Potencias con exponentes enteros
Un video se vuelve viral y su número de vistas se duplica cada hora. Después de $h$ horas, el multiplicador es $2^h$. Es fácil interpretarlo hacia el futuro. Pero ¿qué multiplicador describe el momento en que se publicó el video, cuando $h = 0$? ¿Y qué pasa 3 horas antes de ahora, cuando $h = -3$? Hasta ahora, un exponente contaba cuántas veces se multiplica. Para manejar el exponente $0$ y los exponentes negativos, el significado tiene que cambiar: en lugar de multiplicar, un exponente negativo va a dividir.
Exponente cero y exponentes negativos
Mira las potencias de $2$ en orden. Cada vez que el exponente baja $1$, el valor se divide entre $2$. Sigue el patrón y mira adónde lleva.
La misma conclusión sale de la regla del cociente. Dividir potencias con la misma base significa restar los exponentes, y esa regla debe seguir funcionando cuando los exponentes son $0$ o negativos. Por ejemplo, $a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0$. Pero cualquier número distinto de cero dividido entre sí mismo es $1$, así que $a^0 = 1$. De la misma manera, $a^1 \div a^3 = a^{1-3} = a^{-2}$, mientras que $\dfrac{a}{a^3} = \dfrac{1}{a^2}$.
Usa el control deslizante para llevar el exponente por debajo de cero y observa cómo el valor se acerca a $0$ sin volverse negativo nunca.
Calcule el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$,…
Calcule el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ y $(-1)^{-4}$.
El signo de una potencia con base negativa
Cuando la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo. Un exponente negativo primero toma el recíproco, así que el signo depende de la base y de la paridad del exponente (par o impar):
$$(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} \qquad\qquad (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}$$Aquí la base puede escribirse como $-a$, así que el signo de la base depende de si $a$ es positivo o negativo. Primero determina el signo de la base $-a$ y luego usa la paridad del exponente.
Ahora organiza todos los casos (¿$a$ es positivo o negativo? ¿$n$ es par o impar?) en una tabla con un ejemplo para cada uno.
Analice y discuta razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o…
Analice y discuta razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o negativo, y si el número entero $n$ es par o impar. Elabore un esquema o tabla con los cuatro casos posibles resultantes de esta combinación y acompáñelo de un ejemplo numérico concreto para cada uno de los casos.
Bases fraccionarias: voltea la fracción
Cuando la base es una fracción, un exponente negativo intercambia el numerador y el denominador, y el exponente se vuelve positivo.
El mismo razonamiento con $a = 1$ te dice cuánto vale $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n}$. Da siempre las respuestas fraccionarias en su forma más simple (simplest form), es decir, en términos mínimos; si un problema te pide "simplificar" o "reducir" la fracción, se refiere exactamente a eso.
Exprese las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcule su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y…
Exprese las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcule su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.
Calcule y simplifique al máximo la siguiente expresión, expresando el resultado final como una fracción irreducible:…
Calcule y simplifique al máximo la siguiente expresión, expresando el resultado final como una fracción irreducible:
$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$
Simplifique la siguiente expresión con fracciones y exponentes negativos, aplicando las propiedades paso a paso y dando el resultado final como una fracción irreducible…
Simplifique la siguiente expresión con fracciones y exponentes negativos, aplicando las propiedades paso a paso y dando el resultado final como una fracción irreducible sin exponentes negativos:
$\left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \right]^{-3}$
Demuestre matemáticamente que, para cualquier número real $a \neq 0$ y cualquier número entero $n$, se cumple la identidad $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Utilice…
Demuestre matemáticamente que, para cualquier número real $a \neq 0$ y cualquier número entero $n$, se cumple la identidad $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Utilice para su demostración la definición estricta de potencia de exponente negativo y las propiedades de las operaciones con fracciones.
Las propiedades de las potencias con exponentes negativos
Las propiedades que ya conoces siguen funcionando cuando los exponentes son negativos. Solo suma y resta los exponentes con cuidado, con sus signos.
Aplique las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.
Aplique las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.
Simplifique la siguiente expresión resolviendo las operaciones en el numerador y el denominador, y exprese el resultado final como una única potencia:…
Simplifique la siguiente expresión resolviendo las operaciones en el numerador y el denominador, y exprese el resultado final como una única potencia: $\frac{5^{-3} \cdot 5^6}{5^2}$.
Reduzca la siguiente expresión a una sola potencia aplicando la propiedad de la potencia de una potencia: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.
Reduzca la siguiente expresión a una sola potencia aplicando la propiedad de la potencia de una potencia: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.
Utilice la propiedad del producto de potencias con el mismo exponente para expresar el siguiente cálculo como una única potencia: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.
Utilice la propiedad del producto de potencias con el mismo exponente para expresar el siguiente cálculo como una única potencia: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.
En un examen de matemáticas, un estudiante ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explique detalladamente cuál ha sido el error…
En un examen de matemáticas, un estudiante ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explique detalladamente cuál ha sido el error conceptual del estudiante, enuncie la propiedad correcta que debería haber utilizado y calcule el resultado verdadero en forma de fracción.
Escribir las bases como potencias de números primos
Muchas expresiones mezclan bases distintas, como $8$ y $4$ o $12$ y $18$. Para usar las propiedades, reescribe primero cada base como un producto de potencias de números primos.
Simplifique la siguiente fracción expresando tanto el numerador como el denominador como potencias de la misma base prima, y dé el resultado como una única potencia:…
Simplifique la siguiente fracción expresando tanto el numerador como el denominador como potencias de la misma base prima, y dé el resultado como una única potencia: $\frac{8^4}{4^5}$.
