > 2$.
Determina el conjunto solución de la inecuación $|-x + 6| > 2$.
Como $|u| \ge 0$ siempre, algunas desigualdades se resuelven con solo pensar en los signos.
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Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala: a) $|x + 4| \leq 0$ b) $|2x - 5| < -1$
Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala:
El uso más común del valor absoluto en la vida real es la tolerancia: una medida debe estar cerca de un valor objetivo, con un error máximo permitido.
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Expresa mediante una inecuación con valor absoluto el siguiente enunciado: "La distancia entre un número $x$ y $7$ es strictly menor que $4$". A continuación, determina…
Expresa mediante una inecuación con valor absoluto el siguiente enunciado: "La distancia entre un número $x$ y $7$ es strictly menor que $4$". A continuación, determina el conjunto de soluciones.
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12.5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de…
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12.5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de $0.15$ mm. Escribe una inecuación con valor absoluto que modele esta situación para la longitud $L$ del chip y resuelve para encontrar el intervalo de longitudes aceptables.
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7.4$. Para que el agua sea apta para el baño, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe…
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7.4$. Para que el agua sea apta para el baño, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe superar el $5\%$ del valor óptimo. Plantea la inecuación con valor absoluto correspondiente y determina el rango de pH permitido.
Un sistema significa que todas las condiciones deben cumplirse a la vez. Resuelve cada desigualdad por separado y quédate solo con los números que están en ambos conjuntos solución: la intersección. Dibujar ambas soluciones en rectas numéricas apiladas hace fácil ver dónde se traslapan.
Las intersecciones también responden preguntas de "¿está garantizado?". Si de una máquina solo se sabe que su temperatura cumple una desigualdad, y una regla de seguridad exige otra, verifica si todo valor permitido cumple también la regla. Si el intervalo permitido se sale de lo que pide la regla, no está garantizado.
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Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con valor absoluto: $$ \begin{cases} |x - 2| \leq 4 \\ |x + 1| > 2 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con valor absoluto:
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) de un horno industrial oscila durante su funcionamiento de modo que $|2T - 300| \leq 50$. Si por razones de seguridad en el…
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) de un horno industrial oscila durante su funcionamiento de modo que $|2T - 300| \leq 50$. Si por razones de seguridad en el proceso de fundición la temperatura no puede bajar de $130^\circ$ °F en ningún momento, comprueba matemáticamente si el horno cumple la normativa de seguridad garantizada por su oscilación.
Expresiones cuadráticas y racionales dentro de las barras
Cuando la expresión dentro de las barras es cuadrática o racional, el método no cambia: traduce a una desigualdad compuesta y luego resuelve cada parte con las herramientas de ese tipo.
Expresiones racionales. Si la variable está en un denominador, primero anota qué valores de $x$ hacen $0$ el denominador y exclúyelos. Por ejemplo, si el denominador es $|x + 2|$, entonces $|x + 2| > 0$ para todo $x \ne -2$, así que puedes multiplicar ambos lados por esa expresión sin invertir el signo.
Parámetros. Un parámetro como $a$ se trata como un número. Solo lleva control de su signo: si $a > 0$, entonces $\sqrt{a^2} = a$.
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Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Considera la inecuación $|x^2 - a^2| \leq a^2$, donde $a > 0$ es un parámetro real constante. Expresa el conjunto solución de esta inecuación en función del parámetro…
Considera la inecuación $|x^2 - a^2| \leq a^2$, donde $a > 0$ es un parámetro real constante. Expresa el conjunto solución de esta inecuación en función del parámetro $a$.
A veces el "número" $k$ es en realidad una expresión como $x + 1$. Las mismas traducciones siguen funcionando:
Cuando una parte es una desigualdad cuadrática, resuélvela factorizando y probando intervalos, igual que en la sección de desigualdades cuadráticas. Para $|x^2 - 4x| > 3x$ obtienes $x^2 - 4x > 3x$ o $x^2 - 4x < -3x$. Resuelve cada una y toma la unión.
Practica★★☆Sin empezar
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $|2x - 3| < x + 1$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $|2x - 3| < x + 1$.
Hay tres buenas estrategias. Elige la que se ajuste al problema.
