Te conviene dominar: Ecuaciones lineales (Matemáticas de 8.º grado (Pre-Álgebra))
Una fábrica produce 600 cargadores de celular al día, y el 5% sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 25 y 35 cargadores sean defectuosos? Es una situación binomial, $B(600, 0.05)$. Sumar a mano once términos como $\binom{600}{k}(0.05)^k(0.95)^{600-k}$ llevaría una eternidad. Cuando $n$ es grande, una curva normal (en forma de campana) da una excelente respuesta con una sola consulta a la tabla. Primero necesitamos manejar bien la campana y la tabla z. Después las usaremos con binomiales.
La curva normal
La estatura de los estudiantes, el tiempo que dura un viaje en autobús, el peso de las bolsas de arroz: cuando mides muchos individuos, los valores se acumulan en el centro y se reparten de forma simétrica a ambos lados. Esa forma de campana es la distribución normal.
Juega con la media y la desviación estándar. Observa que $\mu$ desplaza la campana a izquierda y derecha, y que $\sigma$ la hace ancha y baja o angosta y alta. El área sigue siendo $1$.
En el interactivo, $a$ es la media y $b$ es la desviación estándar.
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El peso de las manzanas de una cosecha se distribuye según una ley normal de media $150$ onzas y desviación estándar $15$ onzas. Si se consideran "manzanas de tipo A"…
El peso de las manzanas de una cosecha se distribuye según una ley normal de media $150$ onzas y desviación estándar $15$ onzas. Si se consideran "manzanas de tipo A" aquellas que pesan entre $135$ y $165$ onzas, calcule la probabilidad de que una manzana elegida al azar sea de tipo A.
Cada contexto (estaturas, tiempos, puntuaciones) tiene su propia $\mu$ y $\sigma$, y nadie imprime una tabla para cada par. Por eso usamos una curva de referencia.
Aquí tienes un fragmento de la tabla:
$z$
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
1.0
.8413
.8438
.8461
.8485
.8508
.8531
.8554
.8577
.8599
.8621
1.1
.8643
.8665
.8686
.8708
.8729
.8749
.8770
.8790
.8810
.8830
1.2
.8849
.8869
.8888
.8907
.8925
.8944
.8962
.8980
.8997
.9015
1.3
.9032
.9049
.9066
.9082
.9099
.9115
.9131
.9147
.9162
.9177
Por ejemplo, para $P(Z \le 1.24)$: fila $1.2$, columna $.04$, así que $P(Z \le 1.24) = 0.8925$.
La tabla solo da áreas a la izquierda, pero la simetría y el área total de $1$ nos dan todo lo demás.
Leer la tabla al revés
A veces conoces el área y necesitas $z$. Busca el área dentro de la tabla y luego lee las etiquetas de fila y columna. Si $P(Z \le k) = 0.9066$, la tabla muestra $0.9066$ en la fila $1.3$, columna $.02$, así que $k = 1.32$. Si el área es menor que $0.5$, $k$ es negativo. Para $P(Z \le k) = 0.1075$, busca $1 - 0.1075 = 0.8925$, que da $1.24$, así que $k = -1.24$.
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Dada la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular el área acumulada a la izquierda de los siguientes valores.…
Dada la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular el área acumulada a la izquierda de los siguientes valores. Representa gráficamente la situación del inciso a.
En una distribución $Z \sim N(0, 1)$, sabemos que el área total bajo la curva es igual a $1$. Utilice las propiedades de simetría y el evento complementario para hallar…
En una distribución $Z \sim N(0, 1)$, sabemos que el área total bajo la curva es igual a $1$. Utilice las propiedades de simetría y el evento complementario para hallar las siguientes probabilidades:
¿Cómo usamos la tabla $N(0,1)$ para una variable como $X \sim N(35, 6)$? Volvemos a medir $X$ en "desviaciones estándar a partir de la media".
¿Por qué funciona? Al restar $\mu$ el centro de la campana se mueve a $0$, y al dividir entre $\sigma$ la dispersión pasa a ser $1$. El área bajo la curva entre dos valores no cambia.
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Un estudio sobre el tiempo que los adolescentes de 16 años pasan usando una conocida red social al día indica que sigue una distribución normal con una media de…
Un estudio sobre el tiempo que los adolescentes de 16 años pasan usando una conocida red social al día indica que sigue una distribución normal con una media de $\mu = 120$ minutos y una desviación estándar de $\sigma = 20$ minutos.
Si elegimos a un joven al azar, calcule la probabilidad de que use la red social menos de $150$ minutos. Para ello, estandarice la variable $X$ y utilice la tabla de la $N(0, 1)$.
Las calificaciones de un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución $N(5,2; 1,5)$. Si para obtener una mención especial se requiere…
Las calificaciones de un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución $N(5,2; 1,5)$. Si para obtener una mención especial se requiere una calificación superior a $8$, ¿qué probabilidad tiene un estudiante de conseguirla?
Ayuda: Recuerde que $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$ tras realizar la estandarización.
