Ejercicios: Proporcionalidad inversa

Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad inversa:

1. a) El número de amigos que se juntan para comprar un regalo de $60 \text{ €}$ y la cantidad de dinero que debe poner cada uno.
2. b) El tiempo que dejas cargando un móvil y el porcentaje de batería que recupera.
3. c) La velocidad a la que camina un excursionista y el tiempo que tarda en recorrer una ruta de $10 \text{ km}$.
4. d) El número de páginas de un libro y el peso total del mismo.

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Calcula primero la constante de proporcionalidad inversa $k$.

Un grupo de $4$ estudiantes de 3º de ESO ha decidido limpiar un tramo de playa después de un festival de música. Calculan que tardarán $6$ horas en dejarlo todo impecable. Si finalmente se unen otros $4$ amigos más (siendo $8$ en total), ¿cuánto tiempo tardarán en terminar la limpieza si todos trabajan al mismo ritmo?

Para el viaje de fin de curso, los alumnos han alquilado un autobús. Si van $40$ alumnos, cada uno debe pagar $15 \text{ €}$. A última hora, $10$ alumnos se ponen enfermos y no pueden ir. ¿Cuánto deberá pagar cada uno de los alumnos restantes para cubrir el coste total del autobús?

Un ganadero tiene forraje almacenado para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si decide vender $5$ de sus vacas para reducir gastos, ¿durante cuántos días podrá alimentar a las vacas que le quedan con la misma cantidad de forraje?

Tres grifos iguales tardan $10$ horas en llenar el depósito de agua de un polideportivo. Si queremos que el depósito se llene en solo $6$ horas para poder abrir las instalaciones antes, ¿cuántos grifos iguales a los anteriores necesitaremos tener abiertos en total?

Un ciclista que avanza a una velocidad constante de $20 \text{ km/h}$ tarda $45$ minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. Si aumentara su velocidad hasta los $30 \text{ km/h}$, ¿cuántos minutos tardaría en realizar el mismo recorrido?

En una pequeña imprenta, $2$ máquinas trabajando a pleno rendimiento tardan $40$ minutos en imprimir los folletos de una fiesta local. Si una de las máquinas se avería y solo puede trabajar una, ¿cuánto tiempo (en minutos y horas) tardará en completar el mismo trabajo? ¿Y si tuvieran $4$ máquinas iguales funcionando?

Un grupo de estudiantes de 3º de ESO está organizando una cena de fin de curso. El restaurante les ha dado un presupuesto fijo de $1200$ € por el alquiler del salón y el menú especial, que se repartirá a partes iguales entre todos los asistentes.

Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla para analizar cómo varía el precio por persona dependiendo de cuántos alumnos se apunten finalmente:

Calcula la constante de proporcionalidad inversa $k'$ y explica qué significado tiene en este contexto.

Para completar un desafío de una aplicación de entrenamiento, Lucía debe recorrer una distancia de $12$ km con su patinete eléctrico. Si mantiene una velocidad constante de $15$ km/h, tarda exactamente $48$ minutos.

Si al día siguiente decide ir más tranquila a una velocidad de $10$ km/h para ahorrar batería, ¿cuántos minutos tardará en completar el mismo recorrido? ¿Y si quisiera tardar solo media hora, a qué velocidad debería circular?

Una protectora de animales ha recibido una donación de sacos de pienso. Con los $45$ perros que tienen actualmente en el refugio, hay comida suficiente para $20$ días.

Sin embargo, tras una campaña de rescate, el número de perros aumenta hasta los $60$. ¿Cuántos días durará ahora la misma cantidad de pienso? Si quisieran que la comida durase $25$ días, ¿cuál es el número máximo de perros que podrían mantener en el refugio?

Tres grifos iguales tardan $10$ horas en llenar un depósito de agua destinado al riego de un huerto escolar. Se quiere reducir el tiempo de llenado para que el agua esté lista antes de que empiecen las clases.

¿Cuántos grifos del mismo tipo habría que añadir para que el depósito se llene en solo $6$ horas? Expresa el resultado en número de grifos adicionales.

En un concurso de diseño de videojuegos, el jurado reparte un premio de $2800$ € de forma inversamente proporcional al número de errores detectados en la fase de testeo.

El equipo "Pixel" tuvo $2$ errores, el equipo "Voxel" tuvo $4$ errores y el equipo "Sprite" tuvo $5$ errores. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada equipo?

Un equipo de $8$ operarios de una empresa de eventos tarda $12$ horas en montar todo el escenario y la iluminación para un festival de música, trabajando a un ritmo constante.

Si el festival adelanta su apertura y solo disponen de $6$ horas para el montaje, ¿cuántos operarios deberían trabajar en total? Si finalmente cuentan con $16$ operarios, ¿en cuánto tiempo terminarían el trabajo?

