Ejercicios: Progresiones geométricas

Analiza las siguientes secuencias numéricas. Tu tarea es identificar cuáles de ellas son progresiones geométricas. Para las que lo sean, indica cuál es su razón ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Observa la siguiente figura. Partimos de un cuadrado grande de lado $8 \text{ cm}$. El siguiente cuadrado se forma con una longitud de lado que es la mitad del anterior, y así sucesivamente.

Calcula la longitud del lado de los primeros 4 cuadrados y escribe el término general $a_n$ de la sucesión que forman estas longitudes.

Imagina que un vídeo viral en una red social se comparte muy rápido. Una persona sube el vídeo (minuto 0). En el minuto 1, lo ven 5 personas nuevas. En el minuto 2, cada una de esas 5 personas lo comparte con otras 5 personas nuevas, y así sucesivamente.

1. Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión de nuevos espectadores por minuto.

2. ¿Cuál es la razón $r$ de crecimiento?

3. Escribe la fórmula del término general $a_n$.

Tenemos una hoja de papel con un grosor inicial de $0,1 \text{ mm}$.

Si doblamos la hoja por la mitad, el grosor se duplica. Si la volvemos a doblar, se vuelve a duplicar.

Considera $a_1$ como el grosor tras el primer doblez.

1. Calcula el grosor de la hoja tras 1, 2, 3 y 4 dobleces.

2. ¿Qué grosor tendrá la pila de papel después de 10 dobleces? Expresa el resultado en milímetros.

Una pelota de goma se deja caer desde una cierta altura. En cada rebote, la pelota alcanza una altura que es la mitad de la altura anterior.

Si en el primer rebote ($a_1$) alcanza una altura de $160 \text{ cm}$:

1. a) Escribe la sucesión de las alturas en los primeros 5 rebotes.
2. b) ¿Cuál es la razón $r$ de esta progresión?
3. c) ¿Qué altura alcanzará en el octavo rebote?

Dada una progresión geométrica donde el primer término es $a_1 = 3$ y la razón es $r = 2$:

1. a) Calcula el valor del término que ocupa la posición 7 ($a_7$).
2. b) Calcula el valor del término que ocupa la posición 10 ($a_{10}$).

Utiliza la fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Un abuelo decide ahorrar para su nieto siguiendo una regla matemática curiosa. El primer mes guarda 2 euros en una hucha. El segundo mes guarda 6 euros. El tercer mes guarda 18 euros.

Si continúa con esta lógica:

1. Comprueba que es una progresión geométrica y halla la razón $r$.

2. Calcula cuánto dinero tendrá que meter en la hucha el quinto mes.

Tenemos una progresión geométrica formada por fracciones. Sabemos que los primeros términos son:

$$ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots $$

1. a) Identifica el primer término $a_1$ y la razón $r$.
2. b) Calcula el término $a_6$ sin necesidad de multiplicar uno a uno, usando la fórmula general.

Un vídeo de una famosa streamer se ha vuelto viral. La primera hora tuvo 5 visualizaciones. Debido al algoritmo de la plataforma, cada hora que pasa, el número de nuevas visualizaciones se multiplica por 3 respecto a la hora anterior.

1. a) Escribe los cinco primeros términos de la sucesión que representa las nuevas visualizaciones por hora.
2. b) ¿Cuál es la razón $r$ de esta progresión geométrica?
3. c) Escribe el término general $a_n$ que permite calcular las visualizaciones en la hora $n$.
4. d) ¿Cuántas nuevas visualizaciones tendrá el vídeo exactamente en la hora 8?

En un videojuego de rol, la experiencia necesaria para subir de nivel sigue una progresión geométrica. Sabemos que para alcanzar el nivel 2 necesitas 150 puntos de experiencia, y para alcanzar el nivel 5 necesitas 1200 puntos.

Calcula:

1. a) La razón $r$ de la progresión.
2. b) La experiencia necesaria para el primer nivel ($a_1$).
3. c) La experiencia necesaria para alcanzar el nivel 10.

Observa la siguiente figura fractal. Comenzamos con un triángulo equilátero de área 64 cm² (Etapa 1). En cada paso siguiente, pintamos el triángulo central formado por los puntos medios de los lados (triángulo invertido), el cual tiene un área igual a $1/4$ del triángulo donde se encuentra.

Considerando la sucesión formada por el área de los triángulos coloreados (naranjas) en cada etapa:

1. a) Escribe los tres primeros términos de la sucesión.
2. b) ¿Cuál es la razón de esta progresión?
3. c) Calcula la suma de las áreas de todos los triángulos coloreados si repitiéramos el proceso infinitas veces.

Miguel quiere comprarse un patinete eléctrico que cuesta 400 €. Decide ahorrar siguiendo un plan estricto: la primera semana ahorra 2 €, la segunda semana 4 €, la tercera 8 €, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada semana.

1. a) ¿Cuánto dinero tendrá que ahorrar la semana número 8?
2. b) ¿Cuánto dinero habrá acumulado en total al finalizar la semana 8?
3. c) ¿Habrá conseguido dinero suficiente para comprar el patinete al terminar la semana 8? Si no es así, ¿cuántas semanas necesita en total?

Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de 20 metros. En cada rebote, la pelota pierde energía y solo alcanza el 80% de la altura anterior ($r = 0,8$).

1. a) Calcula la altura que alcanza la pelota después del tercer rebote.
2. b) Calcula la distancia total recorrida por la pelota (hacia abajo y hacia arriba) en el momento en que toca el suelo por cuarta vez.

Nota: Ten en cuenta que la primera caída es de 20 m, pero luego sube y baja.

Tenemos un cuadrado de lado 10 cm. Unimos los puntos medios de sus lados para formar un segundo cuadrado inscrito. Repetimos el proceso con el segundo cuadrado para formar un tercero, y así sucesivamente.

1. a) Sabiendo que el área de cada nuevo cuadrado es la mitad del anterior, escribe la sucesión de las áreas de los 5 primeros cuadrados.
2. b) ¿Es una progresión aritmética o geométrica? Identifica el primer término y la diferencia o razón.
3. c) Calcula la suma de las áreas de los 10 primeros cuadrados generados.

Un biólogo está estudiando una colonia de bacterias en una placa de Petri. Inicialmente cuenta 500 bacterias. Observa que la población aumenta un 20% cada hora.

1. a) Explica por qué este crecimiento se corresponde con una progresión geométrica y determina la razón $r$.
2. b) Escribe el término general $a_n$ que describe el número de bacterias tras $n$ horas. (Considera $a_0 = 500$ como el inicio, o ajusta la fórmula para $a_1$ como la cantidad tras 1 hora).
3. c) ¿Cuántas bacterias habrá, aproximadamente, al cabo de 12 horas?

Calcula el producto de los 6 primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es $a_1 = 3$ y que el cuarto término es $a_4 = 24$.

Pista: Primero deberás usar los datos para encontrar la razón $r$ de la progresión.

Un biólogo está estudiando una cepa de bacterias muy agresiva en una placa de Petri. Inicialmente, cuenta 500 bacterias. Observa que la población aumenta un 15% cada hora.

Para que el experimento sea controlable, la población no debe superar los 2.000.000 de bacterias. Utilizando la calculadora y tus conocimientos sobre el término general de una progresión geométrica:

1. Escribe la expresión del término general $a_n$ que describe el número de bacterias en función de las horas transcurridas $n$.

2. Calcula cuántas bacterias habrá exactamente al cabo de 24 horas.

3. Determina cuántas horas completas pueden pasar como máximo antes de que el cultivo supere el límite de seguridad de 2 millones.

Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura de 2 metros. Debido a la pérdida de energía, cada vez que rebota contra el suelo, asciende solo al 80% de la altura desde la que cayó anteriormente.

Este comportamiento genera una sucesión de alturas máximas alcanzadas tras cada bote.

1. Calcula la altura que alcanza la pelota tras el quinto bote.

2. Imagina que dejamos que la pelota bote indefinidamente hasta detenerse. Calcula la distancia total (hacia abajo y hacia arriba) que habrá recorrido la pelota desde que se soltó hasta que se para por completo. Ten cuidado: la primera caída es única, pero los rebotes implican subir y bajar la misma distancia.

Un famoso youtuber lanza una campaña benéfica. El primer día dona 10 euros. Se compromete a que cada día siguiente donará una cantidad tal que la suma total donada hasta ese día sea el triple de lo que donó el día anterior individualmente.

Nota: Lee bien el enunciado, es un acertijo matemático sobre la razón $r$.

1. Calcula cuánto dona el segundo y el tercer día.

2. Demuestra que las cantidades donadas día a día forman una progresión geométrica y halla su razón $r$.

3. ¿Cuánto dinero habrá donado en total al cabo de una semana (7 días)?

Estamos diseñando un logotipo artístico basado en una sucesión de cuadrados inscritos.

Partimos de un cuadrado exterior de lado $L_1 = 20 \text{ cm}$.

El segundo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del primero. El tercer cuadrado une los puntos medios del segundo, y así sucesivamente.

1. Utiliza el Teorema de Pitágoras para hallar el lado del segundo cuadrado ($L_2$) y del tercero ($L_3$).

2. Determina la razón de la progresión geométrica que forman las áreas de estos cuadrados.

3. Si pudiéramos dibujar infinitos cuadrados hacia adentro siguiendo este patrón, ¿cuánto valdría la suma de las áreas de todos los cuadrados (el área total coloreada)?

Una empresa de tecnología ofrece dos tipos de contrato salarial para un puesto de programador durante 5 años:

• Contrato A: Salario inicial de 24.000 € anuales, con un aumento fijo de 2.000 € cada año (Progresión Aritmética).

• Contrato B: Salario inicial de 22.000 € anuales, con un aumento del 8% cada año respecto al año anterior (Progresión Geométrica).

• Escribe el término general $a_n$ para el Contrato A y $b_n$ para el Contrato B.

• Calcula el sueldo anual en el quinto año para ambos contratos. ¿Cuál paga más ese año en concreto?

• Calcula la suma total de dinero ganado en los 5 años con cada contrato ($S_5$). ¿Qué contrato es más beneficioso a largo plazo (en el total acumulado)?

Tenemos una progresión geométrica de la que desconocemos la razón $r$ y el primer término $a_1$. Sin embargo, sabemos que el tercer término vale 12 ($a_3 = 12$) y el sexto término vale 96 ($a_6 = 96$).

1. Plantea un sistema de ecuaciones o utiliza la fórmula del término general para hallar la razón $r$.

2. Una vez tengas la razón, calcula el primer término $a_1$.

3. Calcula el producto de los 6 primeros términos de la sucesión ($P_6$).

El Triángulo de Sierpinski es un fractal famoso que se construye a partir de un triángulo equilátero.

El proceso es el siguiente:

• Paso 0: Tenemos un triángulo equilátero negro de área $80 \text{ cm}^2$.

• Paso 1: Recortamos (quitamos) el triángulo central invertido, cuya área es $1/4$ del triángulo anterior. Nos quedan 3 triángulos negros más pequeños.

• Paso 2: De cada uno de los 3 triángulos negros restantes, volvemos a recortar el triángulo central (que es $1/4$ del área de su triángulo contenedor).

• Escribe la sucesión que representa el área negra total que permanece en la figura en cada paso ($A_0, A_1, A_2, ...$).

• ¿Cuál es la razón $r$ de esta progresión geométrica decreciente?

• Calcula qué área negra quedará después de aplicar el proceso 5 veces (Paso 5).

Queremos interpolar (intercalar) 4 números entre el 3 y el 96 para formar una progresión geométrica de 6 términos en total. Es decir, buscamos construir la secuencia:

$$ 3, \quad x_1, \quad x_2, \quad x_3, \quad x_4, \quad 96 $$

1. Identifica qué posición ocupan el 3 y el 96 en la progresión ($a_1$ y $a_n$).

2. Utiliza la fórmula del término general para despejar y calcular la razón $r$.

3. Escribe los cuatro números que hemos interpolado.

4. Si quisiéramos sumar todos estos 6 números, ¿cuál sería el resultado?