Realice las operaciones necesarias para expresar el siguiente producto como una sola potencia de base $3$: $9^2 \cdot 27^{-1} \cdot 3^4$.
Realice las operaciones necesarias para expresar el siguiente producto como una sola potencia de base $3$: $9^2 \cdot 27^{-1} \cdot 3^4$.
Simplifique la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deje el resultado…
Simplifique la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deje el resultado como un producto de potencias de números primos:
$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$
Simplificar expresiones con variables
Con variables, todas las propiedades funcionan igual, y la meta suele ser "solo exponentes positivos". Un factor con exponente negativo puede pasar al otro lado de la barra de fracción y su exponente cambia de signo.
Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales distintos de cero. Aplique las propiedades de las potencias y deje el…
Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales distintos de cero. Aplique las propiedades de las potencias y deje el resultado final expresado exclusivamente con exponentes positivos:
$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$
Simplifique la siguiente expresión algebraica, en la que $m$ y $n$ son números enteros arbitrarios. Tras realizar la simplificación, compruebe y justifique si el…
Simplifique la siguiente expresión algebraica, en la que $m$ y $n$ son números enteros arbitrarios. Tras realizar la simplificación, compruebe y justifique si el resultado final depende de los valores que tomen $m$ y $n$:
$\frac{4^{n+1} \cdot 10^{m-n}}{2^{m+n+2} \cdot 5^{m-n}}$
Ecuaciones exponenciales
Cuando la incógnita está en el exponente, trata de escribir ambos lados como potencias de la misma base. Si $b^{u} = b^{v}$ (con $b > 0$, $b \ne 1$), entonces $u = v$.
Cuando las potencias se suman o se restan, no se pueden combinar directamente. En cambio, reescribe cada una con el factor común $b^x$ y sácalo como factor común.
Encuentre el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:…
Encuentre el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:
$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$
Resuelva la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplique las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extraiga factor común:…
Resuelva la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplique las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extraiga factor común:
$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$
Modelar crecimiento y decaimiento
Muchas situaciones reales repiten la misma multiplicación en cada paso: una población se duplica, un filtro elimina dos tercios, un fractal conserva tres de cada cuatro piezas. Un factor repetido es una potencia.
Una colonia de bacterias duplica su población cada hora. Si en el momento inicial de la observación hay $150$ bacterias, escriba una expresión matemática utilizando…
Una colonia de bacterias duplica su población cada hora. Si en el momento inicial de la observación hay $150$ bacterias, escriba una expresión matemática utilizando potencias que indique la cantidad de bacterias transcurridas $h$ horas. ¿Cuántas bacterias habrá en la colonia después de $6$ horas?
En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su…
En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su tercera parte. Si la cantidad inicial de toxinas es de $81$ onzas, exprese con una potencia de exponente negativo la cantidad de toxina que queda tras pasar por $4$ filtros sucesivos y calcule su valor exacto.
Un torneo de tenis se juega por eliminatorias directas (en cada partido, el que pierde queda eliminado y el que gana pasa a la siguiente ronda). Si en la primera ronda…
Un torneo de tenis se juega por eliminatorias directas (en cada partido, el que pierde queda eliminado y el que gana pasa a la siguiente ronda). Si en la primera ronda participan $2^7$ jugadores, ¿cuántos partidos en total se habrán jugado cuando finalice el torneo y haya un único ganador absoluto? Exprese su razonamiento utilizando operaciones con potencias.
Una empresa invierte un capital de $\$5000$ en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\%…
Una empresa invierte un capital de $\$5000$ en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. La fórmula matemática correcta para calcular el capital final tras $t$ años es $C = 5000 \cdot (1,04)^t$. Si por un error informático el sistema calcula el capital usando un exponente negativo, $C_{erroneo} = 5000 \cdot (1,04)^{-t}$, ¿qué significado financiero tendría este cálculo erróneo? Además, deduzca qué relación matemática exacta existe entre el capital correcto a los $5$ años y el capital erróneo calculado para esos mismos $5$ años.
Se construye un fractal geométrico llamado "Triángulo de Sierpinski" partiendo de un triángulo equilátero relleno de color azul cuya área inicial es $1$ unidad. En cada…
Se construye un fractal geométrico llamado "Triángulo de Sierpinski" partiendo de un triángulo equilátero relleno de color azul cuya área inicial es $1$ unidad. En cada iteración (paso), se divide cada triángulo azul en cuatro triángulos equiláteros más pequeños y se extrae el triángulo central (que queda vacío/negro). Observe la figura que ilustra los primeros pasos. Determine la expresión matemática, en forma de potencia, que representa el área azul restante tras $n$ iteraciones. A partir de esa expresión, ¿cuál será el área azul exacta tras $6$ iteraciones?
La intensidad de un haz de luz al atravesar un determinado tipo de cristal tintado se reduce a los $\frac{3}{4}$ de su valor incidente. Si superponemos $n$ de estos…
La intensidad de un haz de luz al atravesar un determinado tipo de cristal tintado se reduce a los $\frac{3}{4}$ de su valor incidente. Si superponemos $n$ de estos cristales idénticos, la intensidad de la luz resultante que logra traspasarlos es $I = I_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, siendo $I_0$ la intensidad inicial. Exprese la fracción de luz que se pierde (no la que consigue pasar) tras atravesar $3$ cristales, utilizando potencias de exponente entero para sus cálculos. A la vista del resultado, determine si el sistema bloquea más o menos de la mitad de la luz original.
Volvamos al inicio: Para el video viral, el multiplicador de vistas es $2^h$. En el momento de la publicación ($h = 0$) es $2^0 = 1$, así que empiezas con $1$ vez el número original. Tres horas antes de ahora es $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ del número actual.