Para envasar una partida de aceite de oliva ecológico, se han utilizado $400$ botellas de $0,75$ litros cada una. Por motivos de marketing, la cooperativa decide cambiar el formato de las botellas a envases de un tercio de litro ($1/3$ de litro).

¿Cuántas botellas de este nuevo tamaño se necesitarán para envasar la misma cantidad de aceite? Si disponemos de $1200$ botellas de medio litro ($0,5$ litros), ¿podremos envasar toda la partida?

Cinco impresoras 3D de última generación tardan $4$ horas en imprimir las piezas de $20$ maquetas de robots escolares.

Calcula cuántas impresoras de las mismas características se necesitarían para fabricar esas mismas $20$ maquetas en tan solo $100$ minutos. (Ten cuidado con las unidades de tiempo antes de realizar los cálculos).

Una empresa de logística utiliza drones para repartir paquetes en una zona residencial. Se ha comprobado que $12$ drones, trabajando $8$ horas al día, tardan $6$ días en entregar todos los pedidos de una semana. Debido a una actualización del software, la eficiencia de cada dron aumenta un $20\%$. Si la empresa decide reducir la jornada de los drones a solo $5$ horas diarias y el volumen de pedidos ha aumentado de modo que ahora hay un $25\%$ más de paquetes, ¿cuántos drones se necesitarán para completar el reparto en solo $4$ días?

El sistema de transmisión de una bicicleta de competición consta de un plato (conectado a los pedales) y un piñón (conectado a la rueda trasera). Cuando el ciclista usa un plato de $52$ dientes y un piñón de $13$ dientes, por cada pedalada completa, la rueda trasera da $4$ vueltas. Si el ciclista cambia a un piñón de $26$ dientes para subir una pendiente, ¿cuántas vueltas dará la rueda trasera por cada pedalada? Si en la cima cambia el plato a uno de $34$ dientes manteniendo el piñón de $26$, calcula la nueva relación de transmisión (vueltas de rueda por pedalada). Razona por qué la relación entre el número de dientes y las vueltas es inversamente proporcional.

Un ayuntamiento contrata a una cuadrilla de $15$ operarios para construir un "skatepark" en $20$ días, trabajando $6$ horas diarias. Tras $8$ días de trabajo, el ayuntamiento solicita que la obra esté terminada $4$ días antes de lo previsto para que coincida con las fiestas locales. En ese mismo momento, $3$ operarios causan baja. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar los operarios restantes para cumplir con el nuevo plazo de entrega?

Un grupo de biólogos marinos estudia la relación entre la presión y el volumen de un gas en el interior de un dispositivo de muestreo (Ley de Boyle). A nivel del mar ($1$ atm de presión), el gas ocupa un volumen de $24$ litros. Al sumergirse a una profundidad determinada, la presión aumenta a $3,2$ atm. ¿Cuál será el nuevo volumen del gas? Si el dispositivo solo soporta una compresión máxima que deje el volumen en $5$ litros, ¿cuál es la presión máxima que puede soportar antes de romperse?

Para renderizar (procesar) una película de animación de $90$ minutos, un estudio utiliza una "granja" de $40$ servidores trabajando a pleno rendimiento durante $12$ días. El estudio quiere lanzar un nuevo cortometraje de solo $15$ minutos, pero necesita que el renderizado esté listo en tan solo $2$ días. Sin embargo, los nuevos servidores que han comprado son un $50\%$ más potentes que los antiguos. ¿Cuántos servidores de los nuevos serán necesarios para renderizar el cortometraje a tiempo?

Un refugio de animales tiene reservas de pienso para alimentar a sus $80$ perros durante $45$ días, dándoles $3$ raciones diarias de $200$ g cada una. Tras $10$ días, llegan $20$ perros más rescatados de una inundación. Además, el veterinario recomienda aumentar la cantidad de cada ración a $250$ g pero reduciendo el número de raciones a $2$ diarias para mejorar la digestión. ¿Cuántos días durará el pienso restante para todos los perros con las nuevas condiciones?

En un laboratorio de física se está probando un motor magnético. Se sabe que la velocidad de rotación ($V$) es inversamente proporcional al peso de la carga ($P$) y directamente proporcional al voltaje aplicado ($U$). Con un voltaje de $120$ V y una carga de $10$ kg, el motor gira a $2.400$ rpm. Si mantenemos el motor girando a $2.400$ rpm pero aumentamos la carga a $15$ kg, ¿cuál debe ser el nuevo voltaje? Si finalmente bajamos el voltaje a $80$ V con esa carga de $15$ kg, ¿a qué velocidad girará el motor?