Ejercicios: Potencias de exponente entero

Calcule el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ y $(-1)^{-4}$.

Exprese las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcule su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.

Aplique las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.

Simplifique la siguiente expresión resolviendo las operaciones en el numerador y el denominador, y exprese el resultado final como una única potencia: $\frac{5^{-3} \cdot 5^6}{5^2}$.

Reduzca la siguiente expresión a una sola potencia aplicando la propiedad de la potencia de una potencia: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.

Utilice la propiedad del producto de potencias con el mismo exponente para expresar el siguiente cálculo como una única potencia: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.

Simplifique la siguiente fracción expresando tanto el numerador como el denominador como potencias de la misma base prima, y dé el resultado como una única potencia: $\frac{8^4}{4^5}$.

Realice las operaciones necesarias para expresar el siguiente producto como una sola potencia de base $3$: $9^2 \cdot 27^{-1} \cdot 3^4$.

Simplifique la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deje el resultado como un producto de potencias de números primos:

$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$

Una colonia de bacterias duplica su población cada hora. Si en el momento inicial de la observación hay $150$ bacterias, escriba una expresión matemática utilizando potencias que indique la cantidad de bacterias transcurridas $h$ horas. ¿Cuántas bacterias habrá en la colonia después de $6$ horas?

En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su tercera parte. Si la cantidad inicial de toxinas es de $81$ onzas, exprese con una potencia de exponente negativo la cantidad de toxina que queda tras pasar por $4$ filtros sucesivos y calcule su valor exacto.

Calcule y simplifique al máximo la siguiente expresión, expresando el resultado final como una fracción irreducible:

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$

En un examen de matemáticas, un estudiante ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explique detalladamente cuál ha sido el error conceptual del estudiante, enuncie la propiedad correcta que debería haber utilizado y calcule el resultado verdadero en forma de fracción.

Un torneo de tenis se juega por eliminatorias directas (en cada partido, el que pierde queda eliminado y el que gana pasa a la siguiente ronda). Si en la primera ronda participan $2^7$ jugadores, ¿cuántos partidos en total se habrán jugado cuando finalice el torneo y haya un único ganador absoluto? Exprese su razonamiento utilizando operaciones con potencias.

Simplifique la siguiente expresión con fracciones y exponentes negativos, aplicando las propiedades paso a paso y dando el resultado final como una fracción irreducible sin exponentes negativos:

$\left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \right]^{-3}$

Encuentre el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:

$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$

Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales distintos de cero. Aplique las propiedades de las potencias y deje el resultado final expresado exclusivamente con exponentes positivos:

$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$

Una empresa invierte un capital de $\$5000$ en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. La fórmula matemática correcta para calcular el capital final tras $t$ años es $C = 5000 \cdot (1,04)^t$. Si por un error informático el sistema calcula el capital usando un exponente negativo, $C_{erroneo} = 5000 \cdot (1,04)^{-t}$, ¿qué significado financiero tendría este cálculo erróneo? Además, deduzca qué relación matemática exacta existe entre el capital correcto a los $5$ años y el capital erróneo calculado para esos mismos $5$ años.

Resuelva la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplique las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extraiga factor común:

$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$

Se construye un fractal geométrico llamado "Triángulo de Sierpinski" partiendo de un triángulo equilátero relleno de color azul cuya área inicial es $1$ unidad. En cada iteración (paso), se divide cada triángulo azul en cuatro triángulos equiláteros más pequeños y se extrae el triángulo central (que queda vacío/negro). Observe la figura que ilustra los primeros pasos. Determine la expresión matemática, en forma de potencia, que representa el área azul restante tras $n$ iteraciones. A partir de esa expresión, ¿cuál será el área azul exacta tras $6$ iteraciones?

Demuestre matemáticamente que, para cualquier número real $a \neq 0$ y cualquier número entero $n$, se cumple la identidad $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Utilice para su demostración la definición estricta de potencia de exponente negativo y las propiedades de las operaciones con fracciones.

Simplifique la siguiente expresión algebraica, en la que $m$ y $n$ son números enteros arbitrarios. Tras realizar la simplificación, compruebe y justifique si el resultado final depende de los valores que tomen $m$ y $n$:

$\frac{4^{n+1} \cdot 10^{m-n}}{2^{m+n+2} \cdot 5^{m-n}}$

La intensidad de un haz de luz al atravesar un determinado tipo de cristal tintado se reduce a los $\frac{3}{4}$ de su valor incidente. Si superponemos $n$ de estos cristales idénticos, la intensidad de la luz resultante que logra traspasarlos es $I = I_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, siendo $I_0$ la intensidad inicial. Exprese la fracción de luz que se pierde (no la que consigue pasar) tras atravesar $3$ cristales, utilizando potencias de exponente entero para sus cálculos. A la vista del resultado, determine si el sistema bloquea más o menos de la mitad de la luz original.

Analice y discuta razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o negativo, y si el número entero $n$ es par o impar. Elabore un esquema o tabla con los cuatro casos posibles resultantes de esta combinación y acompáñelo de un ejemplo numérico concreto para cada uno de los casos.