Ejercicios: Operaciones con radicales

Vamos a simplificar expresiones agrupando radicales semejantes. Imagina que $\sqrt{3}$ es como una "x" o una "manzana". Realiza las siguientes sumas y restas:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Utiliza la propiedad del producto de raíces con el mismo índice ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$) para agrupar estas operaciones en una sola raíz y, si es posible, calcular el resultado final exacto:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Cuando tenemos una raíz dentro de otra raíz, podemos simplificarla multiplicando sus índices ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Simplifica las siguientes expresiones a una única raíz:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

A veces los números dentro de la raíz tienen factores que "sobran" y pueden salir fuera. Extrae fuera de la raíz todos los factores que puedas de los siguientes radicales.

Pista: Escribe primero el número como potencias (ejemplo: $\sqrt{2^3} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$).

• $\sqrt{2^5}$

• $\sqrt{3^3}$

• $\sqrt{5^4}$

• $\sqrt[3]{2^4}$

Queremos vallar un terreno cuadrado cuya superficie total es de $225 \text{ m}^2$. Para saber cuántos metros de valla necesitamos, primero debemos calcular cuánto mide el lado del cuadrado.

1. Calcula la longitud del lado ($l$) sabiendo que el área es $l^2 = 225$.

2. Calcula el perímetro total del terreno.

Vas a comprar una televisión nueva y las medidas se dan en pulgadas de la diagonal. La pantalla tiene forma rectangular con una anchura de 40 cm y una altura de 30 cm. Utilizando el Teorema de Pitágoras ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), calcula cuánto mide la diagonal de la pantalla en centímetros.

Nota: El resultado es una raíz exacta.

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales. Recuerda que para operar deben tener el mismo índice. Si es posible, simplifica el resultado final extrayendo factores de la raíz.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales. Ten en cuenta el índice de la raíz y los exponentes de los radicandos.

1. a) $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$
2. b) $\sqrt[3]{81}$
3. c) $\sqrt{12x^3 y^4}$
4. d) $\sqrt[4]{32}$

Calcula el perímetro y el área de un terreno rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por radicales. La base mide $\sqrt{27}$ metros y la altura $\sqrt{3}$ metros. Simplifica los resultados al máximo.

Para realizar sumas y restas con radicales, estos deben ser semejantes (mismo índice y mismo radicando). Simplifica los siguientes radicales descomponiendo los números en factores primos y opera:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Tenemos un depósito de agua con forma de cubo. Sabemos que su volumen total es de $128 \text{ m}^3$. Calcula cuánto mide la arista del depósito. Expresa el resultado como un radical simplificado (extrayendo factores) y no uses decimales.

(Ayuda: Recuerda que el volumen de un cubo es $V = \text{arista}^3$)

Las potencias de exponente fraccionario son otra forma de escribir radicales. Utiliza esta relación para simplificar las siguientes expresiones y da el resultado final en forma de raíz:

1. a) Escribe $5^{3/4}$ en forma de raíz.
2. b) Escribe $\sqrt[5]{2^3}$ en forma de potencia.
3. c) Calcula expresando como potencia primero: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Simplifica: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Aplica las propiedades de la raíz de una raíz y la potencia de una raíz para simplificar las siguientes expresiones a un único radical irreducible:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Pista: Introduce el primer 2 dentro de la segunda raíz)

Queremos colocar un cable tensor para sujetar un poste vertical de 4 metros de altura. El cable se anclará al suelo a una distancia de $\sqrt{20}$ metros de la base del poste. Calcula la longitud exacta del cable necesaria utilizando el Teorema de Pitágoras. Expresa el resultado como un radical simplificado.

En un estudio de arquitectura se ha diseñado una pieza decorativa triangular para una fachada. La pieza es un triángulo isósceles (dos lados iguales y uno desigual).

Sabemos que los dos lados iguales miden $\sqrt{45}$ metros cada uno, y la base (el lado desigual) mide $\sqrt{72}$ metros.

Utilizando el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los radicales (extracción de factores y simplificación), calcula la altura ($h$) exacta de dicho triángulo. Expresa el resultado como un número entero o un radical simplificado al máximo.

Simplifica al máximo la siguiente expresión numérica. Para ello, deberás descomponer los radicandos en factores primos, extraer factores fuera de la raíz y operar con fracciones. El resultado final debe expresarse utilizando un único radical irreductible.

$$ A = 2\sqrt{75} - \sqrt{\frac{147}{4}} + \frac{5}{2}\sqrt{12} - \sqrt{300} $$

Tenemos tres depósitos de agua con formas cúbicas diferentes.

• El depósito A tiene una capacidad de $2$ metros cúbicos.

• El depósito B tiene una arista que mide exactamente el doble que la arista del depósito A.

• El depósito C tiene una arista que mide la mitad que la arista del depósito A.

• Calcula la longitud exacta de la arista del depósito A expresándola como radical.

• Calcula el volumen exacto del depósito B y del depósito C utilizando las propiedades de las potencias y los radicales. No uses decimales.

Expresa el resultado de la siguiente operación como una única potencia de exponente fraccionario. Para lograrlo, deberás convertir todos los radicales a potencias, aplicar las propiedades de las potencias (producto y cociente de bases iguales) y simplificar el exponente final.

$$ \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot \sqrt{a}}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}} $$

Comprueba si el número irracional $\phi = 1 + \sqrt{5}$ es solución de la ecuación cuadrática:

$$ x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Para ello, sustituye la $x$ por $(1 + \sqrt{5})$, desarrolla el cuadrado del binomio (identidad notable) y opera los términos semejantes hasta ver si el resultado final es cero.

El volumen de una esfera gigante utilizada en un planetario es de $500 \pi$ metros cúbicos.

Sabiendo que la fórmula del volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$:

1. Despeja el radio $r$ en función del volumen.

2. Sustituye el volumen dado y calcula el valor exacto del radio simplificando el radical al máximo (extrayendo factores fuera de la raíz cúbica).

Realiza las siguientes operaciones agrupando los términos en una sola raíz. Recuerda que para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero debes reducirlos a índice común (mínimo común múltiplo de los índices).

1. a) $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{8} $

1. b) $ \frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[6]{x}} $

Una bacteria tiene forma cuadrada y su área es de $2,25 \cdot 10^{-10}$ metros cuadrados.

Calcula cuánto mide el lado de la bacteria. Expresa el resultado final en notación científica y en milímetros. (Recuerda que $\sqrt{a \cdot 10^n} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^n}$).