Probabilidad condicional
El filtro de correo no deseado de tu escuela marca un mensaje como "sospechoso". El filtro detecta el 90% del spam, entonces, ¿hay un 90% de probabilidad de que este mensaje sea spam? Sorprendentemente, no. La respuesta depende de cuánto spam hay en primer lugar y de con qué frecuencia el filtro marca por error correos buenos. Esta página te da las herramientas para obtener la respuesta real: la probabilidad condicional, la ley de la probabilidad total y el teorema de Bayes. Volveremos al filtro al final.
Probabilidad condicional: P(A|B)
"¿Cuál es la probabilidad de que llueva hoy?" es una pregunta distinta de "¿Cuál es la probabilidad de que llueva hoy, dado que el cielo está lleno de nubes oscuras?" La información adicional cambia las probabilidades. Escribimos la segunda como $P(\text{lluvia} \mid \text{nubes})$ y se lee "la probabilidad de lluvia dadas las nubes".
¿Por qué dividir entre $P(B)$? Porque $B$ ahora es todo el universo. De todos los resultados dentro de $B$, preguntamos qué fracción está también en $A$. Cuando todos los resultados son igualmente probables, es simplemente un conteo: $P(A \mid B) = \dfrac{\text{número en } A \cap B}{\text{número en } B}$.
En una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta al azar. Consideramos los sucesos $A$: "sacar un rey" y $B$: "sacar una figura" (sota, caballo o rey). Calcule…
En una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta al azar. Consideramos los sucesos $A$: "sacar un rey" y $B$: "sacar una figura" (sota, caballo o rey). Calcule la probabilidad de que la carta sea un rey sabiendo que ha salido una figura, es decir, determine $P(A|B)$.
Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que la probabilidad de su intersección es $P(A \cap B) = 0,12$ y que la probabilidad del suceso $B$ es…
Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que la probabilidad de su intersección es $P(A \cap B) = 0,12$ y que la probabilidad del suceso $B$ es $P(B) = 0,4$. Calcule la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$.
En un grupo de amigos, el $60\%$ utiliza Spotify ($S$), el $40\%$ utiliza Netflix ($N$) y el $20\%$ utiliza ambas plataformas. Si elegimos a una persona que sabemos que…
En un grupo de amigos, el $60\%$ utiliza Spotify ($S$), el $40\%$ utiliza Netflix ($N$) y el $20\%$ utiliza ambas plataformas. Si elegimos a una persona que sabemos que utiliza Netflix, ¿cuál es la probabilidad de que también utilice Spotify?
Tablas de doble entrada
Cuando los datos provienen de una encuesta que clasifica a las personas según dos categorías (grado y aplicación favorita, o género y deporte), una tabla de doble entrada (two-way table) es el lugar más fácil para leer probabilidades condicionales. Algunos problemas la llaman tabla de contingencia. La condición te dice qué fila o columna mirar, y el total de esa fila o columna es tu denominador.
Aquí hay 100 estudiantes clasificados por género y por si practican un deporte escolar:
| Practica un deporte ($S$) | Ningún deporte ($N$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Chicas ($G$) | 30 | 20 | 50 |
| Chicos ($B$) | 36 | 14 | 50 |
| Total | 66 | 34 | 100 |
Se ha realizado una encuesta a 100 estudiantes de 11.º grado sobre su preferencia entre dos redes sociales. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia: |…
Se ha realizado una encuesta a 100 estudiantes de 11.º grado sobre su preferencia entre dos redes sociales. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:
| Instagram ($I$) | TikTok ($T$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Chicas ($M$) | 40 | 25 | 65 |
| Chicos ($H$) | 15 | 20 | 35 |
| Total | 55 | 45 | 100 |
Si elegimos un estudiante al azar y resulta ser una chica, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera TikTok? Calcule $P(T|M)$.
En una escuela secundaria de Houston se ha realizado un estudio sobre los hábitos de ocio de $100$ alumnos de 11.º grado. Los datos se han recogido en la siguiente tabla…
En una escuela secundaria de Houston se ha realizado un estudio sobre los hábitos de ocio de $100$ alumnos de 11.º grado. Los datos se han recogido en la siguiente tabla de contingencia, clasificando a los estudiantes por su género y su red social preferida (Instagram o TikTok):
| Instagram ($I$) | TikTok ($T$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Chicas ($M$) | $35$ | $25$ | $60$ |
| Chicos ($H$) | $15$ | $25$ | $40$ |
| Total | $50$ | $50$ | $100$ |
Si elegimos un alumno al azar, calcula las siguientes probabilidades utilizando la notación de probabilidad condicionada:
- a) Que prefiera TikTok, sabiendo que es una chica.
- b) Que sea un chico, dado que su red social preferida es Instagram.
