Se te acaba la batería de la calculadora en medio de un quiz, y la pregunta pide el valor exacto de $\sin 75^\circ$. El ángulo $75^\circ$ no está en la tabla de ángulos especiales, y es tentador escribir $\sin 45^\circ + \sin 30^\circ$. Eso es incorrecto. En esta sección aprenderás las fórmulas correctas, que te permiten construir valores exactos de ángulos nuevos a partir de los que ya conoces.
Las fórmulas de suma
Supón que giras un ángulo $\alpha$ y luego otro ángulo $\beta$. El giro total es $\alpha + \beta$. Las fórmulas siguientes te dan el seno, el coseno y la tangente de ese giro total usando solo las razones de $\alpha$ y de $\beta$ por separado.
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Exprese $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el…
Exprese $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el resultado.
Halle el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionalice el resultado si…
Halle el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionalice el resultado si es necesario.
Calcule de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utilice este resultado geométrico para hallar el área…
Calcule de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utilice este resultado geométrico para hallar el área exacta de un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden $8$ pulgadas y $10$ pulgadas, sabiendo que el ángulo que forman es precisamente la suma de $15^\circ$ y $30^\circ$.
Muchos problemas no te dan $\alpha$ ni $\beta$, solo algunas de sus razones. Las fórmulas de suma necesitan los cuatro valores: $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\sin\beta$, $\cos\beta$. Así que primero halla los que faltan con la identidad pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, o con un triángulo rectángulo, y presta atención al cuadrante.
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Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante),…
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante), calcule el valor exacto de $\sin(\alpha + \beta)$.
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con…
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcule el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$.
Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma…
Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma línea visual, hay una torre de telecomunicaciones. El ángulo adicional de elevación desde la azotea del edificio hasta la punta de la torre, medido desde la visual anterior, es $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sabiendo que ambos ángulos son agudos, calcule el valor exacto del coseno del ángulo total de elevación $\alpha + \beta$ hacia la punta de la torre.
Las fórmulas de suma también son herramientas de álgebra. Para simplificar una expresión o demostrar una identidad que tiene una suma adentro, desarrolla la suma, sustituye los valores exactos y combina términos semejantes.
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Demuestre la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:…
Demuestre la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:
Simplifique la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
Simplifique la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestre matemáticamente la siguiente relación…
En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestre matemáticamente la siguiente relación fundamental:
A veces lo único que conoces son las tangentes, como las pendientes de dos rampas. Entonces la fórmula de la tangente es la mejor herramienta. Fíjate en el menos del denominador, y en que la tangente trabaja con pendientes, así que no hacen falta raíces cuadradas.
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Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determine el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determine el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en…
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en invierno, un mecanismo aumenta la inclinación en un ángulo adicional de $15^\circ$. Calcule el valor exacto de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sin utilizar aproximaciones decimales, sabiendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación…
En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, y el segundo una desviación adicional $\beta$ tal que $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Demuestre que la desviación total $\alpha + \beta$ es exactamente $45^\circ$ calculando la tangente del ángulo suma.
¿Qué pasa si conoces la suma y uno de los ángulos, y necesitas el otro? Pon los números conocidos en la fórmula de la tangente y obtendrás una ecuación en $\tan\beta$. Resuélvela como cualquier ecuación lineal.
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Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determine el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la…
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determine el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de adición.
Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el…
Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el primer cuadrante). El segundo eslabón forma un ángulo $\beta$ de giro relativo respecto a la prolongación del primer eslabón. Si para alcanzar una pieza crítica se requiere que la inclinación total del segundo eslabón respecto a la horizontal sea tal que $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcule el valor exacto de $\tan \beta$.
Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte…
Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte corriente de viento lateral desvía su trayectoria un ángulo adicional $\beta$ hacia el norte, de modo que el rumbo efectivo sobre el suelo forma un ángulo $\alpha + \beta$ con el este. Si la torre de control mide que la tangente del rumbo efectivo es $\frac{12}{5}$, halle los valores exactos de $\sin \beta$ y $\cos \beta$ sin recurrir al cálculo de los ángulos con calculadora.
Cuando el ángulo desconocido aparece dentro de una suma, desarróllala. Entonces la ecuación solo tiene $\sin x$ y $\cos x$, y por lo general puedes reducirla a una sola tangente.
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Resuelva la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Exprese las soluciones de forma exacta en grados.
Resuelva la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Exprese las soluciones de forma exacta en grados.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y dé los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes: $\sin(x+y) = 1$…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y dé los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes:
Volvamos al principio: para hallar $\sin 75^\circ$ de forma exacta, escribe $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ y aplica $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. El resultado es $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$, no $\sin 45^\circ + \sin 30^\circ$.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado