Tu calculadora tiene teclas para $\sin$, $\cos$ y $\tan$, pero no para $\sec$, $\csc$ ni $\cot$. Entonces, ¿cómo encontrarías $\sec 60^\circ$? Estas tres razones "extra" son las de siempre, pero puestas de cabeza. Aparecen todo el tiempo al simplificar expresiones, resolver ecuaciones y modelar situaciones reales, como la luz que se desvía en un vidrio o una viga que da vuelta en una esquina. Responderemos la pregunta de la calculadora al final de la página.
Secante, cosecante y cotangente
Cada una de las tres razones nuevas es el recíproco de una que ya conoces. En un triángulo rectángulo, solo tienes que invertir la fracción.
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Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcule el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcule el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
No necesitas memorizar una tabla nueva. Toma los valores del seno, el coseno y la tangente de los triángulos especiales e inviértelos.
Lee cada razón en el triángulo e invierte la fracción. Por ejemplo, en el triángulo de $45^\circ$, $\sec 45^\circ = \dfrac{\text{hip}}{\text{ady}} = \dfrac{\sqrt2}{1} = \sqrt2$.
Para ángulos fuera del cuadrante I, encuentra el ángulo de referencia, toma el valor de la tabla y ponle el signo correcto (consulta la sección de signos más abajo).
Practica★☆☆Sin empezar
Determine el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Determine el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Ya conoces $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Dos identidades más se esconden dentro de ella. Mira un triángulo rectángulo cuyo cateto adyacente mide $1$. Su cateto opuesto es $\tan\alpha$ y su hipotenusa es $\sec\alpha$.
Por el teorema de Pitágoras, $1^2 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$. Un triángulo semejante con cateto opuesto $1$ da la versión de la cotangente. Algebraicamente, divide $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ entre $\cos^2\alpha$ o entre $\sin^2\alpha$.
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Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utilice la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utilice la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcule el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcule el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
$\sec\alpha$ tiene el mismo signo que $\cos\alpha$. $\csc\alpha$ tiene el mismo signo que $\sin\alpha$. $\cot\alpha$ tiene el mismo signo que $\tan\alpha$. Un recíproco nunca cambia de signo, así que la tabla de signos que ya conoces sirve para las seis razones. Una regla mnemotécnica común en inglés es All Students Take Calculus: todas positivas en el cuadrante I (All), el seno (y la csc) en el II (Sine), la tangente (y la cot) en el III (Tangent) y el coseno (y la sec) en el IV (Cosine).
Practica★☆☆Sin empezar
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razone en qué cuadrante del círculo unitario se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razone en qué cuadrante del círculo unitario se encuentra el ángulo $\gamma$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcule el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcule el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Cuando una expresión mezcla recíprocos, el camino más corto suele ser reescribir todo en términos de seno y coseno. Luego cancela, combina o factoriza.
Practica★☆☆Sin empezar
Simplifique al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifique al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifique la siguiente expresión trigonométrica y exprésela en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica:…
Simplifique la siguiente expresión trigonométrica y exprésela en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Demostrar una identidad consiste en mostrar que un lado se puede transformar en el otro usando solo hechos conocidos (definiciones e identidades pitagóricas). Estas son las reglas básicas:
Empieza con el lado más complicado y avanza hacia el otro.
No sumes, restes ni multipliques ambos lados por algo. Eso supondría lo que quieres demostrar.
Convierte a seno y coseno, busca denominadores comunes, factoriza o multiplica por un conjugado.
Practica★★☆Sin empezar
Demuestre que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad:…
Demuestre que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.
Para resolver una ecuación con un recíproco, inviértela para obtener un seno, un coseno o una tangente. Luego usa el círculo unitario para encontrar todos los ángulos del intervalo.
Practica★★☆Sin empezar
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Aparecen dos patrones más. Primero, una suma de un recíproco y una razón relacionada, como $\csc x + \cot x = k$. Segundo, un sistema en el que las incógnitas son los valores de las propias razones.
Practica★★★Sin empezar
Determine todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Determine todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$: $$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases}…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$:
$$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases} $$
La secante y la cosecante describen de manera natural la longitud de segmentos inclinados: un cable, un rayo de luz, una escalera. Si la distancia horizontal es $d$ y el ángulo con el suelo es $\alpha$, entonces $\cos\alpha = \dfrac{d}{L}$, así que $L = d\sec\alpha$. Si el lado vertical es $h$, entonces $L = h\csc\alpha$.
Practica★★☆Sin empezar
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ pies. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el…
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ pies. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el foco hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Exprese $L$ usando la razón secante y calcule su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud $L = h \cdot \sec \theta_r$, donde $h = 5$ pulgadas es el grosor del bloque y $\theta_r$ es el ángulo de refracción. Si el rayo incide desde el aire con un ángulo $\theta_i = 60^\circ$ y el índice de refracción del cristal es $n = \sqrt{2}$, calcule el valor exacto de la longitud $L$ recorrida por el láser dentro del bloque. (Dato: La ley de Snell establece que $\sin \theta_i = n \cdot \sin \theta_r$).
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ pies y $b = 3$ pies que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar…
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ pies y $b = 3$ pies que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la esquina tocando ambas paredes exteriores y la esquina interior. La longitud de la viga en función del ángulo $\theta$ que forma con una de las paredes exteriores se puede modelar como $L(\theta) = a \csc \theta + b \sec \theta$. Calcule el valor exacto de $L(\theta)$ cuando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.
De vuelta al principio: la pregunta de la calculadora tiene una respuesta fácil. Para encontrar $\sec 60^\circ$, presiona $1 \div \cos(60)$ y obtienes $2$. Para $\cot$, usa $1 \div \tan$, y para $\csc$, usa $1 \div \sin$.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado