"Datos bivariados: covarianza, correlación y rectas de regresión"
Emma quiere entrar al equipo de baloncesto de la escuela. Cada semana anota las horas que dedica a practicar tiros libres y cuántos encestes logra en una prueba de 20 tiros.
| Horas de práctica ($X$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tiros encestados de 20 ($Y$) | 8 | 11 | 12 | 15 | 19 |
Los puntos suben, pero tú quieres números. ¿Qué tan fuerte es el patrón? ¿Cambia si ella anota el tiempo en minutos? ¿Cuántos tiros debería esperar después de 4.5 horas, y puede confiar en esa predicción? Vamos a construir las herramientas para responder todo esto.
El punto medio y las desviaciones estándar
Empieza con cada variable por separado. Estos son los parámetros marginales: la media $\bar x$ y la desviación estándar $\sigma_x$ de los valores de $x$, y lo mismo para $y$.
Para la dispersión, divide entre $n$:
$$\sigma_x = \sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\bar x^2}$$La segunda forma es más rápida a mano: solo necesitas $\sum x_i^2$ y la media. En la calculadora, usa el valor $\sigma_x$, no el valor $S_x$, que divide entre $n-1$. Algunos problemas escriben $s_x$ en lugar de $\sigma_x$. En esta página significan lo mismo. Algunos problemas también llaman al punto medio centro de gravedad.
Un grupo de amigos analiza la relación entre las horas que pasan jugando a un videojuego a la semana ($X$) y la puntuación obtenida en el último torneo ($Y$). Los datos…
Un grupo de amigos analiza la relación entre las horas que pasan jugando a un videojuego a la semana ($X$) y la puntuación obtenida en el último torneo ($Y$). Los datos de cuatro de ellos son: $(2, 150)$, $(4, 300)$, $(6, 450)$ y $(8, 500)$.
Calcule las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de esta distribución bidimensional y represéntelo en un diagrama de dispersión junto con los puntos anteriores.
Dada la siguiente tabla de valores que representa el número de seguidores en una red social en miles ($X$) y los ingresos por publicidad en dólares ($Y$) de 5…
Dada la siguiente tabla de valores que representa el número de seguidores en una red social en miles ($X$) y los ingresos por publicidad en dólares ($Y$) de 5 influencers:
| $X$ (seguidores) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| $Y$ (ingresos) | 100 | 150 | 250 | 300 | 450 |
Calcule las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de horas semanales que los adolescentes dedican a la lectura por placer ($X$) y su puntuación en un test de…
Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de horas semanales que los adolescentes dedican a la lectura por placer ($X$) y su puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$). Los datos de una muestra de 5 estudiantes se recogen en la siguiente tabla:
| Horas ($X$) | 2 | 4 | 5 | 8 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| Puntuación ($Y$) | 62 | 70 | 75 | 88 | 95 |
- a) Calcule las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
- b) Determine las desviaciones típicas marginales $\sigma_x$ y $\sigma_y$.
- c) Represente el centro de gravedad de la distribución en un diagrama de dispersión.
Qué mide la covarianza
Traza una recta vertical por $\bar x$ y una horizontal por $\bar y$. Dividen el diagrama de dispersión en cuatro regiones. Para cada punto, observa sus desviaciones $x_i - \bar x$ y $y_i - \bar y$ y multiplícalas.
Compruébalo con Emma. Sus desviaciones de $x - 3$ son $-2, -1, 0, 1, 2$ y las de $y - 13$ son $-5, -2, -1, 2, 6$. Los productos son $10, 2, 0, 2, 12$, que suman $26$. Así que $\sigma_{xy} = \dfrac{26}{5} = 5.2 > 0$: más práctica va con más tiros encestados.
Indique, sin realizar cálculos, qué signo espera que tenga la covarianza $\sigma_{xy}$ en las siguientes situaciones. Justifique su respuesta basándose en la relación…
Indique, sin realizar cálculos, qué signo espera que tenga la covarianza $\sigma_{xy}$ en las siguientes situaciones. Justifique su respuesta basándose en la relación entre las variables:
- a) $X$: Velocidad de un carro, $Y$: Tiempo tardado en recorrer una distancia fija.
- b) $X$: Horas de estudio de un idioma, $Y$: Número de palabras conocidas en ese idioma.
- c) $X$: Talla de calzado de una persona, $Y$: Su calificación en el examen de Historia.
Observe la siguiente nube de puntos que representa la relación entre la inversión en publicidad de 8 pequeñas empresas y sus ganancias mensuales (ambas en miles de…
Observe la siguiente nube de puntos que representa la relación entre la inversión en publicidad de 8 pequeñas empresas y sus ganancias mensuales (ambas en miles de dólares).
- a) Justifique, sin realizar cálculos, si el signo de la covarianza será positivo o negativo.
- b) Elija razonadamente cuál de los siguientes valores podría ser el coeficiente de correlación de Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
- c) ¿Qué ocurriría con el valor de $r$ si decidiéramos expresar los datos en dólares en lugar de en miles de dólares?
Cálculo de la covarianza con sumas
Restar las medias a cada valor es lento. Hay un atajo que solo necesita los totales de una tabla.
En un estudio sobre el rendimiento físico, se mide el número de pulsaciones en reposo ($X$) y el tiempo en segundos que se tarda en recuperar el ritmo normal tras un…
En un estudio sobre el rendimiento físico, se mide el número de pulsaciones en reposo ($X$) y el tiempo en segundos que se tarda en recuperar el ritmo normal tras un esfuerzo ($Y$). Se sabe que la suma de los productos de las variables es $\sum x_i y_i = 15200$, el número de individuos es $n = 10$, y las medias son $\bar{x} = 70$ y $\bar{y} = 20$.
Utilice la fórmula simplificada $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x} \bar{y}$ para calcular la covarianza. ¿Qué indica el signo del resultado sobre la relación entre las pulsaciones y el tiempo de recuperación?
Una plataforma de streaming quiere comprobar si existe relación entre la duración de una serie (en número de temporadas, $X$) y la calificación media de los usuarios…
Una plataforma de streaming quiere comprobar si existe relación entre la duración de una serie (en número de temporadas, $X$) y la calificación media de los usuarios (sobre 10 puntos, $Y$). Se dispone de los siguientes parámetros tras analizar 50 series:
$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$
- a) Calcule la covarianza $\sigma_{xy}$.
- b) Interprete el resultado obtenido en el contexto del problema: ¿tienden las series más largas a tener mejores o peores calificaciones?
Cambio de unidades: traslaciones y estiramientos
¿Qué pasa si Emma anota el tiempo en minutos en lugar de horas? ¿O si un maestro suma 5 puntos extra a cada calificación? Estos son cambios lineales: $X' = aX + b$ y $Y' = cY + d$.
Se sabe que la relación entre el gasto en calefacción ($Y$, en dólares) y la temperatura media exterior ($X$, en $^\circ C$) durante el invierno sigue una distribución…
Se sabe que la relación entre el gasto en calefacción ($Y$, en dólares) y la temperatura media exterior ($X$, en $^\circ C$) durante el invierno sigue una distribución bidimensional con coeficiente de correlación $r = -0,85$. La temperatura media ha sido de $8$ $^\circ C$ con una desviación típica de $3$ $^\circ C$, mientras que el gasto medio ha sido de $\$150$ con una varianza de $400\,\$^2$.
Si para el próximo año se prevé un cambio climático que hará que todas las temperaturas suban $2$ $^\circ C$ y el precio del gas se incremente de forma que todos los gastos se multipliquen por $1,2$:
- a) ¿Cómo afectarán estos cambios al nuevo coeficiente de correlación? Justifica tu respuesta sin realizar cálculos exhaustivos.
- b) Calcula la nueva covarianza entre la temperatura y el gasto tras aplicar ambas transformaciones.
- c) Halla la nueva recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
El coeficiente de correlación r
La covarianza depende de las unidades. Para obtener un número puro, elimina las unidades dividiendo.
Relacione cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal ($r$) con su nube de puntos correspondiente, razonando brevemente su respuesta:…
Relacione cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal ($r$) con su nube de puntos correspondiente, razonando brevemente su respuesta:
-
$r = 0,95$
-
$r = -0,80$
-
$r = 0,05$
Una nutricionista estudia la relación entre los gramos de azúcar ($X$) y las kilocalorías ($Y$) de cinco tipos de barras energéticas. Ha obtenido los siguientes…
Una nutricionista estudia la relación entre los gramos de azúcar ($X$) y las kilocalorías ($Y$) de cinco tipos de barras energéticas. Ha obtenido los siguientes parámetros marginales:
-
Media de azúcar: $\bar{x} = 12$ g
-
Media de energía: $\bar{y} = 210$ kcal
-
Desviaciones típicas: $\sigma_x = 3$ g y $\sigma_y = 25$ kcal
-
Covarianza: $\sigma_{xy} = 60$
Calcule el coeficiente de correlación lineal ($r$) e interprete si existe una relación fuerte entre ambas variables.
Observe el siguiente diagrama de dispersión que relaciona la temperatura exterior ($X$) y el consumo de calefacción ($Y$) en un edificio escolar durante una semana de…
Observe el siguiente diagrama de dispersión que relaciona la temperatura exterior ($X$) y el consumo de calefacción ($Y$) en un edificio escolar durante una semana de invierno.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los parámetros es correcta?
-
La covarianza será positiva porque al aumentar la temperatura aumenta el consumo.
-
El coeficiente de correlación $r$ será cercano a $-1$ porque la relación es inversa y clara.
-
El centro de gravedad estará situado en el origen $(0,0)$.
El coeficiente de determinación
¿Cuánto ayuda conocer $X$ para predecir $Y$? Elevar $r$ al cuadrado lo responde.
Si el coeficiente de determinación de una distribución bidimensional es $R^2 = 0,81$, calcule el valor del coeficiente de correlación $r$ (suponiendo que la relación es…
Si el coeficiente de determinación de una distribución bidimensional es $R^2 = 0,81$, calcule el valor del coeficiente de correlación $r$ (suponiendo que la relación es directa) y explique qué porcentaje de la variación de la variable $Y$ queda explicada por la variable $X$.
En un entrenamiento de básquetbol, se registra la distancia a la canasta en pies ($X$) y el número de canastas encestadas de cada 10 intentos ($Y$) para un grupo de…
En un entrenamiento de básquetbol, se registra la distancia a la canasta en pies ($X$) y el número de canastas encestadas de cada 10 intentos ($Y$) para un grupo de jugadores. Los datos resumen son:
$\bar{x} = 4,5 \text{ m} \quad \sigma_x = 1,2 \text{ m}$
$\bar{y} = 6 \text{ aciertos} \quad \sigma_y = 1,8 \text{ aciertos}$
$\sigma_{xy} = -1,944$
- a) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson e interprete su fuerza y sentido.
- b) Calcule el coeficiente de determinación $r^2$ y explique qué porcentaje de la variación de los aciertos queda explicado por la distancia a la canasta.
Parámetros a partir de tablas de frecuencias
Cuando muchas personas comparten los mismos valores, los datos vienen en una tabla de frecuencias de doble entrada. Cada celda $f_{ij}$ cuenta cuántos casos tienen $X = x_i$ y $Y = y_j$.
