Funciones exponenciales

La función exponencial

Toda función $f(x) = a^x$ pasa por $(0, 1)$, porque $a^0 = 1$, y por $(1, a)$, porque $a^1 = a$. Mueve el control deslizante y observa cómo esos dos puntos no se mueven.

Una base es especial: el número irracional $e \approx 2.71828\ldots$. Aparece en el crecimiento continuo, como el interés compuesto continuamente, la desintegración radiactiva y el enfriamiento. La función $e^x$ es la exponencial "por defecto" en las ciencias y en el cálculo. Deja $e$ como $e$ a menos que el problema pida un decimal.

Hallar la ecuación a partir de dos puntos

Si sabes que $f(x) = k \cdot a^x$ pasa por dos puntos, tienes dos incógnitas, $k$ y $a$. Si un punto tiene $x = 0$, entonces $a^0 = 1$ y $k$ es simplemente el valor de $y$. Si no, divide las dos ecuaciones para que $k$ se cancele.

Crecimiento y decaimiento

Relacionar gráficas con ecuaciones

Cuando debas relacionar una gráfica con su ecuación, revisa estas pistas en orden:

1. ¿Sube o baja? (base mayor o menor que $1$)

2. ¿Dónde cruza el eje $y$? $a^x$ cruza en $(0, 1)$. $-a^x$ cruza en $(0, -1)$.

3. ¿Cuál es más empinada para $x > 0$? Entre las bases mayores que $1$, la base mayor es más empinada a la derecha del eje $y$.

Las letras de esta figura solo rotulan estas cuatro curvas. En el ejercicio, las letras pueden estar en otras curvas, así que usa las pistas anteriores para relacionar cada gráfica.

Transformaciones, asíntotas e intersecciones

La gráfica de $a^x$ tiene al eje $x$ como asíntota horizontal: la curva se acerca tanto como quieras a la recta $y = 0$ pero nunca la toca. Cuando desplazas la gráfica, la asíntota se mueve con ella.

Intersecciones. Para la intersección con el eje $y$, calcula $f(0)$. Para la intersección con el eje $x$, plantea $f(x) = 0$ y resuelve.

Ecuaciones con una base común

Una ecuación exponencial tiene la incógnita en un exponente. La idea más sencilla: si ambos lados son potencias de la misma base, los exponentes deben ser iguales.

Estrategia: reescribe cada número como una potencia de una base común (por ejemplo $8 = 2^3$, $\tfrac14 = 2^{-2}$, $125 = 5^3$), usa las reglas de las potencias y luego iguala los exponentes.

Factorizar una potencia común

A veces los términos tienen la misma base pero distintos exponentes. Separa cada potencia con $a^{x+m} = a^x \cdot a^m$ y luego factoriza $a^x$.

La gráfica de arriba muestra por qué $3^x = 9$ tiene exactamente una solución: la recta horizontal $y = 9$ corta la curva una sola vez, en $x = 2$.

Sustitución, sistemas y logaritmos

Sustitución

Si una ecuación tiene tanto $a^{2x}$ como $a^x$, es de forma cuadrática. Como $a^{2x} = (a^x)^2$, sea $t = a^x$. Obtienes una ecuación cuadrática en $t$ (repasa la factorización o la fórmula cuadrática si hace falta). Resuélvela y luego regresa a $x$.

Sistemas

Si un sistema tiene $a^x$ y $b^y$, trata cada potencia como una sola incógnita, resuelve el sistema lineal y luego despeja los exponentes.

Logaritmos

Cuando los dos lados no se pueden escribir con la misma base, como en $5^{x+1} = 20$, aplica un logaritmo a ambos lados. Usamos el logaritmo natural $\ln$ (el logaritmo de base $e$). La propiedad clave: $$\ln\left(a^x\right) = x \ln a.$$ Esto saca la incógnita del exponente.

Dominio y asíntotas de expresiones con exponenciales

Dos hechos facilitan estos problemas:

• $e^{(\text{cualquier cosa})} > 0$, así que un factor exponencial nunca es $0$.

• El dominio de $a^{u(x)}$ es el dominio del exponente $u(x)$. Una fracción en el exponente o en el denominador causa restricciones.

Dominio. Excluye todo $x$ que haga $0$ un denominador. Si el denominador tiene una exponencial, resuelve la ecuación $a^x = c$.

Asíntotas de $e^{u(x)}$. Observa qué hace el exponente $u(x)$:

• Si $u(x) \to L$ cuando $x \to \pm\infty$, entonces $e^{u(x)} \to e^L$, así que hay una asíntota horizontal $y = e^L$.

• Si $u(x) \to +\infty$ cerca de un valor restringido $x = c$, entonces $e^{u} \to \infty$. Si $u(x) \to -\infty$, entonces $e^u \to 0$. Una asíntota vertical aparece solo cuando el exponente crece sin límite hacia $+\infty$ (puede ser solo por un lado).

Signo, continuidad e intersecciones

Signo de un producto

Como $e^{x}$ (o $e^{-x}$, o $2^x$) siempre es positivo, nunca cambia el signo de un producto. Solo decide el otro factor.

Continuidad de una función definida por partes

Una función definida por partes es continua si puedes dibujarla sin levantar el lápiz. Cada pieza es continua por sí sola, así que revisa las fronteras: las piezas deben tener el mismo valor donde se unen.

Dónde se cortan dos gráficas

Iguala las dos expresiones. Si son potencias de la misma base, iguala los exponentes. Luego sustituye el valor de $x$ en cualquiera de las funciones para obtener la coordenada $y$. El área de un triángulo es $\tfrac12 \cdot \text{base} \cdot \text{altura}$. Cuando dos vértices están sobre una recta horizontal, la base es la distancia horizontal entre ellos, y la altura es la distancia vertical del tercer vértice a esa recta.

Modelos de crecimiento y decaimiento

Todo lo que se multiplica por el mismo factor en cada período de tiempo igual se modela con una función exponencial.

Hallar el tiempo: depreciación, crecimiento logístico y enfriamiento

Cuando la incógnita es el tiempo, está en un exponente. Aísla la potencia y luego aplica $\ln$ a ambos lados.

Otros dos modelos usan $e$ con una constante $k$:

• Crecimiento logístico (como un rumor o una epidemia en una población fija): $P(t) = \dfrac{L}{1 + Ae^{-kt}}$. Su valor inicial es $P(0) = \dfrac{L}{1 + A}$. Cuando $t$ crece, $e^{-kt} \to 0$, así que $P(t)$ se acerca al límite $L$.

• Ley de enfriamiento de Newton: $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $T_0$ la temperatura inicial.

De vuelta al video: las vistas se multiplican por $2$ cada hora, no aumentan en $100$. Así que $V(t) = 100 \cdot 2^t$, y después de $10$ horas $V(10) = 100 \cdot 1024 = 102{,}400$ vistas. Sumar $100$ por hora daría solo $100 + 100 \cdot 10 = 1{,}100$. Esa diferencia es el poder de un exponente.

Resumen