Funciones racionales
El club de robótica de Ava pide sudaderas con capucha personalizadas. La tienda cobra una cuota de preparación de $\$150$ más $\$12$ por sudadera. Cuantas más sudaderas pide el club, menos de la cuota le toca pagar a cada una, pero el costo por sudadera nunca baja de cierto piso, sin importar qué tan grande sea el pedido. ¿Cuál es ese piso y cómo lo encontramos sin adivinar? Las funciones como esta se llaman funciones racionales, y las herramientas de esta sección (dominio, huecos, asíntotas) responden justo ese tipo de preguntas.
Dominio de una función racional
La receta es corta: iguala el denominador a $0$, resuelve y excluye esos valores.
Mira la gráfica de abajo y fíjate en lo que pasa cerca de $x=-3$ y $x=3$: la curva se rompe.
Dos casos rápidos que conviene reconocer. Un factor repetido, como $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$, excluye un solo valor, $x = 5$. Y un denominador que nunca es cero, como $x^2 + 1$, no excluye nada: el dominio son todos los números reales.
Calcula el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Calcula el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Intersecciones, signo y simetría
Para hallar la intersección con el eje $y$, calcula $f(0)$ (si $0$ está en el dominio). Para hallar las intersecciones con el eje $x$, resuelve $P(x) = 0$ y verifica que esos valores no hagan también $0$ el denominador. Una fracción es cero solo cuando su numerador es cero.
Signo de una función racional
¿Por qué? Entre dos números "especiales" consecutivos, ni $P$ ni $Q$ pueden cruzar el cero, así que ninguno cambia de signo. Un punto de prueba te da el signo de todo el intervalo.
Par e impar
Para probar la simetría, reemplaza $x$ por $-x$ y simplifica. Si $f(-x) = f(x)$, la función es par (simétrica respecto al eje $y$). Si $f(-x) = -f(x)$, es impar (simétrica respecto al origen). Si no se cumple ninguna, no tiene esa simetría.
Halla las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Halla las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Estudia el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde…
Estudia el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde toma valores negativos.
Comprueba analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Comprueba analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Asíntotas verticales y huecos
Cuando el denominador es $0$ en $x=a$, ocurre una de dos cosas, según si el numerador también es $0$ ahí.
Cuando el denominador es una cuadrática con un parámetro desconocido, el discriminante te dice cuántos ceros tiene. Si $b^2 - 4ac < 0$, el denominador no tiene ceros reales, así que no hay asíntotas verticales (ni huecos).
Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Analiza detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina su dominio, simplifica la expresión algebraica indicando para qué valores es válida…
Analiza detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina su dominio, simplifica la expresión algebraica indicando para qué valores es válida la simplificación, halla las ecuaciones de sus asíntotas y explica qué fenómeno gráfico se produce exactamente en el punto de abscisa $x = 2$.
Discute, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina el intervalo de valores…
Discute, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina el intervalo de valores de $k$ para los cuales la función carece por completo de asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales y oblicuas
Las asíntotas verticales te dicen qué pasa cerca de un $x$ especial. Las asíntotas horizontales y oblicuas te dicen qué pasa muy lejos, cuando $x \to \infty$ y $x \to -\infty$ (el comportamiento en los extremos).
¿De qué lado de la asíntota oblicua?
Escribir $f(x) = mx+b+\dfrac{r}{Q(x)}$ también te dice si la curva queda arriba o abajo de la asíntota: mira el signo de la fracción sobrante $\dfrac{r}{Q(x)}$.
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de todas las asíntotas de la función racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.
Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de todas las asíntotas de la función racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudia la posición de la curva respecto a su…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudia la posición de la curva respecto a su asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
La función recíproca y sus transformaciones
La función racional más simple es la función recíproca $f(x) = \dfrac{1}{x}$. En general, $y = \dfrac{k}{x}$ es variación inversa: $k$ es la constante de proporcionalidad y siempre se cumple $xy = k$.
Por ser una función madre, sigue las reglas usuales de transformación.
Toda función racional de la forma $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (con $c\neq0$ y $ad-bc\neq0$) es una función recíproca transformada. Por eso todas comparten la misma forma: dos ramas alrededor de una asíntota vertical y una horizontal.
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica…
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica de la hipérbola básica $y = \frac{1}{x}$ para obtenerla.
Ecuaciones racionales, inversas y composiciones
Cómo resolver $f(x) = c$
Para hallar dónde una función racional toma un valor dado, plantea la ecuación, multiplica ambos lados por el denominador para eliminar la fracción, resuelve y verifica que la respuesta esté en el dominio.
Cómo hallar una inversa
Para hallar $f^{-1}$, intercambia $x$ y $y$ y despeja $y$. Con una función racional, la incógnita aparece dos veces, así que junta los términos con $y$ en un lado y factoriza.
Composición de funciones racionales
Para calcular $f(f(x))$, sustituye toda la expresión dentro de sí misma y luego elimina las fracciones pequeñas multiplicando el numerador y el denominador por el denominador común.
Si alguna vez encuentras que $f(f(x)) = x$ para todo $x$ del dominio, entonces $f$ se deshace a sí misma, así que $f = f^{-1}$. Como la gráfica de una inversa es el reflejo de la gráfica sobre la recta $y=x$, la gráfica de una función así es simétrica respecto a $y=x$. El ejemplo más simple es $y = \dfrac{1}{x}$.
Encuentra el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ toma exactamente el valor $f(x) = 5$.
Encuentra el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ toma exactamente el valor $f(x) = 5$.
Calcula la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ y especifica cuál es el dominio de esta nueva función $f^{-1}(x)$.
Calcula la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ y especifica cuál es el dominio de esta nueva función $f^{-1}(x)$.
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestra analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su…
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestra analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su dominio. ¿Qué conclusión geométrica sobre la gráfica de $f(x)$ puedes extraer de este resultado en relación con la recta bisectriz $y = x$?
Cómo hallar parámetros desconocidos y leer gráficas
A veces te dan las asíntotas y debes hallar la función. Convierte cada dato de la gráfica en una ecuación.
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Asíntota vertical en $x=a$: el denominador es $0$ en $x = a$ (y el numerador no).
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Asíntota horizontal $y = L$ con grados iguales: el cociente de los coeficientes principales es $L$.
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Asíntota oblicua $y=mx+b$: el cociente de la división es $mx+b$.
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Pasa por un punto $(x_0, y_0)$: sustituye, $f(x_0)=y_0$.
Cómo leer una gráfica
Cuando te dan una imagen, lee esto en orden. Primero, ¿dónde se rompe la curva? Esos valores de $x$ son las asíntotas verticales y los huecos, y quedan excluidos del dominio. Segundo, ¿a qué altura se estabiliza la curva muy a la izquierda y muy a la derecha? Esa es la asíntota horizontal. Tercero, ¿dónde cruza la curva los ejes? Esas son las intersecciones. Después construye una fórmula que coincida.
Para la familia $f(x)=\dfrac{ax^2}{x^2+b}$, el numerador y el denominador tienen el mismo grado, así que la asíntota horizontal es $y=a$. La intersección con el eje $y$ es $(0,0)$. Si $b>0$, el denominador nunca es cero: no hay asíntotas verticales y el dominio son todos los reales. Si $b<0$, hay asíntotas verticales en $x=\pm\sqrt{-b}$. Por ejemplo, una asíntota horizontal $y=2$ con asíntotas verticales $x=\pm3$ da $a=2$ y $b=-9$, así que $f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2-9}$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en $y = \frac{5}{3}$.
Encuentra los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabiendo que tiene una asíntota oblicua de ecuación…
Encuentra los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabiendo que tiene una asíntota oblicua de ecuación $y = 2x+1$ y que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(4, 15)$.
A partir de la siguiente gráfica de una función racional, determina su dominio, las ecuaciones de sus asíntotas (verticales y horizontales) y los puntos de corte con los…
A partir de la siguiente gráfica de una función racional, determina su dominio, las ecuaciones de sus asíntotas (verticales y horizontales) y los puntos de corte con los ejes. A continuación, propón una expresión algebraica del tipo $f(x) = \frac{ax^2}{x^2+b}$ que se ajuste perfectamente a todas estas características visuales.
Funciones racionales en situaciones reales
Muchas cantidades reales son "una cantidad fija repartida entre un número que cambia": una cuota de preparación repartida entre sudaderas, sal disuelta en un volumen que crece, una dosis repartida en el tiempo. Cada una es una función racional, y su asíntota horizontal tiene un significado concreto: el valor a largo plazo de la cantidad.
Volvamos al inicio: el piso del costo de las sudaderas de Ava es la asíntota horizontal $y=12$, el precio de una sola sudadera una vez que la cuota de $\$150$ se reparte entre muchas.
El costo medio de producción (en dólares) de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcula el costo medio…
El costo medio de producción (en dólares) de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcula el costo medio de fabricar 100 unidades y determina el valor hacia el que tiende el costo medio si la producción se hace infinitamente grande, interpretando el resultado en el contexto del problema.
Un depósito contiene inicialmente 500 galones de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 oz/gal a un ritmo de 10 gal/min. La…
Un depósito contiene inicialmente 500 galones de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 oz/gal a un ritmo de 10 gal/min. La concentración de sal en el tanque tras $t$ minutos viene dada por la función $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. ¿En qué instante la concentración será exactamente de 25 oz/gal? ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de esta función y qué significado físico tiene?
Dos operarios trabajan juntos para pintar un muro. El operario más joven tardaría $x$ horas en hacerlo trabajando solo, mientras que el operario de mayor edad tardaría…
Dos operarios trabajan juntos para pintar un muro. El operario más joven tardaría $x$ horas en hacerlo trabajando solo, mientras que el operario de mayor edad tardaría $x+3$ horas. El tiempo total $T(x)$ que tardan si trabajan simultáneamente viene dado por la función $T(x) = \frac{x(x+3)}{2x+3}$. Si trabajando juntos logran terminar el trabajo en exactamente 2 horas, ¿cuánto tiempo habría tardado el operario joven en pintar el muro él solo?
Herramientas algebraicas: cotas, crecimiento e intersecciones
Sin cálculo todavía puedes responder tres preguntas con álgebra: "¿cuál es el valor más grande?", "¿siempre crece?" y "¿cuántas veces corta una recta a la curva?"
Acotar las salidas con el discriminante
Para hallar qué valores $y$ puede tomar una función, escribe $y=f(x)$, elimina la fracción y trata la ecuación como una cuadrática en $x$. La ecuación tiene una solución real $x$ solo cuando su discriminante es $\ge 0$. Esa condición da los valores posibles de $y$.
Cómo mostrar que una función es creciente
Primero divide los polinomios. Una forma como $A-\dfrac{B}{\text{algo creciente}}$ hace fácil ver la monotonía.
Intersección de una recta con una curva racional
Para hallar dónde una recta corta una curva racional, iguala las dos expresiones, elimina el denominador y estudia la cuadrática resultante. El discriminante te dice cuántos puntos de intersección hay: $\Delta>0$ da dos, $\Delta=0$ da exactamente uno y $\Delta<0$ da ninguno. No olvides descartar cualquier solución que no esté en el dominio y tratar por separado el caso en que el coeficiente principal es $0$.
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión…
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (medida en mg/L). Sin utilizar herramientas de derivación, demuestra de forma puramente algebraica que la concentración máxima nunca puede superar los $5$ mg/L y determina en qué instante exacto $t$ se alcanza dicha concentración máxima. (Sugerencia: Plantea la igualdad $C = \frac{30t}{t^2+9}$ como una ecuación de segundo grado en la variable $t$ y analiza la condición que debe cumplir su discriminante para que el tiempo sea un número real).
Determina los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único…
Determina los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único punto. Interpreta geométricamente qué representan esas rectas específicas para la curva.
La población de una especie de pez en un lago protegido sigue un modelo de crecimiento dado por la función $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, donde $t \ge 0$ se mide en…
La población de una especie de pez en un lago protegido sigue un modelo de crecimiento dado por la función $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, donde $t \ge 0$ se mide en años desde el inicio del estudio. Determina la población inicial, la población a muy largo plazo (límite cuando $t \to +\infty$) y demuestra algebraicamente que la población está siempre creciendo a medida que pasa el tiempo. (Sugerencia: Intenta expresar la fracción en la forma $A - \frac{B}{t^2+1}$ realizando la división polinómica).