Aquí $X$ son las horas de estudio y $Y$ es la calificación de una prueba corta sobre 10 para 15 estudiantes.
| $X \setminus Y$ | 6 | 8 | 10 | Total |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 1 | 0 | 4 |
| 2 | 1 | 3 | 1 | 5 |
| 3 | 0 | 1 | 5 | 6 |
| Total | 4 | 5 | 6 | 15 |
La distribución marginal de $X$ es la última columna (los totales de las filas). La distribución marginal de $Y$ es la última fila (los totales de las columnas). Los totales deben sumar $N$ en ambos sentidos. Si falta un total, réstale las celdas conocidas.
Cuando la tabla usa intervalos como $[0, 5)$, reemplaza cada intervalo por su punto medio ($2.5$ para $[0, 5)$) y luego usa las mismas fórmulas.
Comparar la dispersión: el coeficiente de variación
Para comparar la dispersión de variables medidas en unidades distintas, divide entre la media: $CV = \dfrac{\sigma}{|\bar x|}$. Por ejemplo, las estaturas de estudiantes de 8.º grado con media de $62$ in. y $\sigma = 3$ in. tienen $CV \approx 4.8\%$. Los pesos con media de $110$ lb y $\sigma = 15$ lb tienen $CV \approx 13.6\%$. Los pesos muestran más dispersión relativa, aunque $15$ no sea "mayor" que $3$ en ningún sentido significativo.
En una academia de idiomas se ha observado la relación entre las horas semanales de estudio personal ($X$) y la puntuación en el examen final ($Y$) de un grupo de…
En una academia de idiomas se ha observado la relación entre las horas semanales de estudio personal ($X$) y la puntuación en el examen final ($Y$) de un grupo de alumnos. La tabla de frecuencias conjuntas es la siguiente, donde se han perdido tres valores ($a, b, c$):
| $X \setminus Y$ | $40$ | $60$ | $80$ | Total $n_i$ |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $4$ | $2$ | $0$ | $a$ |
| $5$ | $1$ | $b$ | $3$ | $10$ |
| $8$ | $0$ | $1$ | $5$ | $c$ |
| Total $n_j$ | $5$ | $9$ | $8$ | $22$ |
- a) Calcula los valores de $a, b$ y $c$.
- b) Determina la distribución marginal de la variable $Y$ y calcula su media y su varianza.
- c) Calcula la media de la puntuación en el examen ($Y$) condicionada a que los alumnos estudian $5$ horas semanales ($X=5$).
Se ha realizado una encuesta sobre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$). Los resultados se agrupan en la…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$). Los resultados se agrupan en la siguiente tabla:
| $X \setminus Y$ | $[0, 20)$ | $[20, 40)$ | $[40, 60)$ |
|---|---|---|---|
| $[0, 5)$ | $8$ | $2$ | $0$ |
| $[5, 10)$ | $1$ | $12$ | $3$ |
| $[10, 15)$ | $0$ | $4$ | $10$ |
Utilizando las marcas de clase para ambas variables:
- a) Calcule el centro de gravedad de la distribución.
- b) Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.
- c) ¿Cuál de las dos variables presenta una mayor dispersión relativa? Utilice el coeficiente de variación para justificar su respuesta.
Rectas de regresión y predicciones
Una recta de regresión es la recta de mejor ajuste que pasa por la nube de puntos (la recta de mínimos cuadrados). Hay dos, según qué variable quieras predecir.
Un residuo es un error de predicción: $\text{residuo} = \text{observado} - \text{predicho}$. Un residuo positivo significa que el punto queda por encima de la recta.
Volvamos con Emma. Su recta de $Y$ sobre $X$ tiene pendiente $\dfrac{5.2}{2} = 2.6$, así que $y - 13 = 2.6(x - 3)$, es decir, $y = 2.6x + 5.2$. Para $4.5$ horas, $y = 2.6(4.5) + 5.2 = 16.9$, así que debería esperar unos $17$ tiros encestados de $20$. Con $r \approx 0.98$ y $4.5$ dentro del rango de sus datos, esa predicción es confiable.