Estrategia 1: piensa en distancias
$|x - 2| < |x + 4|$ dice "$x$ está más cerca de $2$ que de $-4$". Los puntos que están a igual distancia de ambos están en su punto medio, $\dfrac{2 + (-4)}{2} = -1$. Todo lo que queda a la derecha del punto medio está más cerca de $2$.
Así, la solución de $|x - 2| < |x + 4|$ es $x > -1$, es decir, $(-1, \infty)$.
Estrategia 2: elevar al cuadrado ambos lados
Tanto $|A|$ como $|B|$ nunca son negativos, así que $|A| < |B| \iff A^2 < B^2$ (y lo mismo para $\le$, $\ge$, $>$). Elevar al cuadrado elimina las barras porque $|A|^2 = A^2$.
Esto también sirve para fracciones como $\left|\dfrac{2x - 1}{x + 2}\right| \ge 1$. Como $x \ne -2$, es lo mismo que $|2x - 1| \ge |x + 2|$. Eleva al cuadrado ambos lados, resuelve y, al final, quita $x = -2$ de la respuesta si está en ella.
Estrategia 3: separar en los puntos críticos
Para sumas como $|x - 1| + |x - 3|$ no hay atajo elevando al cuadrado. En cambio, corta la recta numérica en los valores donde cada expresión dentro de las barras es $0$. En cada tramo los signos son fijos, así que puedes quitar las barras.
La imagen de las distancias coincide: la suma de las distancias de $x$ a $-1$ y a $2$ es al menos $3$, y llega a $5$ cuando $x$ está a $1$ unidad más allá de cada extremo.
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Halla el conjunto solución de la inecuación $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geométricamente el valor absoluto como la distancia entre puntos en la recta real.
Halla el conjunto solución de la inecuación $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geométricamente el valor absoluto como la distancia entre puntos en la recta real.
Problemas de reto: parámetros, rapidez y expresiones definidas por partes
Contener un intervalo
$|x - k| \le r$ tiene el conjunto solución $[k - r, k + r]$. Para que este intervalo quede dentro de $[p, q]$, ambos extremos deben estar en $[p, q]$: $k - r \ge p$ y $k + r \le q$. Resuelve ambas para $k$ e intersecta.
Rapidez y distancia recorrida
La rapidez nunca es negativa, por eso a menudo es un valor absoluto. En una gráfica de rapidez contra tiempo, la distancia recorrida es el área entre la gráfica y el eje del tiempo.
Una expresión definida por partes dentro de las barras
Si una expresión como $d(x) = |x + 1| - |x - 3|$ está dentro de otro valor absoluto, primero reescribe $d(x)$ sin barras en cada tramo (separa en los puntos críticos, como en la Estrategia 3). En $x < -1$ vale $-4$; en $-1 \le x \le 3$ vale $2x - 2$; en $x > 3$ vale $4$. Luego resuelve $|d(x)| \le 2$ en cada tramo y quédate solo con las soluciones dentro de ese tramo. Aquí resulta solo el tramo $[-1, 3]$, donde $|2x - 2| \le 2$ significa $0 \le x \le 2$. La solución es $[0, 2]$.
Practica★★★Sin empezar
Determina para qué valores del parámetro real $k$ el conjunto solución de la inecuación $|x - k| \leq 3$ está estrictamente contenido en el intervalo $[-1, 8]$.
Determina para qué valores del parámetro real $k$ el conjunto solución de la inecuación $|x - k| \leq 3$ está estrictamente contenido en el intervalo $[-1, 8]$.
La rapidez de un vehículo en un instante $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $v(t) = |3t - 15|$ pies/s. Determina durante qué intervalo de tiempo la rapidez…
La rapidez de un vehículo en un instante $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $v(t) = |3t - 15|$ pies/s. Determina durante qué intervalo de tiempo la rapidez del vehículo es estrictamente menor que $6$ pies/s y calcula la distancia total recorrida en ese intervalo considerando que el vehículo se mueve en línea recta.
En un estudio de óptica y refracción, la desviación de un haz de luz respecto a su trayectoria ideal viene dada por la función $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resuelve la…
En un estudio de óptica y refracción, la desviación de un haz de luz respecto a su trayectoria ideal viene dada por la función $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resuelve la inecuación $|d(x)| \leq 1$ para encontrar los valores de $x$ donde la desviación se mantiene dentro de los márgenes tolerables por el instrumento.