- c) ¿Son los sucesos "ser chico" ($H$) y "preferir Instagram" ($I$) independientes? Justifica tu respuesta comparando $P(I/H)$ con $P(I)$.
La regla de la multiplicación y los diagramas de árbol
Si despejas $P(A \cap B)$ en la definición, obtienes una regla para "$A$ y $B$". Es la herramienta clave para experimentos que ocurren por etapas, como sacar dos cartas seguidas.
Muchos problemas dicen con reemplazo o sin reemplazo. Sin reemplazo, la primera extracción cambia lo que queda, así que la segunda probabilidad es condicional a la primera. Con reemplazo, nada cambia.
Comprobación: los cuatro caminos suman $\frac{20}{56} + \frac{15}{56} + \frac{15}{56} + \frac{6}{56} = 1$.
Cuando un problema dice que la primera carta extraída fue una carta específica (como "el as de picas"), la primera etapa ya es conocida. Solo necesitas la segunda etapa: quita esa carta, cuenta lo que queda y divide. Para una baraja estándar, quedan $51$ cartas, con $3$ ases.
En un centro de idiomas, el $30\%$ de los estudiantes estudia francés ($F$). De estos, el $60\%$ son estudiantes de escuela secundaria ($B$). Si seleccionamos un…
En un centro de idiomas, el $30\%$ de los estudiantes estudia francés ($F$). De estos, el $60\%$ son estudiantes de escuela secundaria ($B$). Si seleccionamos un estudiante al azar de la lista del centro, ¿cuál es la probabilidad de que estudie francés y sea de escuela secundaria? Ayúdese de la fórmula de la probabilidad condicionada: $P(F \cap B) = P(F) \cdot P(B|F)$.
Extraemos dos cartas de una baraja española sin devolución. Calcule la probabilidad de que la segunda carta sea un as, sabiendo que la primera carta extraída fue el as…
Extraemos dos cartas de una baraja española sin devolución. Calcule la probabilidad de que la segunda carta sea un as, sabiendo que la primera carta extraída fue el as de oros.
Una caja de herramientas contiene $12$ bombillas LED, de las cuales $4$ están defectuosas. Si extraemos dos bombillas de la caja de forma consecutiva y sin…
Una caja de herramientas contiene $12$ bombillas LED, de las cuales $4$ están defectuosas. Si extraemos dos bombillas de la caja de forma consecutiva y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
- a) Que la segunda bombilla sea defectuosa, sabiendo que la primera extraída funcionaba correctamente.
- b) Que ambas bombillas estén defectuosas.
- c) Que al menos una de las dos bombillas funcione correctamente.
Independencia y las reglas de probabilidad
Esa última pregunta apunta a una idea importante. Si saber que ocurrió $B$ no cambia la probabilidad de $A$, los eventos son independientes.
Para probar la independencia, compara $P(A \cap B)$ con $P(A)P(B)$. Para obtener $P(A \cap B)$ a partir de otra información, a menudo necesitarás estas reglas:
La regla de separar dice que la parte de $B$ fuera de $A$ es "todo $B$ menos la intersección". Un diagrama de Venn hace que las cuatro reglas sean fáciles de ver.
A veces un problema llama compatibles a dos eventos que pueden ocurrir juntos, es decir, cuando $P(A \cap B) > 0$. Los eventos que no pueden ocurrir juntos son mutuamente excluyentes.
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ y $P(A \cup B) = 0,85$. a) Calcule $P(A \cap B)$. b) Halle la probabilidad de…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ y $P(A \cup B) = 0,85$.
- a) Calcule $P(A \cap B)$.
- b) Halle la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$.
- c) Determine si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles y si son independientes.
Se lanzan dos dados cúbicos equilibrados con las caras numeradas del $1$ al $6$. Consideramos los siguientes sucesos: $S$: "La suma de los puntos obtenidos es igual a…
Se lanzan dos dados cúbicos equilibrados con las caras numeradas del $1$ al $6$. Consideramos los siguientes sucesos:
-
$S$: "La suma de los puntos obtenidos es igual a $7$".
-
$A$: "En el primer dado ha salido un número par".
Calcule:
- a) El espacio muestral de la suma de los puntos y la probabilidad del suceso $S$.
- b) La probabilidad de que la suma sea $7$ sabiendo que en el primer dado ha salido un número par, $P(S/A)$.
- c) ¿Influye el hecho de que el primer dado sea par en la probabilidad de que la suma sea $7$? Justifique si los sucesos son dependientes o independientes.