Se ha estudiado la relación entre el gasto semanal en alimentación de una familia ($X$) y sus ingresos semanales ($Y$), ambos en dólares. Se han obtenido los siguientes…
Se ha estudiado la relación entre el gasto semanal en alimentación de una familia ($X$) y sus ingresos semanales ($Y$), ambos en dólares. Se han obtenido los siguientes datos:
$\bar{x} = 180, \quad \sigma_x^2 = 900, \quad \bar{y} = 600, \quad \sigma_y^2 = 2500, \quad \sigma_{xy} = 1200$
- a) Halle la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
- b) Si una familia gasta $\$250$ en alimentación, ¿cuáles serían sus ingresos estimados según el modelo?
- c) ¿Es fiable esta predicción? Justifique su respuesta calculando el coeficiente de correlación.
Se analiza la relación entre el precio de un boleto de avión ($X$) y la antelación con la que se compra en días ($Y$). Se sabe que la correlación es $r = -0,82$. Si las…
Se analiza la relación entre el precio de un boleto de avión ($X$) y la antelación con la que se compra en días ($Y$). Se sabe que la correlación es $r = -0,82$.
Si las desviaciones típicas son $\sigma_x = 45 \text{ \$}$ y $\sigma_y = 12 \text{ días}$, y las medias son $\bar{x} = 150 \text{ \$}$ y $\bar{y} = 25 \text{ días}$:
- a) Calcule la covarianza de la distribución.
- b) Calcule la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ para estimar el precio del boleto en función de los días de antelación.
- c) ¿Qué precio se estimaría para un boleto comprado con 40 días de antelación?
Una plataforma de streaming analiza la relación entre el número de seguidores de un "streamer" (variable $X$, en miles) y los ingresos mensuales por suscripciones…
Una plataforma de streaming analiza la relación entre el número de seguidores de un "streamer" (variable $X$, en miles) y los ingresos mensuales por suscripciones (variable $Y$, en dólares). Se conocen los siguientes datos sumatorios tras estudiar a $20$ creadores de contenido:
$\sum x_i = 400$
$\sum y_i = 60.000$
$\sum x_i^2 = 12.000$
$\sum y_i^2 = 250.000.000$
$\sum x_i y_i = 1.500.000$
Calcula:
- a) La covarianza $s_{xy}$ y las desviaciones típicas marginales $s_x$ y $s_y$.
- b) El coeficiente de correlación lineal. ¿Qué porcentaje de la variación de los ingresos queda explicado por el número de seguidores?
- c) Un streamer decide invertir en publicidad para aumentar su base de seguidores de $25.000$ a $35.000$. Según el modelo lineal, ¿en cuánto se estima que incrementarán sus ingresos mensuales?
Cómo trabajar a la inversa a partir de las dos rectas
Con frecuencia un problema te da las rectas de regresión y te pide los parámetros.
Un agricultor observa que la producción de su cosecha de naranjas depende de las horas de sol recibidas durante la etapa de maduración. Las rectas de regresión obtenidas…
Un agricultor observa que la producción de su cosecha de naranjas depende de las horas de sol recibidas durante la etapa de maduración. Las rectas de regresión obtenidas de datos históricos son:
Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12$
Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 4$
- a) Determine el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución.
- b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson a partir de las pendientes de las dos rectas de regresión.
En un estudio sobre el mercado inmobiliario en una ciudad costera, se han obtenido las ecuaciones de las dos rectas de regresión que relacionan el precio de venta de los…
En un estudio sobre el mercado inmobiliario en una ciudad costera, se han obtenido las ecuaciones de las dos rectas de regresión que relacionan el precio de venta de los apartamentos, $Y$ (en cientos de miles de dólares), con su superficie, $X$ (en pies cuadrados):
-
Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,012x + 0,5$
-
Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 65y - 20$
Determina razonadamente:
- a) El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
- b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, e interpreta su signo y su fuerza.
