Funciones pares e impares
Imagina el corte transversal de una rampa en forma de media tubería (half-pipe) en un skatepark. La pared izquierda es una imagen en espejo perfecta de la pared derecha. Ahora imagina una rueda de la fortuna: si la giras 180°, se ve exactamente igual. Algunas funciones se comportan como la media tubería, otras como la rueda de la fortuna, y la mayoría como ninguna de las dos. ¿Puedes saber cuál es cuál solo con la fórmula, sin dibujar nada?
Pares, impares y simetría
Dos tipos de simetría aparecen una y otra vez en las gráficas. Una es la imagen en espejo respecto al eje $y$. La otra es una rotación de 180° alrededor del origen.
¿Por qué esos nombres? Lo deciden las potencias de $x$. $x^2, x^4, x^6$ son funciones pares, y $x, x^3, x^5$ son funciones impares.
Para leer la paridad en una gráfica, mira pares de puntos correspondientes en $x = a$ y $x = -a$:
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La misma altura en $x = a$ y $x = -a$ significa que es par.
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Alturas opuestas (a la misma distancia del eje $x$, una arriba y otra abajo) significa que es impar.
Si solo puedes ver la mitad derecha de una gráfica, la paridad te dice cómo completarla. En una función par, refleja la mitad derecha respecto al eje $y$. En una función impar, gírala 180° alrededor del origen.
Observa la siguiente gráfica y clasifica la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando tu respuesta a partir de los puntos destacados.
Observa la siguiente gráfica y clasifica la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando tu respuesta a partir de los puntos destacados.
La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describe cómo…
La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describe cómo sería la mitad izquierda y qué valor tomará $f(-x)$ en función de $f(x)$.
Usar la paridad para hallar valores
La paridad es un atajo. Si conoces $f(a)$ y sabes que la función es par o impar, conoces al instante $f(-a)$.
¿Por qué funciona? La definición $f(-x) = \pm f(x)$ se cumple para todo $x$, así que puedes sustituir cualquier número, como $x = a$.
Elige cualquier $x$ en la gráfica de arriba, como $x = 1$, y luego mira $x = -1$. Las alturas son opuestas, porque esta función es impar.
Completa los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
Completa los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
Sabiendo que el costo de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que $\$C(4) = 150$, ¿cuál será el valor de $C(-4)$?
Sabiendo que el costo de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que $\$C(4) = 150$, ¿cuál será el valor de $C(-4)$?
La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es…
La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es $p(3) = -12$ pies, ¿cuál era su posición en el instante $t=-3$ s?
Probar la paridad con una fórmula
Las gráficas y los puntos pueden engañar, así que para estar seguro trabajas con la fórmula.
Para los polinomios hay una verificación rápida. Una potencia $x^n$ se convierte en $(-x)^n$, que es igual a $x^n$ si $n$ es par y a $-x^n$ si $n$ es impar. Una constante cuenta como $x^0$, que es par. Entonces:
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Todos los términos con potencias pares (incluida una constante): el polinomio es par.
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Todos los términos con potencias impares: el polinomio es impar.
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Una mezcla de potencias pares e impares: el polinomio no es ni par ni impar.
La primera curva es simétrica respecto al eje $y$. Al sumar el término impar $x$, se destruye la simetría en la segunda.
Determina analíticamente si la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ es par, impar o ninguna de las dos.
Determina analíticamente si la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ es par, impar o ninguna de las dos.
Comprueba matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Comprueba matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Estudia la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Estudia la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Trigonométricas, valor absoluto y exponenciales
La prueba de $f(-x)$ funciona con cualquier fórmula. Conviene memorizar algunas funciones básicas.
¿Por qué el seno y el coseno son distintos? En el círculo unitario, el ángulo $-x$ es la reflexión del ángulo $x$ respecto al eje horizontal. El punto reflejado conserva la misma coordenada $x$ y cambia el signo de la coordenada $y$.
Así, $\cos(-x) = \cos x$ (par) y $\sin(-x) = -\sin x$ (impar). Al dividir se obtiene $\tan(-x) = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$, así que la tangente es impar.
En una fracción, "opuesto" significa cambiar el signo de la fracción completa una sola vez, como en $-f(x) = \dfrac{-P(x)}{Q(x)}$.
Determina analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.
Determina analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.
El perfil de un arco arquitectónico se modeliza mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en pies. Demuestra…
El perfil de un arco arquitectónico se modeliza mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en pies. Demuestra analíticamente si este perfil es simétrico respecto al eje central vertical (función par).
Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analiza y demuestra la paridad de…
Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analiza y demuestra la paridad de esta función.
Productos y cocientes
A menudo puedes evitar el cálculo completo si descompones una función en partes cuya paridad ya conoces.
¿Por qué funciona? Para un producto $h = f \cdot g$ se tiene $h(-x) = f(-x)\,g(-x)$. Cada factor impar saca un signo menos. Dos factores impares dan $(-1)(-1) = 1$. Un factor impar da un solo $-1$.
Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestra analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestra analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Estudia la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.
Estudia la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.
Determina analíticamente si la función $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ es par, impar o ninguna de las dos.
Determina analíticamente si la función $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ es par, impar o ninguna de las dos.
Paridad de una composición
Cuando una función se sustituye dentro de otra, $h(x) = f(g(x))$, la paridad también sigue reglas.
¿Por qué funciona? Empieza siempre por la función interior: $h(-x) = f(g(-x))$. Si $g$ es par, $g(-x) = g(x)$, así que el signo menos desaparece antes de que $f$ lo vea.
Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determina y demuestra rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.
Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determina y demuestra rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.
Hallar parámetros desconocidos
A veces una fórmula tiene un número desconocido y una simetría lo determina. La idea es escribir la condición $f(-x) = f(x)$ (o $-f(x)$) y hacer que se cumpla para todo $x$.
Hay un atajo para los polinomios. En un polinomio par, todos los coeficientes de potencias impares deben ser $0$. En un polinomio impar, todos los coeficientes de potencias pares (incluido el término constante) deben ser $0$.
Mueve $a$ hasta que la parábola sea simétrica respecto al eje $y$. Eso ocurre en $a = 0$, donde desaparece el término de potencia impar $ax$.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función de beneficios de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica…
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función de beneficios de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica respecto a $x=0$.
La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modeliza con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la…
La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modeliza con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la distancia. Determina el valor que debe tener obligatoriamente el parámetro $b$ para que se cumpla dicha simetría.
Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determina la expresión analítica completa de $f(x)$.
Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determina la expresión analítica completa de $f(x)$.
Casos más difíciles
Algunas funciones esconden su paridad hasta que reescribes $f(-x)$ de manera ingeniosa. Busca estos patrones.
Logaritmo de una fracción. Reemplazar $x$ por $-x$ a menudo voltea la fracción. Entonces usa $\ln\!\left(\dfrac{1}{u}\right) = -\ln u$.
Dos partes que se intercambian. Si $-x$ hace que dos términos intercambien su lugar, como cuando $A - B$ se convierte en $B - A$, entonces $f(-x) = -f(x)$.
Estudia la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelizar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.
Estudia la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelizar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.
Analiza la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias de un punto $P(x, 0)$ del eje de abscisas a…
Analiza la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias de un punto $P(x, 0)$ del eje de abscisas a dos focos emisores de calor situados en $F_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y $F_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por…
Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por los puntos $(2, \frac{10}{3})$ y $(3, \frac{15}{4})$, y tiene una asíntota vertical en $x=1$ (para $x>0$), calcula los valores exactos de los parámetros $a, b$ y $c$.
Parte par más parte impar
La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares, pero toda función definida para todos los números reales se puede separar en una parte par más una parte impar.
¿Por qué? Suma las dos fracciones y los términos $f(-x)$ se cancelan, quedando $\dfrac{2f(x)}{2} = f(x)$. Si reemplazas $x$ por $-x$ en $P$, los dos términos solo se intercambian, así que $P$ es par. En $I$ el intercambio cambia el signo del numerador, así que $I$ es impar.
Para los polinomios no necesitas la fórmula: la parte par son los términos con potencias pares, y la parte impar son los términos con potencias impares.
Demuestra que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las…
Demuestra que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las expresiones $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.
Aplicando el principio del ejercicio anterior, descompón la función exponencial $f(x) = e^x$ en la suma de una función par y una función impar.
Aplicando el principio del ejercicio anterior, descompón la función exponencial $f(x) = e^x$ en la suma de una función par y una función impar.
Paridad y derivadas
Si ya has visto derivadas, la paridad ofrece una bonita conexión. La derivada $f'(x)$ es la pendiente de la recta tangente, y una simetría de la gráfica obliga a una simetría de las pendientes.
La función impar $x^3$ tiene la derivada par $3x^2$. Mira la tangente a $x^3$ en $x = 1$ y en $x = -1$. Girar la gráfica 180° mantiene las rectas tangentes paralelas, así que las pendientes son iguales.
La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestra…
La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestra matemáticamente que su función derivada $f'(x)$ debe ser obligatoriamente una función par.
De vuelta a la media tubería: su perfil se puede modelar con una función como $h(x) = 0.05x^2$, y $h(-x) = h(x)$ porque solo aparece una potencia par. Eso es exactamente lo que significa que "la pared izquierda es una imagen en espejo de la pared derecha". La simetría de giro de la rueda de la fortuna es el caso impar, con $f(-x) = -f(x)$.