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que se conocen las siguientes probabilidades: $P(A^C \cup B^C) = 0,8$ $P(A^C | B) = 0,5$…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que se conocen las siguientes probabilidades:
-
$P(A^C \cup B^C) = 0,8$
-
$P(A^C | B) = 0,5$
-
$P(A \cup B) = 0,75$
Calcula, justificando cada paso mediante las propiedades de la probabilidad:
- a) $P(A \cap B)$
- b) $P(B)$
- c) $P(A)$
- d) Determina razonadamente si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
La ley de la probabilidad total
A veces un resultado puede llegar por varios caminos distintos. Para hallar su probabilidad total, halla la probabilidad de cada camino y súmalas.
Algunos problemas añaden un paso de transferencia antes de la extracción final. El truco es que la primera etapa sea la partición y calcular la probabilidad final por separado para cada caso.
En una academia de idiomas, el $40\%$ de los estudiantes estudia francés ($F$), el $30\%$ estudia alemán ($G$) y el resto estudia italiano ($I$). Se sabe que el…
En una academia de idiomas, el $40\%$ de los estudiantes estudia francés ($F$), el $30\%$ estudia alemán ($G$) y el resto estudia italiano ($I$). Se sabe que el porcentaje de estudiantes que aprueba el examen final es del $60\%$ en francés, el $50\%$ en alemán y el $80\%$ en italiano.
- a) Si elegimos un estudiante que ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que estudie alemán?
- b) Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya aprobado el examen?
Disponemos de dos urnas con la siguiente composición: Urna A: 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Urna B: 7 bolas rojas y 3 bolas azules. El experimento consiste en lanzar…
Disponemos de dos urnas con la siguiente composición:
-
Urna A: 4 bolas rojas y 6 bolas azules.
-
Urna B: 7 bolas rojas y 3 bolas azules.
El experimento consiste en lanzar un dado equilibrado de seis caras. Si sale un número primo, extraemos una bola de la Urna A y la introducimos en la Urna B sin mirar su color; a continuación, extraemos una bola de la Urna B. Si sale un número no primo, extraemos directamente una bola de la Urna B.
Calcula la probabilidad de que la bola final extraída de la Urna B sea roja.
Una plataforma de streaming* utiliza tres servidores ($S_1, S_2, S_3$) para distribuir su contenido. El $40\%$ del tráfico se gestiona desde $S_1$, el $35\%$ desde $S_2$…
Una plataforma de streaming utiliza tres servidores ($S_1, S_2, S_3$) para distribuir su contenido. El $40\%$ del tráfico se gestiona desde $S_1$, el $35\%$ desde $S_2$ y el resto desde $S_3$. Debido a la carga de red, se producen micro-cortes en la reproducción con las siguientes probabilidades:
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En el servidor $S_1$, la probabilidad de micro-corte es del $2\%$.
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En el servidor $S_2$, la probabilidad de micro-corte es del $5\%$.
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En el servidor $S_3$, la probabilidad de micro-corte es del $8\%$.
- a) Si un usuario está viendo una serie, ¿cuál es la probabilidad de que experimente un micro-corte?
- b) Si un usuario llama al servicio técnico informando de un micro-corte, ¿cuál es la probabilidad de que su conexión esté siendo servida por el servidor $S_3$?
Teorema de Bayes
La ley de la probabilidad total va de las causas a un efecto. El teorema de Bayes va en sentido contrario: si ves el efecto, ¿qué tan probable es cada causa? Convierte $P(A \mid B_i)$ en $P(B_i \mid A)$.
Ahora cerremos el círculo con el filtro de spam. Supón que el $10\%$ de los correos son spam, que el filtro marca el $90\%$ del spam y que también marca por error el $5\%$ de los correos legítimos.
Piensa en $1{,}000$ correos: $100$ son spam y $90$ de ellos se marcan. De los $900$ legítimos, se marcan $45$. Eso da $135$ correos marcados, y solo $90$ de ellos son spam.
Así que, volviendo al principio: el $90\%$ del filtro es $P(\text{marcado} \mid \text{spam})$, no $P(\text{spam} \mid \text{marcado})$. Como el correo legítimo es tan común, sus falsas alarmas son una gran parte de todos los mensajes marcados.
Un estudio médico indica que la probabilidad de que una persona de una determinada población tenga una alergia primaveral es de $0,15$. Se ha desarrollado una prueba…
Un estudio médico indica que la probabilidad de que una persona de una determinada población tenga una alergia primaveral es de $0,15$. Se ha desarrollado una prueba para detectarla, pero no es perfecta:
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Si una persona tiene alergia, la prueba da positivo en el $95\%$ de los casos.
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Si una persona no tiene alergia, la prueba da positivo (falso positivo) en el $4\%$ de los casos.
Si se elige una persona al azar y la prueba da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga alergia?