- c) Si un apartamento tiene una superficie de $120$ $m^2$, ¿cuál sería su precio estimado? ¿Es esta estimación confiable? Justifica tu respuesta utilizando el coeficiente de determinación.
En una muestra de 100 viviendas, se estudia la superficie en $m^2$ ($X$) y el consumo eléctrico mensual en $kWh$ ($Y$). Se conoce la siguiente información: El centro de…
En una muestra de 100 viviendas, se estudia la superficie en $m^2$ ($X$) y el consumo eléctrico mensual en $kWh$ ($Y$). Se conoce la siguiente información:
-
El centro de gravedad es $G(90, 350)$.
-
La varianza de la superficie es $400$.
-
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,6x + 296$.
- a) ¿Cuál es el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$?
- b) Sabiendo que la desviación típica del consumo es $\sigma_y = 15$, calcule el coeficiente de correlación.
- c) Si una vivienda tiene una superficie de $120 \text{ m}^2$, calcule el residuo (error de predicción) si el consumo real observado fue de $375 \text{ kWh}$.
Casos especiales y el ángulo entre las rectas
Las dos rectas de regresión siempre se cruzan en el punto medio. Mientras más fuerte es la correlación, más juntas están.
¿Por qué las rectas pueden ser perpendiculares solo cuando $r = 0$? Las rectas perpendiculares (que no son horizontales ni verticales) tienen pendientes cuyo producto es $-1$. Al escribir ambas rectas como $y = mx + b$, las pendientes son $\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}$ y $\dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_{xy}}$. Su producto es $\dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} > 0$, nunca $-1$. Así que la única opción perpendicular es una recta horizontal que corta a una vertical.
Un sociólogo estudia la relación entre la edad de emancipación de los jóvenes ($X$) y el nivel de renta per cápita de su región ($Y$). Al representar la nube de puntos,…
Un sociólogo estudia la relación entre la edad de emancipación de los jóvenes ($X$) y el nivel de renta per cápita de su región ($Y$). Al representar la nube de puntos, observa que el centro de gravedad es $G(28, 1400)$. Una de las rectas de regresión es $y = -50x + 2800$. Sabiendo que la varianza de la edad es $s_x^2 = 9$ y la varianza de la renta es $s_y^2 = 360.000$:
- a) Calcula la covarianza $s_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal.
- b) Obtén la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
- c) Determina el ángulo que forman ambas rectas de regresión. ¿Permite este ángulo, por sí solo, afirmar que la correlación es fuerte? Justifícalo comparándolo con el valor de $r$.
Dos variables $X$ e $Y$ tienen desviaciones típicas marginales $s_x = 4$ y $s_y = 6$. Se sabe que las dos rectas de regresión son perpendiculares entre sí. a) ¿Cuál es…
Dos variables $X$ e $Y$ tienen desviaciones típicas marginales $s_x = 4$ y $s_y = 6$. Se sabe que las dos rectas de regresión son perpendiculares entre sí.
- a) ¿Cuál es el valor de la covarianza $s_{xy}$ y del coeficiente de correlación $r$?
- b) ¿Qué implica este resultado para la capacidad predictiva del modelo lineal?
- c) Si añadiéramos un nuevo punto $(x, y)$ a la distribución que coincidiera exactamente con el centro de gravedad, ¿cambiaría el valor del coeficiente de correlación? Razone la respuesta.
Dada una distribución bidimensional, se ha comprobado que las desviaciones típicas de ambas variables son iguales ($s_x = s_y$). a) Demuestre algebraicamente que, en…
Dada una distribución bidimensional, se ha comprobado que las desviaciones típicas de ambas variables son iguales ($s_x = s_y$).
- a) Demuestre algebraicamente que, en este caso, el coeficiente de correlación lineal coincide con la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
- b) Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,6x + 2$, ¿cuál es el coeficiente de determinación?
- c) ¿Cuál sería la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ en estas condiciones?