El teorema del binomio

Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Utiliza el triángulo de Pascal (o de Tartaglia) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.

Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.

Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.

Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.

Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.

Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.

Halla el término independiente de $x$ en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ y determina qué posición ocupa dicho término en el desarrollo ordenado según las potencias decrecientes del primer sumando.

Halla el coeficiente numérico que acompaña a $x^4$ en el desarrollo del binomio $\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^7$.

Calcula el coeficiente que acompaña a $x^5$ en el desarrollo completo del producto de polinomios $(1 + x)^4 \cdot (1 - 2x)^5$.

Encuentra el valor del parámetro real $k$ para que el coeficiente del término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sea exactamente igual a $-160$.

Determina los valores reales positivos de los parámetros $a$ y $b$ en el binomio $(ax + b)^5$ sabiendo que el segundo término de su desarrollo es $240x^4$ y el tercer término de su desarrollo es $720x^3$.

Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el desarrollo del binomio de Newton para $(1+1)^n$. Aplica este resultado para determinar cuántos grupos distintos (de cualquier tamaño, incluyendo el grupo vacío) se pueden formar con los $8$ empleados de una oficina.

Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales. Posteriormente, utiliza las propiedades de los números combinatorios para resolver el siguiente sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ naturales:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$

Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.

Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.

Resuelve la siguiente ecuación algebraica en la que intervienen números combinatorios y factoriales, determinando el valor del número natural $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 2\binom{x}{2} = 14 + \binom{x-1}{1}$.

En un estudio de genética de poblaciones, la distribución teórica de ciertos genotipos en una generación viene dada por el desarrollo del binomio $(p + q)^4$, donde $p$ y $q$ son las frecuencias alélicas. Si $p = 0,6$ y $q = 0,4$, calcula el valor numérico del término que contiene la expresión $p^2q^2$ e interpreta su significado matemático dentro del desarrollo.

En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por el término general $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, donde $p$ es la probabilidad de que un componente individual sea defectuoso. Si en un lote de $10$ componentes, la probabilidad de encontrar exactamente $4$ defectuosos es el doble que la de encontrar $3$ defectuosos, plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $p$.

En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton para desarrollar $(1 + r)^5$. Si la tasa de interés es $r = 0,03$, calcula una aproximación del capital final para un capital inicial de $\$1000$ utilizando únicamente los tres primeros términos del desarrollo.

El volumen de un cubo metálico de arista $L$ a cierta temperatura es $V = L^3$. Al calentarse, su arista se dilata linealmente pasando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$. Desarrolla la expresión del nuevo volumen utilizando el binomio de Newton y, sabiendo que el producto $\alpha \Delta T$ es un valor muy pequeño (del orden de $10^{-5}$), justifica matemáticamente por qué el incremento de volumen $\Delta V$ se puede aproximar por la expresión $3 L^3 \alpha \Delta T$.

En un experimento de óptica, la intensidad de luz en un patrón de interferencia múltiple requiere calcular el desarrollo del binomio $(1 + \cos \theta)^n$. Para un sistema de $6$ rendijas ($n=6$), desarrolla la expresión indicando los coeficientes combinatorios y determina el coeficiente del término que contiene $\cos^4 \theta$. Si en un punto de la pantalla se cumple que $\cos \theta = \frac{1}{2}$, ¿cuál es el valor exacto de la suma de los tres últimos términos de dicho desarrollo?