Ejercicios: Proporcionalidad directa

Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta:

1. a) El número de seguidores de un "influencer" y los "likes" que recibe en su última foto.
2. b) La cantidad de kilos de manzanas que compras y el precio total a pagar.
3. c) La edad de una persona y su altura en centímetros.
4. d) El tiempo que dejas el móvil cargando y el porcentaje de batería que recupera (suponiendo que carga de forma constante).

Un grupo de amigos quiere ir al cine. Sabemos que $3$ entradas han costado $22,50$ €. Completa la siguiente tabla y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio por entrada):

Para preparar un batido de frutas para $4$ personas, se necesitan $600$ ml de leche. Si el próximo sábado vas a invitar a $10$ amigos a casa, ¿cuánta leche necesitarás comprar para que todos tengan su batido? Resuelve utilizando una regla de tres simple directa.

Un coche de radio-control recorre $12$ metros en apenas $8$ segundos manteniendo una velocidad constante. Si sigue moviéndose de la misma forma:

1. a) ¿Qué distancia recorrerá en un minuto ($60$ segundos)?
2. b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una pista de $30$ metros?

Tu teléfono móvil tiene una capacidad total de almacenamiento de $128$ GB. Si el sistema operativo y las aplicaciones instaladas ya ocupan el $25\%$ del espacio, ¿cuántos gigabytes están ocupados actualmente?

Has visto una sudadera que te encanta en una tienda online. Su precio original es de $45$ €, pero hoy tiene un descuento del $15\%$. ¿Cuántos euros te ahorras gracias a la rebaja? (No es necesario calcular el precio final).

Una impresora 3D tarda $45$ minutos en fabricar una pieza que pesa $60$ gramos. Si queremos imprimir una figura del mismo material que pesa $100$ gramos, ¿cuánto tiempo tardará la impresora? Expresa el resultado en horas y minutos.

Un creador de contenido en una plataforma de vídeo recibe ingresos directamente proporcionales al número de visualizaciones de sus vídeos. Por cada $1250$ visualizaciones, el sistema le genera un beneficio de $3,75$ €. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala calculando la razón de proporcionalidad $k$:

La batería de un patinete eléctrico se consume de forma proporcional a la distancia recorrida. Si para realizar un trayecto de $4,5$ km se ha gastado un $12 \%$ de la capacidad total de la batería, calcula mediante reducción a la unidad cuánta batería se consumirá en un recorrido de $15$ km por el mismo tipo de terreno.

Para organizar una convivencia escolar, se ha decidido preparar una receta de limonada casera. La receta original indica que para $6$ personas se necesitan $1,5$ litros de agua y $450$ g de azúcar. Si finalmente se han apuntado $42$ personas, ¿cuántos litros de agua y cuántos kilos de azúcar se deben comprar para mantener la proporción exacta?

Tres amigos, Alba, Bruno y Carla, han comprado juntos un pack de $50$ sobres de cartas coleccionables que costaba $75$ €. Alba aportó $15$ €, Bruno $27$ € y Carla el resto. Si deciden repartir los sobres de forma directamente proporcional al dinero que puso cada uno, ¿cuántos sobres le corresponden a cada uno?

Un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama está dibujado a una escala $1:25000$. Un grupo de estudiantes planea una ruta que en el mapa mide $14,4$ cm.

1. ¿Cuántos kilómetros reales recorrerán en total?

2. Si caminan a una velocidad constante y tardan $45$ minutos en recorrer los primeros $3$ km, ¿cuánto tiempo total les llevará completar la ruta?

Un centro de reciclaje paga a los usuarios por el peso del plástico entregado. El lunes, un colegio entregó $120$ kg y recibió $18$ €. El martes, otro colegio entregó una cantidad desconocida y recibió $24,75$ €.

1. ¿Cuál es el precio por kilo de plástico reciclado?

2. ¿Cuántos kilos entregó el segundo colegio?

A la misma hora del día, la sombra de una señal de tráfico de $2,2$ metros de altura mide $1,4$ metros. Si justo al lado hay una torre de alta tensión cuya sombra mide $10,5$ metros, ¿qué altura tiene la torre? Realiza un dibujo esquemático de la situación antes de resolver el problema.

Una empresa de fabricación de componentes para smartphones utiliza una máquina que produce $150$ microchips cada $20$ minutos.

1. ¿Cuántos microchips producirá en una jornada laboral de $8$ horas sin detenerse?

2. Si por un fallo técnico la máquina reduce su velocidad de producción a la mitad, ¿cuántas horas tardará en fabricar un pedido urgente de $2250$ microchips?

Un estudio de arquitectura está diseñando una maqueta de un rascacielos utilizando una impresora 3D de alta precisión. Han comprobado que para imprimir una sección de la estructura que tiene un volumen de $450\text{ cm}^3$ se necesitan $12,5\text{ metros}$ de filamento plástico y la impresora tarda $3\text{ horas y }45\text{ minutos}$. Si el rascacielos completo en la maqueta requiere un volumen total de plástico de $2,16\text{ dm}^3$:

1. a) ¿Cuántos carretes de filamento de $50\text{ metros}$ deberán comprar como mínimo para completar la maqueta?
2. b) Si la impresora trabaja sin interrupciones, ¿cuántos días y horas tardará en terminar el trabajo?

Un servidor de streaming de video ajusta el tamaño de sus archivos de forma proporcional a la duración y a la resolución (número total de píxeles). Un video de $10\text{ minutos}$ a una resolución de $1280 \times 720$ píxeles ocupa $450\text{ MB}$.

Calcula cuánto ocupará una película de $1\text{ hora y }45\text{ minutos}$ si se sube con una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles, sabiendo que la relación entre el peso y el total de píxeles es directamente proporcional. Expresa el resultado en Gigabytes ($1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$).

En un mapa estelar, la distancia entre dos estrellas es de $18\text{ cm}$. Se sabe que este mapa representa una escala donde $1\text{ cm}$ equivale a $4,5$ años luz. Si una nave espacial viaja a una velocidad constante y tarda $240\text{ años}$ en recorrer $0,8$ años luz:

1. a) ¿A qué distancia real en años luz están las dos estrellas?
2. b) ¿Cuántos siglos tardaría la nave en viajar de una estrella a otra? (Considera que la relación entre tiempo y distancia recorrida es directamente proporcional).

Una planta desalinizadora produce agua potable de forma proporcional al tiempo de funcionamiento de sus turbinas. Durante un periodo de $8\text{ horas}$, la planta produce agua suficiente para abastecer a una población de $3.500\text{ personas}$, consumiendo $1.400\text{ kWh}$ de energía.

Debido a una ola de calor, el consumo de agua por persona aumenta un $25\%$. Si la planta ahora debe abastecer a una población de $5.000\text{ personas}$ en estas nuevas condiciones, ¿durante cuántas horas deberá funcionar y cuál será el consumo energético total previsto? (Supón que el consumo de energía es también directamente proporcional al tiempo de funcionamiento).