Jayden deja caer una pelota de tenis desde lo alto de un acantilado de 100 pies. El tiempo de caída en segundos es $t(h) = \dfrac{\sqrt{h}}{4}$, donde $h$ es la altura en pies. Al sustituir $h = 100$ se obtiene $\dfrac{10}{4} = 2.5$ segundos. Pero cuando Jayden escribe $h = -100$ en su calculadora, aparece un error. ¿Por qué? En esta sección aprenderás a encontrar exactamente qué valores acepta una función radical, cómo se comporta su gráfica y cómo resolver ecuaciones con radicales.
Radicales de índice par: resuelve la desigualdad del radicando
¿Por qué? Las raíces cuadradas (y las raíces cuartas, sextas…) de números negativos no son números reales, porque ningún número real elevado al cuadrado es negativo.
Cuando el radicando es cuadrático, la desigualdad no siempre da una semirrecta.
Cuando la parábola abre hacia arriba, la respuesta se invierte y queda en el exterior. Usa una tabla de signos: factoriza, encuentra los ceros y evalúa un punto de prueba en cada intervalo.
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Determina el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par: $f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Determina el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par:
Una raíz impar aún puede tener otras restricciones. Una fracción necesita un denominador distinto de cero, y una raíz impar en un denominador necesita un radicando distinto de cero.
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Calcula el dominio de definición de la función con raíz de índice impar: $g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Calcula el dominio de definición de la función con raíz de índice impar:
Determina el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático: $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$
Determina el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático:
Tres técnicas aparecen en los problemas más difíciles: un parámetro en el radicando, un radical dentro de una desigualdad y una fracción con varios puntos críticos.
Un parámetro en el radicando
El dominio de $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 16}$ es todo $\mathbb{R}$ exactamente cuando $x^2 + kx + 16 \geq 0$ para todo $x$. La parábola abre hacia arriba, así que esto ocurre cuando nunca baja del eje $x$. Es decir, tiene a lo sumo una intersección con el eje $x$, por lo que el discriminante cumple $b^2 - 4ac \leq 0$.
Un radical dentro de la desigualdad
Para resolver $\sqrt{A} \geq B$, separa en dos casos. Si $B < 0$, se cumple siempre que $A \geq 0$ (una raíz nunca es negativa). Si $B \geq 0$, ambos lados son no negativos, así que puedes elevar al cuadrado ambos lados.
Varios puntos críticos y factores comunes
Factoriza por completo el numerador y el denominador, enumera todos los ceros de ambos y evalúa cada intervalo.
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Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Para mover la gráfica de $y = \sqrt{x}$, reemplaza $x$ por $x - b$ para desplazarla $b$ unidades a la derecha (así que un desplazamiento de 3 a la izquierda es $x + 3$), y suma $c$ para subirla $c$ unidades.
Practica★☆☆Sin empezar
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la…
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba. ¿Cuál es el dominio de $g(x)$?
Observa la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el…
Observa la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el vértice de la semiparábola se encuentra en el punto $(2, 1)$ y pasa por el punto $(6, -3)$.
No toda función radical tiene intersección con el eje $x$. Para $f(x) = \sqrt{x+1} + 2$, la ecuación $\sqrt{x+1} = -2$ no tiene solución, porque una raíz cuadrada nunca es negativa.
Practica★☆☆Sin empezar
Encuentra los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función: $f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Encuentra los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función:
Para hallar una función inversa $f^{-1}$, intercambia $x$ y $y$ y despeja la nueva $y$. El dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$, y el rango de $f^{-1}$ es el dominio de $f$.
Las curvas $y = \sqrt{x-1}$ y $y = x^2 + 1$ son imágenes especulares respecto de la recta $y = x$, pero solo la parte de la parábola con $x \geq 0$ es la inversa. Esa restricción es la idea clave.
Algunas funciones no son uno a uno en todo su dominio. Entonces restringes el dominio a una rama antes de invertir.
Ahora supón que restringieras $g$ a la rama izquierda $(-\infty, 0]$. Las salidas de $g$ siguen siendo $\geq 0$ (una raíz cuadrada nunca es negativa), así que el dominio de la inversa vuelve a ser $[0, \infty)$. Lo que cambia es la salida de la inversa, que es la entrada original: ahora $y \leq 0$, así que $y - 3 \leq -3 < 0$ y tomas la raíz negativa: $g^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x^2 + 9}$, con rango $(-\infty, 0]$. Comprueba: $g(-2) = \sqrt{4 + 12} = 4$ y $g^{-1}(4) = 3 - \sqrt{25} = -2$ ✓.
Practica★★☆Sin empezar
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina su función inversa $f^{-1}(x)$ e indica el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina su función inversa $f^{-1}(x)$ e indica el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indica claramente el…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indica claramente el dominio y recorrido de la función inversa obtenida.
Siempre que una cantidad depende del cuadrado de otra y necesitas despejar la segunda, aparece una raíz: tiempos de caída, periodos de péndulos, radios a partir de áreas.
Cuando el radical tiene un coeficiente como $2\pi$ o una fracción bajo la raíz, aísla primero el radical y luego eleva al cuadrado. El mismo plan sirve para modelos de costo como $C(x) = a + b\sqrt{x - c}$, donde el dominio también requiere $x - c \geq 0$.
Volvamos al principio: la pelota que cae desde 100 pies tarda $\frac{\sqrt{100}}{4} = 2.5$ segundos. La calculadora da error con $h = -100$ porque $\sqrt{-100}$ no es un número real, y además una altura negativa no tiene sentido en una caída: el dominio de $t(h)$ es $h \geq 0$ (o $h > 0$ en el contexto).
Practica★☆☆Sin empezar
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Expresa el radio en función del área, $r(A)$, e indica el dominio de…
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Expresa el radio en función del área, $r(A)$, e indica el dominio de definición válido en este contexto geométrico.
El costo de producción $C(x)$, en dólares, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por…
El costo de producción $C(x)$, en dólares, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por $C(x) = 2500 + 120\sqrt{x - 50}$. Determina el dominio válido para la función de costos y calcula cuántas piezas se han fabricado si el costo total ha ascendido a $\$4900$.
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$.…
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$. Expresa el perímetro del rectángulo $P(x)$ en función de la coordenada $x$ del vértice situado en el primer cuadrante. Determina el dominio válido de $P(x)$ en este contexto geométrico y calcula su valor para $x = 3$.