En una plataforma de streaming, el $20\%$ de los usuarios prefiere películas de terror, el $50\%$ prefiere comedias y el $30\%$ prefiere dramas. El departamento de…
En una plataforma de streaming, el $20\%$ de los usuarios prefiere películas de terror, el $50\%$ prefiere comedias y el $30\%$ prefiere dramas. El departamento de análisis de datos ha observado que la probabilidad de que un usuario termine de ver una película completa depende del género:
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Terror: $0,6$
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Comedia: $0,8$
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Drama: $0,7$
Si seleccionamos un usuario al azar y vemos que ha dejado una película a medias (no la ha terminado), ¿cuál es la probabilidad de que la película fuera de terror?
En un laboratorio de ciberseguridad, un algoritmo de inteligencia artificial analiza correos electrónicos para detectar phishing*. Se sabe que: El $5\%$ de los correos…
En un laboratorio de ciberseguridad, un algoritmo de inteligencia artificial analiza correos electrónicos para detectar phishing. Se sabe que:
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El $5\%$ de los correos que recibe la empresa son intentos de estafa (phishing).
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Si un correo es phishing, el algoritmo lo identifica correctamente como "sospechoso" en el $98\%$ de los casos.
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Si un correo es legítimo, el algoritmo se equivoca y lo marca como "sospechoso" en el $3\%$ de las ocasiones (falso positivo).
Si un empleado recibe una alerta de "correo sospechoso" en su bandeja de entrada:
- a) ¿Cuál es la probabilidad real de que el correo sea efectivamente un intento de phishing?
- b) Si el algoritmo indica que el correo es "seguro", ¿cuál es la probabilidad de que se trate de un error y realmente sea phishing?
Todo junto
Los problemas de varias partes suelen usar varias herramientas seguidas. Relaciona la pregunta con la herramienta:
Algunos problemas usan letras en lugar de números, como "sabe la respuesta con probabilidad $p$ y adivina entre $k$ opciones". Haz los mismos pasos y luego simplifica el álgebra con un denominador común. Una buena comprobación es sustituir números sencillos como $p = 0$ o $p = 1$ y ver si la respuesta tiene sentido.
Cuando un problema te pide comparar dos probabilidades o decidir si la afirmación de alguien es cierta, calcula ambos números y compáralos. Una frase breve de justificación es parte de la respuesta.
En una competición de E-sports, un jugador de League of Legends* tiene una probabilidad de victoria del $70\%$ si elige a su personaje favorito (Main*). Si no lo elige,…
En una competición de E-sports, un jugador de League of Legends tiene una probabilidad de victoria del $70\%$ si elige a su personaje favorito (Main). Si no lo elige, su probabilidad de victoria baja al $45\%$. El sistema de emparejamiento permite que el jugador consiga a su personaje favorito el $60\%$ de las veces.
- a) Calcula la probabilidad de que el jugador gane su próxima partida.
- b) Sabiendo que el jugador ha perdido la partida, ¿cuál es la probabilidad de que no haya podido jugar con su personaje favorito?
- c) ¿Son independientes los sucesos "ganar la partida" y "jugar con el personaje favorito"? Justifica tu respuesta comparando probabilidades.
Una empresa de logística tiene dos rutas para entregar pedidos en el centro de la ciudad. La ruta A es utilizada el $70\%$ de las veces y la ruta B el $30\%$ restante.…
Una empresa de logística tiene dos rutas para entregar pedidos en el centro de la ciudad. La ruta A es utilizada el $70\%$ de las veces y la ruta B el $30\%$ restante.
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Debido al tráfico, en la ruta A el repartidor llega tarde el $15\%$ de los días.
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En la ruta B, el repartidor llega tarde el $25\%$ de los días.
Un día determinado, el gerente observa que un pedido ha llegado tarde. El repartidor afirma: "Si hubiera ido por la ruta A, la probabilidad de llegar a tiempo habría sido mayor que la probabilidad de haber venido hoy por la ruta A habiendo llegado tarde". Demuestra matemáticamente si la afirmación del repartidor es verdadera o falsa calculando ambas probabilidades.
En un examen de opción múltiple, un estudiante conoce la respuesta correcta a una pregunta con probabilidad $p$ y la adivina al azar con probabilidad $1-p$. Cada…
En un examen de opción múltiple, un estudiante conoce la respuesta correcta a una pregunta con probabilidad $p$ y la adivina al azar con probabilidad $1-p$. Cada pregunta tiene $k$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta.
- a) Demuestra que la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente a la pregunta es $\frac{1 + (k-1)p}{k}$.
- b) Sabiendo que el estudiante ha contestado correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que realmente conociera la respuesta y no la haya adivinado al azar? Expresa el resultado en función de $p$ y $k$.
- c) Si una pregunta tiene 4 opciones ($k=4$) y el estudiante tiene una probabilidad del $50\%$ de conocer la respuesta ($p=0,5$), calcula el valor numérico de la parte anterior e interprétalo.