Transformaciones de funciones
Emma y Jayden recorren el mismo sendero al mismo paso constante, pero Jayden sale 10 minutos después que Emma. Sus gráficas de distancia tienen exactamente la misma forma. Una es simplemente la otra desplazada. Reconocer "la misma figura, movida o deformada" te ahorra estudiar una función desde cero cada vez. Al terminar esta página podrás escribir la distancia de Jayden en términos de la de Emma.
Traslaciones: deslizar una gráfica sin cambiar su forma
Prueba los controles deslizantes y observa adónde va el vértice.
Dada la función $f(x) = x^2 - 3x$, escriba la expresión algebraica de la función $g(x)$ que se obtiene al trasladar la gráfica de $f(x)$ cuatro unidades hacia la…
Dada la función $f(x) = x^2 - 3x$, escriba la expresión algebraica de la función $g(x)$ que se obtiene al trasladar la gráfica de $f(x)$ cuatro unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba.
Un globo aerostático desciende con una velocidad constante. Su altitud en pies viene dada por $A(t) = 800 - 50t$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Un segundo globo…
Un globo aerostático desciende con una velocidad constante. Su altitud en pies viene dada por $A(t) = 800 - 50t$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Un segundo globo inicia su descenso $10$ minutos más tarde exactamente con el mismo perfil de vuelo. Escriba la expresión de la altitud del segundo globo $B(t)$ en función de $A(t)$ y desarrolle su expresión algebraica final.
Estiramientos, compresiones y reflexiones
| Nueva función | Qué le pasa al punto $(x, y)$ de $f$ |
|---|---|
| $f(x) + k$ | $(x, y + k)$ |
| $f(x - h)$ | $(x + h, y)$ |
| $a\,f(x)$ | $(x, ay)$ |
| $f(bx)$ | $\left(\dfrac{x}{b}, y\right)$ |
| $-f(x)$ | $(x, -y)$ |
| $f(-x)$ | $(-x, y)$ |
Mueve el control $a$ para ver el cambio de escala vertical. Los valores negativos reflejan.
Ahora compara con el cambio de escala horizontal. Observa que la intersección con el eje $y$ no se mueve, pero las intersecciones con el eje $x$ sí.
La gráfica de una función $f(x)$ pasa por el punto $P(-3, 5)$. Determine las coordenadas del punto homólogo en las gráficas de las siguientes funciones transformadas:…
La gráfica de una función $f(x)$ pasa por el punto $P(-3, 5)$. Determine las coordenadas del punto homólogo en las gráficas de las siguientes funciones transformadas:
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$g(x) = -f(x)$
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$h(x) = f(-x)$
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$i(x) = 2f(x)$
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$j(x) = f(x) - 4$
Dada la función elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indique qué transformaciones geométricas (traslaciones, dilataciones, reflexiones) hay que aplicar sucesivamente, y en…
Dada la función elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indique qué transformaciones geométricas (traslaciones, dilataciones, reflexiones) hay que aplicar sucesivamente, y en qué orden, para obtener la función $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.
La función $C(x)$ representa el costo en dólares de producir $x$ componentes electrónicos. Debido a una mejora tecnológica en la cadena de montaje, ahora se puede…
La función $C(x)$ representa el costo en dólares de producir $x$ componentes electrónicos. Debido a una mejora tecnológica en la cadena de montaje, ahora se puede producir el triple de componentes por exactamente el mismo costo total. Exprese la nueva función de costo $N(x)$ en términos de la función original $C(x)$.
Combinar transformaciones: el orden importa
Si trasladas primero y cambias la escala después, la traslación se mide en las unidades originales y luego se escala. Para $f(x) = x^2$ y $g(x) = (2x - 10)^2$, un camino es: comprimir por $\tfrac12$ (obtienes $(2x)^2$) y luego trasladar 5 a la derecha: $\big(2(x-5)\big)^2$. El otro camino es: trasladar 10 a la derecha primero (obtienes $(x - 10)^2$) y luego comprimir por $\tfrac12$ (reemplazar $x$ por $2x$): $(2x - 10)^2$. Es la misma gráfica, pero la traslación es 5 en un orden y 10 en el otro. Factorizar primero te mantiene en orden.
Dada la función elemental $f(x) = \sqrt{x}$, queremos obtener la función $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$. Explique detalladamente dos secuencias diferentes de…
Dada la función elemental $f(x) = \sqrt{x}$, queremos obtener la función $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.
Explique detalladamente dos secuencias diferentes de transformaciones geométricas (alterando el orden de las traslaciones y dilataciones horizontales) que permiten obtener $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demuestre algebraicamente que ambas secuencias conducen a la misma expresión.
Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto $(2, 4)$. Se le aplican las siguientes transformaciones de forma secuencial: 1. Una…
Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto $(2, 4)$. Se le aplican las siguientes transformaciones de forma secuencial:
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Una contracción horizontal que multiplica por $\frac{1}{3}$ las abscisas de sus puntos.
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Una traslación de $5$ unidades hacia la izquierda.
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Una reflexión respecto al eje de abscisas.
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Una traslación de $7$ unidades hacia arriba.
Encuentra la expresión analítica de la función final $g(x)$ y determina las coordenadas exactas de su nuevo vértice y de sus puntos de corte con los ejes.
Un ingeniero diseña el perfil de un puente colgante utilizando como modelo la curva $f(x) = e^{-x^2}$. Por requisitos geológicos del terreno, necesita proponer un nuevo…
Un ingeniero diseña el perfil de un puente colgante utilizando como modelo la curva $f(x) = e^{-x^2}$. Por requisitos geológicos del terreno, necesita proponer un nuevo perfil $g(x) = a \cdot f(b \cdot x - c) + d$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:
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Debe tener el doble de anchura que el diseño original.
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El centro de simetría del puente debe estar desplazado $4$ unidades hacia la derecha.
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El perfil debe estar invertido (abriendo hacia arriba en lugar de hacia abajo), sin modificar su escala vertical.
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La altura mínima del nuevo perfil debe situarse exactamente a $10$ pies sobre el nivel del suelo.
Determina analíticamente los valores precisos de los parámetros $a$, $b$, $c$ y $d$.
¿Adónde van los puntos, el dominio y el rango?
Para hallar el dominio de $g$, busca los valores de $x$ que ponen el interior de $f$ dentro del dominio de $f$. Para hallar el rango, aplica los cambios verticales ($a$ y $k$) al rango de $f$. Si $a < 0$ los extremos intercambian su orden.
La figura muestra los rectángulos que encierran a una función $f$ y a $g(x) = f(x - 2) + 1$.
Observe la gráfica de la función $f(x)$ definida en el intervalo $[-4, 4]$. Determine el dominio y el rango de la función transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.
Observe la gráfica de la función $f(x)$ definida en el intervalo $[-4, 4]$. Determine el dominio y el rango de la función transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.
La gráfica de la función $f(x)$ está formada por dos segmentos de recta que unen los puntos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ y $(4, -2)$. Se define una nueva función mediante la…
La gráfica de la función $f(x)$ está formada por dos segmentos de recta que unen los puntos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ y $(4, -2)$. Se define una nueva función mediante la transformación $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.
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Describa la secuencia ordenada de transformaciones geométricas aplicadas a $f(x)$.
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Calcule las coordenadas exactas de los nuevos vértices de la gráfica de $g(x)$.
Dada una función arbitraria $f(x)$ cuyo dominio es el intervalo $[-6, 8]$ y cuyo recorrido es el intervalo $[-4, 12]$, se define una nueva función mediante la expresión…
Dada una función arbitraria $f(x)$ cuyo dominio es el intervalo $[-6, 8]$ y cuyo recorrido es el intervalo $[-4, 12]$, se define una nueva función mediante la expresión $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.
Calcula de forma razonada, detallando los efectos de cada transformación aplicada, el dominio y el recorrido de la función $h(x)$.
Transformaciones con valor absoluto
Donde $f$ cruza el eje $x$, $|f|$ suele tener una esquina. Los puntos sobre el eje se quedan donde están, y un punto $(x, y)$ con $y < 0$ pasa a $(x, -y)$.
Para la recta $f(x) = x - 1$, estas versiones se ven bastante distintas:
| Función | Forma | Puntos clave |
|---|---|---|
| $\lvert x - 1\rvert$ | V | vértice $(1, 0)$ |
| $\lvert x\rvert - 1$ | V | vértice $(0, -1)$, intersecciones con el eje $x$ en $\pm 1$ |
| $\big\lvert\,\lvert x\rvert - 1\big\rvert$ | W | ceros en $\pm 1$, máximo local en $(0, 1)$ |
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada en la figura, describa los pasos geométricos necesarios para obtener la gráfica de la función $g(x) = |f(x)|$ y…
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada en la figura, describa los pasos geométricos necesarios para obtener la gráfica de la función $g(x) = |f(x)|$ y calcule las coordenadas de los nuevos vértices o puntos de inflexión.
Exprese la función $g(x) = |-x^2 + 4|$ como una función definida por partes, eliminando el valor absoluto e indicando claramente los intervalos donde la expresión…
Exprese la función $g(x) = |-x^2 + 4|$ como una función definida por partes, eliminando el valor absoluto e indicando claramente los intervalos donde la expresión original cambia de signo.
Asocia cada una de las expresiones analíticas con el panel correspondiente en la figura, sabiendo que todas derivan de transformaciones con valor absoluto aplicadas a la…
Asocia cada una de las expresiones analíticas con el panel correspondiente en la figura, sabiendo que todas derivan de transformaciones con valor absoluto aplicadas a la función base $y = x - 3$.
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$y = |x| - 3$
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$y = ||x-3| - 2|$
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$y = ||x| - 3|$
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$y = |x-3| - 2$
Transformaciones en modelos reales
En un modelo, la entrada suele ser el tiempo o una cantidad y la salida un costo, una altitud o una ganancia. Esto te dice qué tipo de cambio usar.
Mueve $d$ para retrasar la segunda función.
La ganancia mensual de una pequeña empresa tecnológica, en miles de dólares, se modela mediante la función $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, donde $x$ representa el mes del año…
La ganancia mensual de una pequeña empresa tecnológica, en miles de dólares, se modela mediante la función $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, donde $x$ representa el mes del año ($x=1$ para enero, etc.). La empresa decide retrasar el lanzamiento de su campaña de marketing un mes, lo que supone un desplazamiento horizontal de la curva de ganancias, y además asume un incremento de costos fijos de $3$ mil dólares mensuales. Encuentre la nueva expresión de la función de ganancias $N(x)$ y determine en qué mes se alcanzará ahora la ganancia máxima.
La eficiencia de un panel solar a lo largo del día viene dada por una función $E(t)$. Se instala un nuevo modelo de panel que comienza a generar energía $2$ horas antes…
La eficiencia de un panel solar a lo largo del día viene dada por una función $E(t)$. Se instala un nuevo modelo de panel que comienza a generar energía $2$ horas antes y, debido a un recubrimiento especial de grafeno, genera un $15\%$ más de energía en cada instante equivalente. Exprese la nueva función de eficiencia $N(t)$ en términos de $E(t)$. Si el panel original alcanzaba su máxima eficiencia a las 2:00 p. m., ¿a qué hora la alcanzará el nuevo panel?
Un cultivo de bacterias crece según la función $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Un segundo cultivo $M(t)$ inicia con la cuarta parte de la…
Un cultivo de bacterias crece según la función $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Un segundo cultivo $M(t)$ inicia con la cuarta parte de la población inicial del primero, pero su tasa de crecimiento es idéntica y se empezó a medir $4$ horas antes. Exprese $M(t)$ en términos de $N(t)$ y simplifique la expresión resultante para comprobar si ambas poblaciones serán iguales en algún momento.
Ondas seno y transformaciones periódicas
El valor absoluto cambia el período. La curva continua de la figura es $|\sin x|$, cuyas jorobas negativas se voltean hacia arriba.
Para $y = |a \sin(bx)|$ el período es $\dfrac{\pi}{|b|}$ (la mitad), el rango es $[0, |a|]$, y los máximos ocurren en los mismos valores de $x$ donde $a\sin(bx)$ alcanza $\pm |a|$. Por ejemplo, $y = |3\sin(2x)|$ tiene período $\tfrac{\pi}{2}$ y máximos de 3 en $x = \tfrac{\pi}{4} + n\cdot\tfrac{\pi}{2}$.
Si una cantidad oscila alrededor de un valor medio $k$, entonces $|L(t) - k|$ mide qué tan lejos está de la media. Restar $k$ pone la línea media sobre el eje $x$, y el valor absoluto la dobla.
En un estudio de acústica, una onda sonora base se modela mediante la función $S(t) = \sin(t)$. Para un experimento, la onda original se amplifica multiplicando su…
En un estudio de acústica, una onda sonora base se modela mediante la función $S(t) = \sin(t)$. Para un experimento, la onda original se amplifica multiplicando su amplitud por $4$ y se hace más aguda duplicando su frecuencia. Además, se introduce un retardo en la emisión de $\frac{\pi}{4}$ segundos. Escriba la expresión analítica de la nueva onda sonora $W(t)$ y calcule su nuevo periodo.
En la figura se muestra la curva de luz de una estrella variable, modelada por la función $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, donde $t$ se mide en días y…
En la figura se muestra la curva de luz de una estrella variable, modelada por la función $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, donde $t$ se mide en días y $L$ en unidades de luminosidad. Una densa nube de polvo cósmico oscurece la estrella de tal forma que la luminosidad observada $O(t)$ desde la Tierra es exactamente el valor absoluto de la diferencia entre $L(t)$ y su luminosidad media.
Determina la expresión analítica de $O(t)$, calcula su nuevo periodo y encuentra en qué instantes $t \in [0, 12]$ la luminosidad observada es máxima.