El tiempo que los estudiantes de 11.º grado dedican diariamente a realizar tareas escolares sigue una distribución normal de media $\mu = 115$ minutos y una desviación…
El tiempo que los estudiantes de 11.º grado dedican diariamente a realizar tareas escolares sigue una distribución normal de media $\mu = 115$ minutos y una desviación estándar $\sigma = 25$ minutos. Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar:
Un $75$ en un examen difícil puede ser mejor que un $85$ en uno fácil. Para comparar valores de distribuciones distintas, compara sus puntuaciones z: la mayor puntuación z es mejor en relación con su propio grupo.
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Dos amigos, Marcos y Elena, estudian en escuelas secundarias diferentes. En la escuela de Marcos, la nota media en el examen de Economía fue de $6,2$ con una desviación…
Dos amigos, Marcos y Elena, estudian en escuelas secundarias diferentes. En la escuela de Marcos, la nota media en el examen de Economía fue de $6,2$ con una desviación estándar de $1,1$. En la de Elena, la media fue de $6,8$ con una desviación estándar de $1,5$. Si Marcos obtuvo un $7,5$ y Elena un $8,2$, y suponiendo que ambas poblaciones siguen una distribución normal, determina cuál de los dos obtuvo una mejor nota relativa respecto a su grupo.
"¿Qué tan alto tienes que ser para estar entre el $10\%$ más alto?" Ahora te dan la probabilidad y necesitas el valor $x$. Es la tabla en sentido inverso, seguida de deshacer la estandarización.
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Una marca de periféricos para gaming* ha determinado que el tiempo de respuesta de su mouse estrella sigue una distribución $N(18, 4)$ milisegundos. El departamento de…
Una marca de periféricos para gaming ha determinado que el tiempo de respuesta de su mouse estrella sigue una distribución $N(18, 4)$ milisegundos. El departamento de marketing quiere promocionar que su producto es tan rápido que solo el $15\%$ de los mouses de la competencia (que siguen la misma distribución) superan un tiempo de respuesta crítico $k$. Halla el valor de ese tiempo $k$.
La duración de las baterías de un modelo de smartphone sigue una distribución $N(42, 6)$ horas. La compañía quiere ofrecer una garantía de sustitución si la batería dura…
La duración de las baterías de un modelo de smartphone sigue una distribución $N(42, 6)$ horas. La compañía quiere ofrecer una garantía de sustitución si la batería dura menos de un tiempo determinado. ¿Qué duración máxima debe garantizar la empresa si solo está dispuesta a sustituir el $2,5\%$ de las baterías vendidas?
En un prestigioso torneo de eSports, la puntuación obtenida por los participantes se distribuye según una ley normal de media 2500 puntos y desviación estándar 400…
En un prestigioso torneo de eSports, la puntuación obtenida por los participantes se distribuye según una ley normal de media 2500 puntos y desviación estándar 400 puntos. La organización decide otorgar la "Mención de Élite" solo al 2,5 % de los jugadores con mejores puntuaciones.
a) ¿A partir de qué puntuación se recibe dicha mención?
b) Si un grupo de amigos tiene puntuaciones que se encuentran en el intervalo central que comprende al 95 % de los jugadores del torneo, ¿entre qué dos valores se mueven sus puntuaciones?
A veces la incógnita no es una probabilidad ni un valor de corte, sino un parámetro de la distribución. Sigues hallando $z_0$ a partir del área. Pero ahora $z_0 = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ se convierte en una ecuación en $\mu$ y/o $\sigma$.
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Se sabe que el peso de los paquetes de café de una determinada fábrica sigue una distribución normal. Tras un control de calidad, se observa que el $5\%$ de los paquetes…
Se sabe que el peso de los paquetes de café de una determinada fábrica sigue una distribución normal. Tras un control de calidad, se observa que el $5\%$ de los paquetes pesa menos de $242$ onzas y el $10\%$ pesa más de $255$ onzas. Halla la media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ de esta población.
Se sabe que el tiempo de carga de las baterías de un nuevo modelo de auto eléctrico sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras realizar un estudio de mercado,…
Se sabe que el tiempo de carga de las baterías de un nuevo modelo de auto eléctrico sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras realizar un estudio de mercado, se observa que el 15 % de los vehículos tarda menos de 45 minutos en cargarse completamente, mientras que solo el 20 % de los vehículos requiere más de 75 minutos.
Calcula el valor de la media $\mu$ y de la desviación estándar $\sigma$ de esta distribución. A continuación, determina la probabilidad de que un vehículo elegido al azar tarde entre 50 y 60 minutos en cargarse.
Una empresa de mensajería utiliza drones para sus entregas en núcleos urbanos. Se ha comprobado que el tiempo de vuelo de estos drones hasta agotarse la batería sigue…
Una empresa de mensajería utiliza drones para sus entregas en núcleos urbanos. Se ha comprobado que el tiempo de vuelo de estos drones hasta agotarse la batería sigue una distribución normal con una media de 42 minutos. Si el 97,72 % de los drones vuela más de 30 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que un dron elegido al azar agote su batería entre los 35 y los 45 minutos de vuelo?
¿Cuándo se puede aproximar una binomial con una normal?
Una variable binomial $X \sim B(n, p)$ cuenta los éxitos en $n$ ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito $p$. Sea $q = 1 - p$. Su media es $np$ y su desviación estándar es $\sqrt{npq}$. Si $n$ es grande, el histograma de $X$ se parece cada vez más a una campana.
¿Por qué la condición? Si $p$ está cerca de $0$ o de $1$ y $n$ no es enorme, el histograma binomial se amontona contra $0$ o contra $n$ y queda torcido. Una campana simétrica no puede ajustarse a él.
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Un lanzador de tiros libres de básquetbol tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la…
Un lanzador de tiros libres de básquetbol tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la variable binomial $X$ (número de aciertos) por una distribución normal.
a) Compruebe si se cumplen las condiciones $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot q \ge 5$.
b) En caso afirmativo, indique cuáles serían los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de la nueva distribución normal $X'$.
Una binomial toma solo valores enteros $0, 1, 2, \dots$. Una normal es continua. Para un solo valor, la normal da $P(X' = 65) = 0$, que no sirve de nada. La solución es dejar que cada entero $k$ ocupe el intervalo de $k - 0.5$ a $k + 0.5$. Ese es justo el ancho de su barra en el histograma. Algunos problemas la llaman corrección de Yates por continuidad.
Si un problema te indica que no uses la corrección (para ver cómo se comporta), estandariza el número tal como está escrito.
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Se lanza una moneda justa ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcule la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la normal…
Se lanza una moneda justa ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcule la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la normal (sin aplicar todavía la corrección de continuidad).
Paso 1: Calcule la media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$.
Paso 2: Estandarice el valor $X = 190$ y busque en la tabla.
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han inscrito $400$ nuevos usuarios,…
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han inscrito $400$ nuevos usuarios, calcula, utilizando la aproximación normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que se den de baja exactamente $65$ usuarios.
Se lanza una moneda cargada 500 veces, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,4. Calcula la probabilidad de obtener: a) Exactamente 200 caras. b) Más de 215…
Se lanza una moneda cargada 500 veces, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,4. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Exactamente 200 caras.
b) Más de 215 caras.
c) Menos de 185 caras.
Nota: Utiliza la aproximación a la normal con la corrección de continuidad de Yates.
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$…
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$ hogares:
a) Justifica por qué se puede aproximar este experimento por una distribución normal.
b) Calcula la probabilidad de que, en esa muestra, separen el plástico entre $40$ y $50$ hogares (ambos inclusive).
Un examen de opción múltiple consta de $80$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde a todas las…
Un examen de opción múltiple consta de $80$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde a todas las preguntas completamente al azar:
a) Determina los parámetros de la distribución normal que aproxima a esta variable.
b) Calcula la probabilidad de que obtenga al menos $25$ aciertos.
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos…
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos una muestra aleatoria de 400 adolescentes:
a) Justifica si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que prefieren el formato digital" mediante una distribución normal.
b) Calcula, utilizando la aproximación anterior y realizando la corrección de continuidad, la probabilidad de que prefieran el formato digital entre 270 y 290 adolescentes (ambos inclusive).
Problemas más difíciles: rangos típicos y percentiles
Algunos problemas preguntan qué resultados son típicos, o cuál es el mayor conteo que puedes esperar con cierta probabilidad. Ambos usan las mismas herramientas normales.
Practica★★★Sin empezar
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una…
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una caja:
a) Haya exactamente 10 piezas defectuosas.
b) Haya más de 15 piezas defectuosas.
c) El número de piezas defectuosas sea menor o igual a 5.
Argumenta si los resultados serían significativamente distintos si no se aplicara la corrección de continuidad.
En un examen de opción múltiple con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar. a) ¿Cuál…
En un examen de opción múltiple con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas?
b) Si para aprobar el examen se necesita obtener al menos 40 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe por puro azar?
c) Determina el intervalo $(np - 2\sigma, np + 2\sigma)$ e interpreta su significado en este contexto.
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio en particular hay 600 inscritos: a) Calcula la…
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio en particular hay 600 inscritos:
a) Calcula la probabilidad de que el número de clientes que nunca acuden esté entre 110 y 135 inclusive.
b) Si el gimnasio decide lanzar una campaña de motivación para estos clientes si el número de "inactivos" supera los 140, ¿qué probabilidad hay de que tengan que lanzar dicha campaña?
c) ¿Cuál es el número máximo de clientes inactivos que se espera encontrar con una probabilidad del 90 %?
De vuelta al inicio: En la fábrica de cargadores, $X \sim B(600, 0.05)$ con $np = 30 \ge 5$ y $nq = 570 \ge 5$. Entonces $\mu = 30$ y $\sigma = \sqrt{600 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{28.5} \approx 5.34$. Con la corrección por continuidad, $P(25 \le X \le 35) \to P(24.5 \le X' \le 35.5)$. Las puntuaciones z son $\pm\dfrac{5.5}{5.34} \approx \pm 1.03$. Así que la probabilidad es $2(0.8485) - 1 = 0.6970$, cerca del $69.7\%$.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel fácil en este apartado