Funciones racionales y simetría respecto a un punto
Muchas funciones racionales son, en secreto, transformaciones de $y = \dfrac{1}{x}$. Divide para descubrirlas.
Para el ejemplo anterior, $f(x + 2) - 3 = \dfrac{3(x+2) - 1}{x} - 3 = \dfrac{3x + 5}{x} - 3 = \dfrac{5}{x}$, que es impar. Así que la gráfica es simétrica respecto a $(2, 3)$, la intersección de sus dos asíntotas.
Exprese la función racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ en la forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efectuando la división de polinomios. A partir de este resultado,…
Exprese la función racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ en la forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efectuando la división de polinomios. A partir de este resultado, describa paso a paso las transformaciones geométricas que hay que aplicar a la hipérbola equilátera $y = \frac{1}{x}$ para obtener la gráfica de $f(x)$.
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ sea simétrica con respecto al punto $C(4, 2)$.…
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ sea simétrica con respecto al punto $C(4, 2)$.
Pista: Recuerda que una función $f(x)$ es simétrica respecto a un punto $(h, k)$ si la función trasladada al origen, $g(x) = f(x+h) - k$, resulta ser una función impar.
Funciones pares, impares y periódicas después de una transformación
Recuerda: $f$ es par si $f(-x) = f(x)$ (simétrica respecto al eje $y$), impar si $f(-x) = -f(x)$ (simétrica respecto al origen), y periódica con período $T$ si $f(x + T) = f(x)$ para todo $x$.
Para analizar una nueva función $g$, calcula $g(-x)$ reemplazando cada $x$ por $-x$, y luego usa lo que sabes de $f$ para reescribirla. Compara con $g(x)$ y con $-g(x)$.
Una función par trasladada hacia un lado normalmente deja de ser par, como muestran las parábolas de arriba. Pero las combinaciones de copias trasladadas aún pueden ser simétricas.
Sea $f(x)$ una función real impar y periódica de periodo $T=6$. A partir de ella se define la función transformada $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$. Demuestra analíticamente si…
Sea $f(x)$ una función real impar y periódica de periodo $T=6$. A partir de ella se define la función transformada $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$.
Demuestra analíticamente si la función $g(x)$ es par, impar o ninguna de las dos cosas. Determina también si $g(x)$ es periódica y, en caso afirmativo, calcula su periodo mínimo.
Nuevos sistemas de coordenadas y elipses
En lugar de mover una gráfica, puedes mover los ejes. Mover el origen hacia la derecha equivale a mover la gráfica hacia la izquierda. Para cambiar de coordenadas, escribe las coordenadas viejas $(x, y)$ en términos de las nuevas $(X, Y)$ y luego sustituye en la ecuación.
Una situación relacionada: todas las curvas de tipo cónico se pueden construir con transformaciones de una curva simple. La semicircunferencia $y = \sqrt{1 - x^2}$ se convierte en la mitad superior de una elipse con semieje horizontal $a$ y semieje vertical $b$ al estirarla horizontalmente por $a$ (reemplaza $x$ por $x/a$) y verticalmente por $b$.
Ajusta los semiejes y el centro para ver cómo cambia la elipse.
Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se realiza un cambio de sistema de referencia en el plano cartesiano de modo que el nuevo origen de coordenadas se sitúa en el punto…
Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se realiza un cambio de sistema de referencia en el plano cartesiano de modo que el nuevo origen de coordenadas se sitúa en el punto $(-3, 2)$ del sistema antiguo, se invierte el sentido positivo del eje de abscisas y la unidad de medida del eje de ordenadas se reduce a la mitad. Escribe la ecuación de la curva en el nuevo sistema de coordenadas.
Una trayectoria programada para un brazo robótico viene dada por la función $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, que describe una semicircunferencia de radio $R$ centrada en el…
Una trayectoria programada para un brazo robótico viene dada por la función $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, que describe una semicircunferencia de radio $R$ centrada en el origen. El equipo de diseño desea programar una nueva trayectoria elíptica $E(x)$ que tenga su centro en el punto $(h, k)$, un semieje horizontal de longitud $a$ y un semieje vertical de longitud $b$ (representando únicamente la mitad superior de la elipse).
Expresa la función final $E(x)$ indicando claramente la composición de transformaciones geométricas aplicadas a la función base $y = \sqrt{1 - x^2}$ (semicircunferencia de radio $1$).
De vuelta al inicio: si $E(t)$ es la distancia de Emma en el sendero después de $t$ minutos, Jayden sale 10 minutos más tarde, así que su distancia es $J(t) = E(t - 10)$: la misma gráfica trasladada 10 unidades a la derecha.